1、湖北省荆门市两校湖北省荆门市两校 20202020 届高三数学届高三数学 9 9 月月考试题月月考试题 文（含解析）文（含解析） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. . 1.i为虚数单位，复数 2 11zi ，则z （） A. 1 B. 2 C. 2 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】 化简z为abi的形式，进而求得z. 【详解】依题意 2 1 1 2i1 2izi ，故 2 125z ，故选 D. 【点睛】本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数的模的运算，属于基础题. 求解与复数 概念相关问题的
2、技巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实 部与虚部有关， 所以解答与复数相关概念有关的问题时， 需把所给复数化为代数形式， 即abi 的形式，再根据题意求解. 2.已知集合A=x|1x1，则AB= A. （1，1） B. （1，2） C. （1，+） D. （1，+） 【答案】C 【解析】 【分析】 根据并集的求法直接求出结果. 【详解】 | 12, | 1AxxBx ， (1,)AB ， 故选 C. 【点睛】考查并集的求法，属于基础题. 3.若 2 24lnf xxxx，则( )f x的单调递增区间为（ ） A. 2, B. 1,02, C. 1, D. 0,2 【
3、答案】A 【解析】 【分析】 首先确定函数的定义域； 利用导数可知当 0fx 时，x范围即为所求区间，从而得到结果. 【详解】由题意得： f x定义域为：0, 2 22 2124 22 xx xx fxx xxx 当0,2x时， 0fx；当2,x时， 0fx f x的单调递增区间为：2, 本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，易错点是忽略函数的定义域，从而造成求 解错误. 4.设,m nR，则“m n ”是“ 1 1 2 m n ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 根据指
4、数函数的单调性可证明充分性与必要性均成立. 【详解】 1 2 x f x 在R上递减， 若 0 11 ,0,1 22 m n mn mn 充分性成立， 若 1 1 2 m n ，则 0 11 22 m n ， 0,mnmn必要性成立， 即“m n ”是“ 1 1 2 m n ”的充要条件，故选 C. 【点睛】本题主要考查指数函数的性质以及充分条件与必要条件的定义，属于中档题.判断充 分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p和结论q分别是什么，然后直接依据定义、定理、 性质尝试 ,pq qp .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽 象为直观外，还可利用原命题和逆否命题的等价性
5、判断；对于范围问题也可以转化为包含关 系来处理. 5.已知 f x是定义在R上的偶函数，且 f x在0,内单调递减，则（ ） A. 23 ( log 3)(log 2)(0)fff B. 32 (log 2)(0)( log 3)fff C. 32 (0)(log 2)( log 3)fff D. 32 (log 2)( log 3)(0)fff 【答案】A 【解析】 【分析】 根据奇偶性可知 22 log 3log 3ff，通过对数函数单调性可知 23 log 3log 20，进 而根据 f x在0,上单调递减得到大小关系. 【详解】 f x为定义在R上的偶函数 22 log 3log 3f
6、f 233 log 31log 2log 10 且 f x在0,上单调递减 23 log 3log 20fff，即 23 log 3log 20fff 本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性比较函数值的大小关系，关键是能够利用奇偶 性将自变量化到同一个单调区间内，进而根据单调性得到函数值的大小关系. 6.已知a（0， 2 ） ，2sin2=cos2+1，则 sin= A. 1 5 B. 5 5 C. 3 3 D. 2 5 5 【答案】B 【解析】 【分析】 利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为 1 关系得出答案 详解】2sin2cos21 ， 2 4si
7、ncos2cos.0,cos0 2 sin0,2sincos ，又 22 sincos1， 22 1 5sin1,sin 5 ，又 sin0， 5 sin 5 ，故选 B 【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断 正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后 得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉 7.若函数 2 ( )sinln(1 4)f xxaxx 的图象关于y轴对称，则实数a的值为（ ） A. 2 B. 2 C. 4 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 根 据 图 象 对 称 关 系 可 知 函 数
8、 为 偶 函 数 ， 得 到 f xfx， 进 而 得 到 2 2 1 1 4 1 4 axx xax 恒成立，根据对应项系数相同可得方程求得结果. 【详解】 f x图象关于y轴对称，即 f x为偶函数 f xfx 即： 22 2 1 sinln1 4sinln1 4sinln 1 4 xaxxxxaxx xax 2 2 1 1 4 1 4 axx xax 恒成立，即： 222 1 41xa x 2 4a，解得：2a 本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，关键是能够明确恒成立时，对应项 的系数相同，属于常考题型. 8.我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观
9、，形缺数时难入微，数形结合百般好， 隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数 的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数 2 ( ) 1 ex f x x 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用 1 0 2 f 排除A选项； 当x 时， 可知 0f x ， 排除,B D选项， 从而得到结果. 【详解】当 1 2 x 时， 12 2 0 1 23 1 4 e e f ，可排除A选项； 当x 时，0ex ， 2 10x x 时， 0f x ，可排除,B D选项 本题正确选项：C 【点睛】本题考查函数图象的判断，常用方法
10、是采用特殊值排除的方式，根据特殊位置函数 值的符号来排除错误选项. 9.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为 3 361，而可观测宇宙中普通物质的原子总 数N约为 10 80.则下列各数中与M N 最接近的是 （参考数据：lg30.48） A. 10 33 B. 10 53 C. 10 73 D. 10 93 【答案】D 【解析】 试题分析：设 361 80 3 10 M x N ，两边取对数， 361 36180 80 3 lglglg3lg10361 lg3 8093.28 10 x ， 所以 93.28 10x ， 即 M N 最接近 93 10， 故选 D. 【名师点睛】本题考
11、查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的 运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令 361 80 3 10 x ，并想到两边同时取对数进行求 解，对数运算公式包含logloglog aaa MNMN，logloglog aaa M MN N ， loglog n aa MnM. 10.如图点A为单位圆上一点， 3 xOA ，点A沿单位圆逆时针方向旋转角到点 B 22 (,) 22 ，则sin() A. 26 4 B. 26 4 C. 26 4 D. 26 4 【答案】C 【解析】 【分析】 由 3 xOA ，点B 22 (,) 22 得到 2 sin 32 ， 2 c
12、os 32 将所求的sin转化为sin() 33 ，按照公式展开，得到答案. 【详解】由题意因为 3 xOA ，点B 22 (,) 22 所以 2 sin 32 ， 2 cos 32 所以 2 12326 sinsin()() 3322224 ， 故选C 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，凑角求值，属于简单题. 11.若存在两个正实数 , x y使得等式 (1 ln )lnxxxyay成立 （其中ln ,lnxy是以e为底的 对数） ，则实数a的取值范围是（ ） A. 2 1 , e B. 1 0, e C. 2 1 0, e D. 1 , 3 【答案】A 【解析】 【分析】 将等式转化为l
13、n1 xx a yy ；令 0 x tt y ，则等式化为ln1att，将问题转 化为y a 与 yg t有交点；令 ln1g ttt，通过导数可求得函数单调性，得到 2 2 max 1 g tg e e ，通过判断0t 和t 时 g t的极限，可确定a的取值范围. 【详解】由1 lnlnxxxyay得：ln1ln1 xyxx a yxyy 令 0 x tt y ，则ln1att 设 ln1g ttt，0t ，则 ln2g tt 当 2 0,te时， 0g t；当 2, te时， 0g t 即 g t在 2 0,e上单调递增；在 2, e上单调递减 222 2 max 1 ln1g tg ee
14、e e 又0t 时， 0g t ；t 时， g t 又ln1att成立等价于y a 与 yg t有交点 2 1 ,a e 本题正确选项：A 【点睛】 本题考查根据等式能成立求解参数范围的问题， 关键是能够将问题转化为平行于x轴 的直线与曲线的有交点的问题，从而利用导数研究函数的图象，根据图象确定参数的取值范 围. 12.已知函数( ) f xx（ x表示不超过实数x的最大整数） ，若函数 ( )2 xx g xee的零 点为 0 x，则 0 gf x （ ） A. 1 2e e B. -2 C. 1 2e e D. 2 2 1 2e e 【答案】B 【解析】 【分析】 先对函数( )g x求导
15、，判断函数( )g x单调性，再根据函数零点存在性定理，确定 0 x的大致范 围，求出 0 ()f x，进而可得出结果. 【详解】因为( )2 xx g xee，所以)0( xx g xee在R上恒成立， 即函数( )2 xx g xee在R上单调递增； 又 00 (0)220gee ， 11 (1)20gee 所以( )g x在(0,1)上必然存在零点，即 0 (0,1)x ， 因此 00 ()0f xx， 所以 0 (0)2gf xg . 故选 B 【点睛】本题主要考查导数的应用，以及函数的零点，熟记导数的方法研究函数单调性，以 及零点的存在性定理即可，属于常考题型. 二、填空题二、填空题
16、. . 13.已知函数 221 ( ) log (1)1 x a x f x xx ， ， ，若 (0)2f f，则实数a的值是_ 【答案】 2 【解析】 【分析】 解方程 (0)2f f即得 a 的值. 【详解】 0 (0)223f (0)(3)log 2 a f ff (0)2f f log 22 a ， 因为0,a 所以解得a 2 故答案为： 2 【点睛】本题主要考查分段函数求值，考查指数对数运算，意在考查学生对这些知识的理解 掌握水平和分析推理能力. 14.函数( )1 x f xex的图象在点(0,(0)f处的切线方程为_ 【答案】 20y 【解析】 【分析】 当1x 时， 可得 f
17、 x解析式， 从而得到 fx ； 将0x 代入函数解析式和导函数解析式， 求得切点纵坐标 0f和切线斜率 0 f ，从而得到切线方程. 【详解】当1x 时， 1 x f xex ，则 1 x fxe 02f， 00 f f x在0x 处的切线方程为：2y 【点睛】本题考查根据导数的几何意义求解函数在某一点处的切线方程的问题，属于基础题. 15.求值： 00 13 sin10sin80 _ 【答案】4 【解析】 00 00000000 0 0 2sin 3010 1313cos103sin10 sin10sin80sin10cos10sin10 cos10sin10 cos10 2sin20 4
18、 1 sin20 2 oo 故答案为 4 16.定义函数( ),yf x xI，若存在常数M，对于任意 1 xI，存在唯一的 2 xI，使得 12 ( )() 2 f xf x M ，则称函数( )f x在I上的“均值”为M，则函数 2020 2 ( )log,1,2f xx x 的“均值”为_ 【答案】1010 【解析】 【分析】 根据定义域可知 121 log0,2020f xx， 222 log0,2020f xx； 由 2 l o gf xx 在 02020 2 ,2 上单调递增， 可知若需满足题意， 则 12 02020f xf x， 进而得到结果. 【详解】 2020 1,2x ，
19、即 02020 2 ,2x 若 02020 12 ,2 ,2x x ，则 121 log0,2020f xx， 222 log0,2020f xx 对于任意 02020 1 2 ,2x ，存在唯一的 02020 2 2 ,2x 使得 12 2 f xf x M 且 2 logf xx在 02020 2 ,2 上单调递增 12 020202020f xf x 1010M 本题正确结果：1010 【点睛】本题考查对数函数单调性的应用，关键是能够充分理解新定义的“均值”的含义， 进而通过单调性可得 12 f xf x的值，考查学生的分析和解决问题能力. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算
20、步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.已知命题:0,1tan 3 pxxm ，命题 :q 关于x的不等式 2 (1)40xmx在 R上恒成立 （1）若p q 为真命题，求实数m的取值范围； （2）若p q 为假命题，求实数m的取值范围 【答案】(1)3 1,5 ；(2) , 3 【解析】 【分析】 分别求出p为真、q为真时，m的取值范围； （1）由p q 为真可知 , p q全都为真，得到不等 式组求得结果； （2）由p q 为假可知 , p q全都为假，从而得到不等式组求得结果. 【详解】若p为真，即对0, 3 x ，1 tanxm恒成立 max1tanmx 当0,
21、3 x 时，tan0, 3x max1tan31x 31m 若q为真，即不等式 2 140xmx在R上恒成立 2 1160m ，解得：35m （1）p q 为真，则 , p q全都为真 即 31 35 m m 3 1,5m （2）p q 假，则 , p q全都为假 即 31 35 m mm 或 , 3m 【点睛】本题考查根据复合命题的真假性求解参数范围的问题，关键是能够准确求解出两个 命题分别为真时参数的取值范围，进而根据复合命题的真假性确定两个命题的真假性. 18.已知函数 1 cos3sincos 2 f xxxx. （1）求 3 f 的值； （2）将函数 yf x的图像向左平移 6 后得
22、到函数 yg x，若0, 2 x 时，不等式 2cg xc恒成立，求实数c的取值范围 【答案】(1)1 3 f . (2) 1 1, 2 【解析】 【分析】 （1）利用二倍角公式和辅助角公式将 f x化简为sin 2 6 x ，代入 3 x 即可求得结果； （2）根据三角函数左右平移原则可得 g x解析式，利用x的范围求出2 6 x 的范围，结合 正弦函数的图象可得 g x的值域；由不等式恒成立可得c、2c与 g x最小值和最大值之 间的关系，解不等式组求得结果. 【详解】 （1） 2 131 3sin coscossin2cos2sin 2 2226 f xxxxxxx 2 sinsin1
23、3362 f （2） sin 2sin 2 6366 g xfxxx 当0, 2 x 时， 7 2, 666 x 1 sin 2,1 62 x 即 1 1 2 g x 又 2cg xc恒成立 1 2 21 c c ，解得： 1 1 2 c 实数c的取值范围为： 1 1, 2 【点睛】本题考查三角函数值的求解、正弦型函数在区间内的值域的求解；涉及到利用二倍 角和辅助角公式化简三角函数式、三角函数的平移变换等知识；解决本题中恒成立问题的关 键是找到不等式上下限与三角函数最值之间的关系，从而构造不等式组求得结果. 19.已知幂函数 2 23 ( )() mm f xxmz 为偶函数，且在区间(0,)
24、上是单调增函数 （1）求函数 ( )f x的解析式； （2） 设函数 32 19 ( )( )() 42 g xf xaxxb xR， 其中, a bR.若函数( )g x仅在0x 处 有极值，求a的取值范围. 【答案】 （1） 4 f xx； （2） 2,2a 【解析】 试题分析： （1） 幂函数在区间(0,)上是单调增函数， 则指数为正， 由此可求得13m ， 又因为mZ故将0,1,2m 代入验证， 为偶函数即可（2） 由 （1） 得 4 ( )f xx， 从而得( )g x 的解析式，求导得， 2 ( )(39),g xx xax显然0x 不是方程 2 390xax的根，为使 ( )g
25、x仅在0x 处有极值，必须 2 390xax 恒成立，即有 2 9360a ，解这个不 等式便得a的取值范围 试题解析： （1）( )f x在区间(0,)上是单调增函数， 2 230mm 即 2 230mm 13,m 又,0,1,2mzm4 分 而0,2m 时， 3 ( )f xx不是偶函数，1m时， 4 ( )f xx是偶函数， 4 ( )f xx 6 分 （2） 2 ( )(39),g xx xax显然0x 不是方程 2 390xax的根. 为使( )g x仅在0x 处有极值，必须 2 390xax恒成立， 8 分 即有 2 9360a ，解不等式，得 2,2a . 11 分 这时，(0)
26、gb 是唯一极值2,2a 12 分 考点：1、基本初等函数及其性质；2、导数的应用；3、不等关系 20.已知抛物线C： 2 y=2px经过点P（1，2） 过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不 同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N （）求直线l斜率的取值范围； （）设O为原点，QMQO，QNQO，求证： 11 为定值 【答案】(1) 取值范围是（-，-3）（-3，0）（0，1） (2)证明过程见解析 【解析】 分析： （1）先确定 p,再设直线方程，与抛物线联立，根据判别式大于零解得直线l的斜率的 取值范围，最后根据PA，PB与 y 轴相交，舍去 k=3， （2）先设A
27、（x1，y1） ，B（x2，y2） ，与抛 物线联立，根据韦达定理可得 12 2 24k xx k ， 12 2 1 x x k 再由=QMQO，=QNQO 得=1 M y，1 N y 利用直线PA， PB的方程分别得点M， N的纵坐标， 代入化简 11 可得结论. 详解：解： （）因为抛物线y 2=2px 经过点P（1，2） ， 所以 4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y 2=4x 由题意可知直线l的斜率存在且不为 0， 设直线l的方程为y=kx+1（k0） 由 2 4 1 yx ykx 得 22 2410k xkx 依题意 2 2 24410kk ，解得 k0 或 0k0)h xaf
28、 xg x a，若(, )x 时( )h x有最大值，求实数a的取值范围. 【答案】 （1）见解析（2） 3 4 a 【解析】 【分析】 （1） 对 f x求导得到 fx ， 再对 fx 求导， 得到 fx ， 根据 fx 的正负， 得到 fx 的单调性，再由定义域求出 fx 的正负，从而得到 f x的单调性，由零点存在定理，进行 证明； （2）对 h x求导，得到 ( ) ()(sincos )h xxaxxx，令( )sincosxxxx，根 据（1）的结论，可得( )x在(, )x 上有唯一零点0x ，再按a和0a进行 分类，分别研究 h x的单调性，从而得到 h x有最大值时对a的要求
29、，得到答案. 【详解】(1) ( )sincos ,( )sinfxxxx fxxx 易知 ( ) 0fx 在区间(,0)上恒成立，则 ( ) fx在(,0)单调递减 所以 ( )(0)fxf0，即f(x)在(,0)单调递增， 又()2,(0)2ff ，则 ( )f x在区间(,0) 必存在唯一零点 (2) 2 ( )( )( )(2cossin )3sin3 cossinh xaf xg xaxxxxxxxx 所以 ( ) ()(sincos )h xxaxxx 令( )sincosxxxx，则 ( )sincos( )xxxxfx 由(1)知:则( )x在(, )x 单调递增 又(0)0，
30、即( )x(, )x 上有唯一零点0x 当a时，由 ( ) 0h x 得0x ，所以( )h x在区间(,0)单调递增;在区间(,0)单调递 减；此时h(x)存在最大值h(0)，满足题意; 当0a时，由 ( ) 0h x 有两个不同零点x=0 及(0)xa a，所以h(x)在区间(0，a) 单调递减；在区间(,0)，( , )a单调递增;此时h(x)有极大值h(0)2a 由h(x)有最大值，可得;(0)2( )32haha，解得 3 4 a ，即 3 4 a 综上所述:当 3 4 a 时，h(x)在(, )x 有最大值 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值和零点问题，属于难题. 22
31、.在直角极坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2cos , sin xt yt 其中t为参数，其中a为l 的倾斜角，且其中0,) 2 a ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立平面直角坐标系， 曲线C1的极坐标方程() 2 R ，曲线C2的极坐标方程 2 cos28. (1)求C1、C2的直角坐标方程； (2)已知点P(-2,0)，l与C1交于点Q，与C2交于A，B两点，且 2 |PA PBPQ，求l的普 通方程. 【答案】 （1） 1 C的直角坐标方程为x0， 2 C的直角坐标方程为 22 8xy（2）l的普通方 程为y0 【解析】 【分析】 （1）根据 cos sin x y ，将 1
32、 C和 2 C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）写出点Q的对应 的参数值 2 cos t ，代入双曲线中，得到 121 2 ,tt t t，分别代入 2 |PA PBPQ，得到关 于的方程，解得tan0，得到l的普通方程. 【详解】(1)曲线 1 C的直角坐标方程为x0 方程 2 cos28可化为 222 (cossin)8。 将 cos sin x y 上式，得 22 8xy. (2)直线l的参数方程为 2cos ( sin xt yt 其中t为参数，为l的倾斜角，且0,) 2 则点Q对应的参数值为 2 cos t ，即 2 cos PQ 代入 22 8xy，得 22 ( 2cos)(
33、sin)8tt ，整理，得 222 (cossin)4 cos40tt 设A，B对应的参数值分别为t1、t2，则 121 2 2222 4cos4 , cossincossin ttt t 222 16cos16(cossin)0 ，解得tan 2 又因为 2 PAPBPQ，由题意 1 2 PA PBt t ，所以 222 44 cossincos 所以 222 11 cossincos ，解得tan0， 故l的普通方程为y0. 【点睛】本题考查极坐标与参数方程转化直角坐标方程，直线的参数的几何意义，属于中档 题. 23.已知, ,a b c为正数,且2abc ,证明: (1) 3 4 abb
34、cac； (2) 222 8 abc bca . 【答案】 （1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】 （1） 将a+b+c2 平方， 然后将基本不等式 222222 2,2,2abab bcbc acac三式相 加，进行证明； （2）由 22 , abcbc bbb 2222 , ba caccb aba cccaaa ， 三式相乘进行证明. 【详解】(1)将a+b+c2 平方得: 222 2224abcababac ， 由基本不等式知: 222222 2,2,2abab bcbc acac， 三式相加得: 222 abcabbcac ， 则 222 4222333abcabbcacabbcac 所以 4 3 abbcac，当且仅当abc 2 3 时等号成立 (2)由 22abcbc bbb ，同理 2222 , bacaccbaba cccaaa 则 222222 8 abcbcacba bcabca ， 即 222 8 abc bca 当且仅当 2 3 abc时等号成立 【点睛】本题考查利用基本不等式进行证明，属于中档题.
