1、7.3 7.3 平面向量的内积平面向量的内积【教学目标教学目标】知识目标：知识目标：（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义）了解平面向量内积的概念及其几何意义.（2）了解平面向量内积的计算公式）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研为利用向量的内积研究有关问题奠定基础究有关问题奠定基础.能力目标：能力目标：通过实例引出向量内积的定义通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能培养学生观察和归纳的能力力【教学重点教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式平面向量数量积的概念及计算公式.【教学难点教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角数量积的概念及利用数量积来计算
2、两个非零向量的夹角【教学过程】*创设情境 兴趣导入Fs图721O30 如图如图721所示，水平地面上有一辆车，某人用所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N的力，朝着与水平线成的力，朝着与水平线成 角的方向拉小车，使小车前角的方向拉小车，使小车前进了进了100 m那么，这个人那么，这个人做了多少功？做了多少功？30*动脑思考动脑思考 探索新知探索新知【新知识】【新知识】我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积如图的距离的乘积如图722所示，设水平方向的单位向所示，设水平方向的单位向量为量为i i，垂直方向的单位向量为，垂直方向的单位
3、向量为j j，则，则i+y ji+y jF xsin30cos30FiFj 即力即力F F是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为为s s，即，即 （J）30W WF Fcoss s100101050023OxijF(x,y)y 图图722这里，力这里，力F F与位移与位移s s都是向量，而都是向量，而功功W是一个数量，它等于由两个向是一个数量，它等于由两个向量量F F，s s的模及它们的夹角的余弦的的模及它们的夹角的余弦的乘积，乘积，W叫做向量叫做向量F
4、F与向量与向量s s的内积的内积,它是一个数量，又叫做数量积它是一个数量，又叫做数量积如图如图723，设有两个非零向量，设有两个非零向量a a,b b，作，作b b,由射线由射线OAOA与与OBOB所形成的角所形成的角a a,OA OB 叫做向量叫做向量a a与向量与向量b b的夹角，记作的夹角，记作b两个向量两个向量a,b b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a a与向量与向量b b的内积的内积，记作，记作a ab b,即即 a ab ba a|b b|c cosos (7.10)(7.10)上面的问题中，人所做的功可以记作上面的问题中，人所做的功可以记作W
5、F Fs s.由内积的定义可知由内积的定义可知a a00,0a a0由内积的定义可以得到下面几个重要结果由内积的定义可以得到下面几个重要结果：时，时，a ab b|a a|b b|.|.（1 1）当当 0时，时，a ab b|a a|b b|；当；当 180(2)cos(2)cos|a ba b.（3 3）当当b ba a时，有时，有 0，所以，所以a aa a|a a|a a|a a|2 2，即，即|a a|a a （4 4）当当时，时，a ab b，因此，因此，a ab b因此对非零向量因此对非零向量a a，b b，有，有,90a bcos900,aba ab b0a ab.b.可以验证，
6、向量的内积满足下面的运算律：可以验证，向量的内积满足下面的运算律：(1)a(1)ab bb ba a（2 2）()b b(a ab b)a a(b b)a（3 3）(a ab b)c ca ac cb bc c注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即 a a(b bc c)（a ab b）c c.请结合实例进行验证请结合实例进行验证.*巩固知识巩固知识 典型例题典型例题例例1 1 已知已知|a a|3,|b b|2,求求a ab b60解解 a ab b|a a|b b|cos|cos 32cos360例例2 2 已知已知|a a|b b|,a ab b
7、,求求 22解解 coscos|a ba b22222由于由于 00180所以所以 135*运用知识运用知识 强化练习强化练习1.1.已知已知|a a|7，|b b|4，a a和和b b的夹角为的夹角为，求，求a ab b602.2.已知已知a aa a9,求求|a a|3.3.已知已知|a a|2,|b b|3,，求，求(2a ab b)b b30*动脑思考 探索新知设平面向量设平面向量a a(x x1 1,y y1 1),),b b(x x2 2,y y2 2)，i i，j j分别为分别为x x轴，轴，y y轴上的单位向量，由于轴上的单位向量，由于i ij j，故，故i ij j 0，又，
8、又|i i|j j|1，所以，所以a ab b(x x1 1 i iy y1 1j j)(x x2 2 i iy y2 2j j)x x1 1 x x2 2 i i i i x x1 1 y y2 2 i i j j x x2 2 y y1 1 i i j j y y1 1 y y2 2 j j j j x x1 1 x x2 2|j j|2 2 y y1 1 y y2 2|j j|2 2 x x1 1 x x2 2 y y1 1 y y2 2这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即和，即 a ab b x x1 1 x x2 2 y
9、y1 1 y y2 2 (7.11)(7.11)利用公式利用公式(711)可以计算向量的模设可以计算向量的模设a a(x,yx,y)，则则aa a22xy，即，即a 22xy (7.12)(7.12)由平面向量内积的定义可以得到，当由平面向量内积的定义可以得到，当a a、b b是非零向量是非零向量时，时，coscos|a ba b121222221122 x xy yxyxy (7.13)(7.13)利用公式利用公式(7.13)(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角可以方便地求出两个向量的夹角.由于由于a ab ba ab b0，由公式，由公式(7.11)可知可知a ab b0 x x1 1
10、 x x2 2 y y1 1 y y2 20因此因此a ab b x x1 1 x x2 2 y y1 1 y y2 20(7.14)(7.14)利用公式利用公式(7.14)(7.14)可以方便地利用向量的坐标来研究可以方便地利用向量的坐标来研究向量垂直的问题向量垂直的问题*巩固知识巩固知识 典型例题典型例题例例3 3 求下列向量的内积：求下列向量的内积：（1 1）a a (2,3),3),b b(1,3)；（2 2）a a (2,1),1),b b(1,2)；（3 3）a a (4,2),b b(2,2,3)3)解解 (1)(1)a ab b21(3)3)37 7；(2)(2)a ab b2
11、1(1)1)20；(3)(3)a ab b2(2)2)2(3)3)1414例例4 4 已知已知a a(1,2),1,2),b b(3,1).3,1).求求a ab b,|,|a a|,|,|b b|,|,解解 a ab b(1)(1)(3)3)215；|a a|22(1)25a a|b b|22(3)110b bcoscos|a ba b52210 5所以所以 45例例5 5 判断下列各组向量是否互相垂直：判断下列各组向量是否互相垂直：(1)(1)a a(2,3),2,3),b b(6,4)；(2)(2)a a(0,1),1),b b(1,2)2)解解 (1)(1)因为因为a ab b(2)2
12、)6340，所以，所以a ba b(2)(2)因为因为a ab b01(1)1)（2)2)2，所以，所以a a与与b b不垂直不垂直*运用知识运用知识 强化练习强化练习 1 1、已知、已知a a(5,4)4)，b b(2,3)，求，求a ab b 2 2、已知、已知a a(1,），），3b b(0,），），3求求 3 3、已知、已知a a(2,3)3)，b b(3,4)，c c(1,3),1,3),求求a a(b bc c)4 4、判断下列各组向量是否互相垂直：判断下列各组向量是否互相垂直：(1)(1)a a(2,2,3)3)，b b(3,2)2)；(2)a a(2,0)，b b(0,3)3)
13、；(3)a a(2,1)2,1)，b b(3,4)5.5.求下列向量的模：求下列向量的模：(1)(1)a a(2,3)3)，(2)b b(8,6)6)*理论升华理论升华 整体建构整体建构思考并回答下面的问题：思考并回答下面的问题：平面向量内积的概念、几何意义平面向量内积的概念、几何意义?结论：结论：两个向量两个向量a,b b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a a与向量与向量b b的内积的内积，记作，记作a ab b,即即a ab b的几何意义就是向量的几何意义就是向量a a的模与向量的模与向量b b在向量在向量a a上的投上的投影的乘积影的乘积 a ab b
14、a a|b b|c cosos b (7.10)(7.10)*归纳小结归纳小结 强化思想强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？*自我反思自我反思 目标检测目标检测 本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？你的学习效果如何？1.1.已知已知a a(5,4),4),b b(2,3),求求a ab b2.2.已知已知a a(2,3),3),b b(3,4),4),c c(1,3),1,3),求求a a(b bc c)*继续探索继续探索 活动探究活动探究(1)(1)读书部分：阅读
15、教材读书部分：阅读教材 (2)(2)书面作业：教材习题书面作业：教材习题7.3 A7.3 A组（必做）；组（必做）；7.3 B组（选做）组（选做）(3)(3)实践调查：编写一道向量内积问题并解答实践调查：编写一道向量内积问题并解答编后语 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。一、听理科课重在理解基本概念和规律 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的，要边听边想。为讲明一个定理，推
16、出一个公式，老师讲解顺序是怎样的，为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。作为实验科学的物理、化学和生物，就要特别重视实验和观察，并在获得感性知识的基础上，进一步通过思考来掌握科学的概念和规律，等等。二、听文科课要注重在理解中记忆 文科多以记忆为主，比如政治，要注意哪些是观点，哪些是事例，哪些是用观点解释社会现象。听历史课时，首先要弄清楚本节教材的主要观点，然后，弄清教材为了说明这一观点引用了哪些史实，这些史料涉及的时间、地点、人物、事件。最后，也是关键的一环，看你是否真正弄懂观点与史料间的关系。最好还能进一步思索：这些史料能不能充分说明观点？是否还可以补充新的史料？有无相反的史料证明原观点不正确。三、听英语课要注重实践 英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活动，珍惜课堂上的每一个练习机会。2022-10-22最新中小学教学课件20thank you!2022-10-22最新中小学教学课件21
