1、机械工程控制基础机械工程控制基础2009.112009.11主讲人：张燕主讲人：张燕 机械类专业必修课机械类专业必修课机械与动力工程学院机械与动力工程学院1 1、课程准备、课程准备7 7、系统的性能指标与校正、系统的性能指标与校正2 2、绪、绪 论论4 4、系统的时间响应分析、系统的时间响应分析3 3、系统的数学模型、系统的数学模型5 5、系统的频率特性分析、系统的频率特性分析6 6、系统的稳定性分析、系统的稳定性分析第一讲第一讲 稳定性概念稳定性概念 Routh判据判据4a,b 称为系统的平衡点称为系统的平衡点小球在小球在a处稳定，处稳定，在在b处不稳定处不稳定abab b摆在摆在a处稳定，
2、处稳定，在在b处不稳定。处不稳定。稳定性的基本概念c)c)稳定稳定d)d)临界稳定临界稳定e)e)不稳定不稳定A Ab b、不稳定的摆、不稳定的摆A AA A AAa a、稳定的摆、稳定的摆6：闭环控制的磁悬浮系统：闭环控制的磁悬浮系统 可以稳定。可以稳定。+VLight sourceRControllerFmgIuFmgI：开环控制的磁悬浮系统：开环控制的磁悬浮系统 不稳定不稳定7针对不稳定对象的反馈控制针对不稳定对象的反馈控制大部分受控对象是稳定的，但大部分受控对象是稳定的，但反馈控制所构成的闭环系统可反馈控制所构成的闭环系统可能稳定，可能不稳定。能稳定，可能不稳定。针对稳定对象的反馈控制
3、针对稳定对象的反馈控制1)1)系统不稳定现象系统不稳定现象例：液压位置随动系统例：液压位置随动系统原理：原理：外力外力阀芯初始位移阀芯初始位移Xi(0)阀口阀口2、4打开打开活塞右移活塞右移阀口关闭（回复平衡位置）阀口关闭（回复平衡位置）（惯性）活塞继续右移（惯性）活塞继续右移阀口阀口1、3开启开启活塞左移活塞左移 平衡位置平衡位置（惯性）活塞继续左移（惯性）活塞继续左移阀口阀口2、4开启开启 随动：活塞跟随阀芯运动随动：活塞跟随阀芯运动 惯性：引起振荡惯性：引起振荡 振荡结果：振荡结果：减幅振荡减幅振荡（收敛，稳定）（收敛，稳定）等幅振荡等幅振荡（临界稳定）（临界稳定）增幅振荡增幅振荡（发散
4、，不稳定）（发散，不稳定）一、系统的稳定性与稳定条件一、系统的稳定性与稳定条件三、关于稳定性的相关提法三、关于稳定性的相关提法1.李亚普诺夫意义下的稳定性李亚普诺夫意义下的稳定性)(o 若若o为系统的平衡工作点，为系统的平衡工作点，扰动使系统偏离此工作点的起扰动使系统偏离此工作点的起始偏差（即初态）不超过域始偏差（即初态）不超过域，由扰动引起的输出（这种初态由扰动引起的输出（这种初态引起的零输入响应）及其终态引起的零输入响应）及其终态不超过预先给定的整数不超过预先给定的整数，则，则系统是稳定的。反之，系统是系统是稳定的。反之，系统是不稳定的。不稳定的。3.3.“小偏差小偏差”稳定性稳定性 系统
5、初始偏差（初态）不超过某一微小范围时的稳系统初始偏差（初态）不超过某一微小范围时的稳定性，称之为定性，称之为“小偏差稳定性小偏差稳定性”或或 “局部稳定性局部稳定性”。4.4.“大范围大范围”渐近稳定性渐近稳定性 若系统在任意初始条件下都保持渐近稳定，则系统若系统在任意初始条件下都保持渐近稳定，则系统称为称为“大范围渐近稳定大范围渐近稳定”，反之，系统是不稳定的。，反之，系统是不稳定的。2.2.渐近稳定性渐近稳定性 就是线性系统的稳定性，要求由初始状态引起的就是线性系统的稳定性，要求由初始状态引起的响应最终衰减为零。渐近稳定性满足李氏稳定性定响应最终衰减为零。渐近稳定性满足李氏稳定性定义；对非
6、线性定义，这两种稳定性是不同的。义；对非线性定义，这两种稳定性是不同的。控制工程中希望大范控制工程中希望大范围渐近稳定，基于精围渐近稳定，基于精度要求，也需要确定度要求，也需要确定最大范围。最大范围。四、四、Routh稳定判据稳定判据1.1.系统稳定的必要条件系统稳定的必要条件设系统的特征方程为：设系统的特征方程为：0)(0111asasasasDnnnn两边同除两边同除an)()(210111nnnnnnnssssssaasaasaasniinnnjijijinniinsssssss122,111)1(依据上式，依据上式，s的同次幂前系数应对等的同次幂前系数应对等 要使系统稳定，即系统全部特
7、征根均具有负实部，就必要使系统稳定，即系统全部特征根均具有负实部，就必须满足以下两个条件：须满足以下两个条件：；按习惯，一般取最高阶次项的系数为正，上述两个条件可以归结按习惯，一般取最高阶次项的系数为正，上述两个条件可以归结为为，此即系统稳定的必要条件。，此即系统稳定的必要条件。niinnnkjikjikjinnnjijijinnniinnsaasssaassaasaa103,2,132,1211)1(.niinnnjijijinniinsssssss122,111)1(nnnnnnaasaasaas0111 从根与系数的关系可以看出，从根与系数的关系可以看出，仅仅有各项系数大于仅仅有各项系数
8、大于0，还，还不能判定特征根均具有负实部不能判定特征根均具有负实部，也许特征根中有正有负，它，也许特征根中有正有负，它们组合起来仍能满足们组合起来仍能满足“根与系数的关系根与系数的关系”中的各式。也就是中的各式。也就是说上式为系统稳定的必要条件，而不是充要条件。说上式为系统稳定的必要条件，而不是充要条件。实例分析实例分析1 系统特征方程系统特征方程0301119)(234sssssD试用试用Routh表判断其稳定性。表判断其稳定性。4s3s2s1s0s1193011103030012030301111)19(1123030111)30(改变符号一次改变符号一次改变符号一次改变符号一次解：解：由
9、由Routh判据：判据：系统不稳定。系统不稳定。n 低阶系统的劳斯稳定判据低阶系统的劳斯稳定判据 q 二阶系统二阶系统0)(2120asasasD劳斯阵列为：劳斯阵列为：s2a0a2s1a10s0a2a00，a10，a20从而，二阶系统稳定的充要条件为：从而，二阶系统稳定的充要条件为：q 三阶系统三阶系统0)(322130asasasasD劳斯阵列为：劳斯阵列为：s s3 3a0a2s2a1a3s s1 1 0 0s0a313021)(aaaaa从而，三阶系统稳定的充要条件为：从而，三阶系统稳定的充要条件为：特征方程的各项系数大于零，且：特征方程的各项系数大于零，且：a1a2-a0a30 3.
10、Routh3.Routh判据的特殊情况判据的特殊情况（1）如果在）如果在RouthRouth表中任意一行的第一个元素为表中任意一行的第一个元素为0 0，而其后各元不全为，而其后各元不全为0 0，则在计算下一行的元素时，将趋向于无穷大。于是则在计算下一行的元素时，将趋向于无穷大。于是RouthRouth表计算无法继表计算无法继续，为了克服这一困难，续，为了克服这一困难，用一个很小的正数用一个很小的正数代替第一列的代替第一列的0 0，然后计，然后计算算RouthRouth表的其余各元。若表的其余各元。若上下各元符号不变，且第一列元素符号均上下各元符号不变，且第一列元素符号均为正，则系统特征根中有共
11、轭的虚根。此时，系统为临界稳定系统。为正，则系统特征根中有共轭的虚根。此时，系统为临界稳定系统。（2）如果）如果Routh表中任意一行的所有元素都为表中任意一行的所有元素都为0，Routh表的计算无法表的计算无法继续。此时，可以利用该行的上一行的元素构成一个辅助多项式，并用继续。此时，可以利用该行的上一行的元素构成一个辅助多项式，并用多项式的导数的系数组成多项式的导数的系数组成Routh表的下一行。这样，表的下一行。这样，Routh表就可以计表就可以计算下去。算下去。出现这种情况，一般是由于系统的特征根中，或存在两个符号相出现这种情况，一般是由于系统的特征根中，或存在两个符号相反的实根（系统自
12、由响应发散，系统不稳定），或存在一对共轭的纯反的实根（系统自由响应发散，系统不稳定），或存在一对共轭的纯虚根（即系统自由响应维持某一频率的等幅振荡，系统临界稳定），虚根（即系统自由响应维持某一频率的等幅振荡，系统临界稳定），或是以上几种根的组合。或是以上几种根的组合。实例分析实例分析2 2 系统特征方程：系统特征方程：04244)(2345ssssssD试用试用RouthRouth表判断其稳定性。表判断其稳定性。解：列解：列RouthRouth表如下：表如下：4s3s2s1s0s1421442024 42448425s0004改变符号一次改变符号一次改变符号一次改变符号一次由由Routh判据：
13、判据：系统不稳定。系统不稳定。实例分析实例分析3 3 系统特征方程：系统特征方程：0502548242)(2345ssssssD试用试用RouthRouth表判断其稳定性。表判断其稳定性。解：列解：列RouthRouth表如下：表如下：8964s3s2s1s0s124252485000024507.1125s00500RouthRouth表中出现表中出现0 0元行，构造辅元行，构造辅助多项式如下：助多项式如下：050482)(24sssF取取F F(s s)对对s s的导数得新方程：的导数得新方程：0968)(3sssF用上式中的系数用上式中的系数8 8和和9696代替代替0 0元元行，继续进
14、行运算。行，继续进行运算。改变符号一次 此表第一列各元符号改变次数为此表第一列各元符号改变次数为1 1，该系统包括一个该系统包括一个具有正实部的特征根，系统是不稳定的具有正实部的特征根，系统是不稳定的。根据根据RouthRouth判据，判据，2p2p的辅助多项式应该存在的辅助多项式应该存在p p对实部符号对实部符号相异、虚部数值相同的共轭复根。这些特征根可以通过相异、虚部数值相同的共轭复根。这些特征根可以通过解辅助多项式得到。解辅助多项式得到。本例中辅助多项式为：本例中辅助多项式为：050482)(24sssF解此辅助多项式可得：解此辅助多项式可得：5;1jss这两对复根是原特征方程的根的一部
15、分。这两对复根是原特征方程的根的一部分。五、相对稳定性的检验五、相对稳定性的检验应用应用RouthRouth判据可检验判据可检验稳定系统稳定系统的的相对稳定性相对稳定性方法如下方法如下：A将将s平面的虚轴向左移动某个数值，即令平面的虚轴向左移动某个数值，即令sz（为正实数为正实数），代入系统特征方程，则得到关于，代入系统特征方程，则得到关于z的特征方程；的特征方程；A利用利用Routh表和表和Routh判据对新的特征方程进行稳判据对新的特征方程进行稳定性判别。如果新系统稳定，则说明原系统特征方程定性判别。如果新系统稳定，则说明原系统特征方程的根均在新的虚轴之左边，的根均在新的虚轴之左边，越大，
16、系统相对稳定性越大，系统相对稳定性越好。越好。系统传递函数方框图如系统传递函数方框图如下图所示，已知下图所示，已知T T1 10.1s0.1s，T T2 20.25s0.25s，试求，试求:实例分析实例分析4 4)(sXi)(sXo)1)(1(21sTsTsK解：解：（1 1）求）求系统稳定时系统稳定时K K值的取值范围值的取值范围（1 1）系统稳定时系统稳定时K值的取值范围；值的取值范围；（2 2）若要求系统的特征根均若要求系统的特征根均 位于位于s1线的左侧，线的左侧，K值值的取值范围。的取值范围。KssTTsTTKsHsGsGsGB221321)()()(1)()(0)()(221321
17、KssTTsTTsD040401423Ksss因为：因为：将将T T1 1和和T T2 2代入得：代入得：列列RouthRouth表如下：表如下：0400404014KK140 K3s2s1s0s14014K4014404014K0K40解之得系统稳定时解之得系统稳定时K K的取值范围为：的取值范围为：由由RouthRouth表和表和RouthRouth判据得：判据得：（2 2）令）令s sz z1 1，代入特征方程得：，代入特征方程得：040)1(40)1(14)1(23Kzszz02740151123Kzzz即：即：列列RouthRouth表如下：表如下：02740040192KK8.46
18、75.0 K3s2s1s0s115112740K1127401511K02740K解之得：解之得：由由RouthRouth表和表和RouthRouth判据得：判据得：与与(1)的结果比较可知，的结果比较可知，K的取值范围变小了。的取值范围变小了。A系统稳定性是指系统在干扰作用下偏离平衡位置，系统稳定性是指系统在干扰作用下偏离平衡位置，当干扰撤除后，系统自动回到平衡位置的能力当干扰撤除后，系统自动回到平衡位置的能力；六、本讲小结六、本讲小结A系统稳定的充要条件是所有特征根具有负实部，或系统稳定的充要条件是所有特征根具有负实部，或系统传递函数的所有极点均分布在系统传递函数的所有极点均分布在s平面的
19、左半平面平面的左半平面;ARouth稳定判据是稳定判据是Routh表的第一列元素均大于表的第一列元素均大于0。利用利用Routh稳定判据不仅可判定系统的稳定性，而且稳定判据不仅可判定系统的稳定性，而且可以确定某些参数的取值范围和相对稳定性。可以确定某些参数的取值范围和相对稳定性。第二讲第二讲 Nyquist 稳定判据稳定判据K=8-4-2024-2.5-2-1.5-1-0.500.5Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis051015202530-10-5051015Step ResponseTime(sec)AmplitudeK=6-3-2-10123-3
20、-2.5-2-1.5-1-0.500.5Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis0510152025303500.511.52Step ResponseTime(sec)Amplitude()(1)(2)KG ss ss乃奎斯特图及时间响应乃奎斯特图及时间响应K=4K=1-2-1012-4-3-2-101Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis010203040506000.511.52Step ResponseTime(sec)Amplitude-2-1012-4-3-2-101Nyquist DiagramReal A
21、xisImaginary Axis05101500.20.40.60.811.21.4Step ResponseTime(sec)AmplitudeK=0.5-2-1012-4-3-2-101Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis05101500.20.40.60.811.21.4Step ResponseTime(sec)Amplitude 由以上可以看出：极坐标图离（由以上可以看出：极坐标图离（-1，j0）点的远）点的远近程度是系统的相对稳定性的一种度量，这种度量近程度是系统的相对稳定性的一种度量，这种度量常用相角裕量常用相角裕量(度度)和幅值裕量和幅
22、值裕量(度度)来描述。来描述。一、一、Nyquist稳定判据稳定判据判据提出：判据提出：该稳定性判据由该稳定性判据由H.NyquistH.Nyquist于于19321932年提出，在年提出，在19401940年以后得到广泛应用。年以后得到广泛应用。判据原理：判据原理：将闭环系统的特征方程将闭环系统的特征方程 1+G(s)H(s)=0 1+G(s)H(s)=0 与开环与开环频率特性频率特性G GK K(j)=G(s)H(s)(j)=G(s)H(s)联系起来，从而将联系起来，从而将系统特性从复域引入频域来分析。系统特性从复域引入频域来分析。判断方法：判断方法：通过通过G GK K(j)(j)的的N
23、yquistNyquist图，利用图解法来判明图，利用图解法来判明闭环系统的稳定性。闭环系统的稳定性。NyquistNyquist稳定判据的数学基础是复变函数中的幅角原理。稳定判据的数学基础是复变函数中的幅角原理。n幅角原理（幅角原理（Cauchy定理）定理）例如：例如：10 11jjvujSAAA12 11jjvujSCCC12 11jjvujSEEE10 11jjvujSGGG进一步，我们考虑进一步，我们考虑S S平面上的平面上的一个围线（封闭曲线），一个围线（封闭曲线），如图如图(a)(a)平面中的平面中的ABCDEFGHABCDEFGH所示，要观察该围线在所示，要观察该围线在F(S)F
24、(S)平面上的平面上的映射，先求映射，先求A A、C C、E E、G G四个点，有如下结果四个点，有如下结果 分析一下分析一下F(s)F(s)ssssF221)(零点：零点：-2-2极点：极点：0 0第一次第一次s平面上的曲线包围了平面上的曲线包围了F(s)的的 极点，未包含零点极点，未包含零点F(s)包围原点，旋转方向：包围原点，旋转方向：逆时针方向逆时针方向s平面选择方向：平面选择方向：顺时针顺时针F(s)包含坐标原点，方向：逆时针！包含坐标原点，方向：逆时针！u记住：记住：如果让如果让s平面上的围线同时包围平面上的围线同时包围F(s)的极点和零点的极点和零点F(s)曲线会？曲线会？不包含
25、坐标原点不包含坐标原点sssF2)(如果再把如果再把S平面围线的平面围线的CDE段移到的段移到的-1点，这时点，这时包围包围了零点了零点，但不包围其极点但不包围其极点。此时，。此时，F(s)平面上的围线平面上的围线包围了原点，而方向都是顺时针的！如下图包围了原点，而方向都是顺时针的！如下图包含坐标原点，方向：顺时针！包含坐标原点，方向：顺时针！sssF2)(n注意注意:S平面的曲线如果只包含平面的曲线如果只包含F(s)的的极点极点：F(s)曲线将曲线将包含原点包含原点，且曲线旋转方向为，且曲线旋转方向为逆时针。逆时针。S平面的曲线如果只包含平面的曲线如果只包含F(s)的的零点零点：F(s)曲线
26、曲线将将包含原点包含原点，且曲线旋转方向为，且曲线旋转方向为顺时针。顺时针。S平面的曲线如果既包含平面的曲线如果既包含F(s)的零点，又包含极点？的零点，又包含极点？刚才我们看见的刚才我们看见的F(s)不包含零点，即包围零点圈不包含零点，即包围零点圈数数=0。n结论结论:如果如果s平面上的曲线包含平面上的曲线包含F(s)的的Z个零点个零点，P个个极点极点，那么，那么F(s)绕零点的旋转圈数为：绕零点的旋转圈数为：N=Z-P (顺时针顺时针)。S平面ImImReReF平面单域问题单域问题 N1 S平面ImImReReF平面N=-1ImImReReF平面S平面N=m-n=3 1=2零点零点极点极点
27、jsZ=3P=1N=2Z=0P=1N=-11.1.幅角原理（幅角原理（CauchyCauchy定理）定理）)()()()()(2121nmpspspszszszsKsFjvusF)(设设F F(s)(s)在在ss平面上平面上除有限个奇点外除有限个奇点外为单值的连续正则函数，为单值的连续正则函数，并设并设ss平面上解析点平面上解析点s s映射到映射到 F F(s)(s)平面上为点平面上为点F F(s)(s)，或为从原点，或为从原点指向此映射点的向量指向此映射点的向量F F(s)(s)。若在。若在ss平面上任意一封闭曲线平面上任意一封闭曲线L Ls s，只，只要此曲线不经过要此曲线不经过F F(s
28、)(s)的奇点，的奇点，则在则在F(s)平面上必有一条对应的平面上必有一条对应的曲线曲线LF，也是一条封闭曲线。，也是一条封闭曲线。当解析点当解析点s s按顺时针方向沿按顺时针方向沿L Ls s变化一周时变化一周时，向量，向量F F(s s)将按顺时针将按顺时针方向方向旋转旋转N N 周周，即，即F F(s s)以原点为中心顺时针旋转以原点为中心顺时针旋转NN 周，这就等于曲周，这就等于曲线线L LF F顺时针包围原点顺时针包围原点NN 次次。若令。若令Z Z 为包围于为包围于L Ls s内的内的F F(s s)的零点数，的零点数，P P 为包围于为包围于L Ls s 内的内的F(s)F(s)
29、的极点数，则有的极点数，则有N ZP取任意拉氏函数：取任意拉氏函数：js1s2ssLReIm)(sF)(1sF)(2sFFL向量向量F F(s)(s)的相位为的相位为njjmiipszssF11)()()(简要说明简要说明mnpspspszszszsKsFnm)()()()()(2121jsizizs1p1z2p3psLIm)(sFReFL)(sF 假设假设 L Ls s 内只包围了内只包围了F F(s)(s)的的一个零点一个零点z zi i，其它零极点均位于，其它零极点均位于L Ls s 之外，之外，当当s s沿沿L Ls s 顺时针移动一周时，向量（顺时针移动一周时，向量（s sz zi
30、i）的相位角变化为）的相位角变化为22弧弧度，而其余相位角的变化为度，而其余相位角的变化为0 0。即向量。即向量F F(s)(s)的相位角变化为的相位角变化为22，或，或者说者说 F F(s)(s)在在 F F(s)(s)平面上沿平面上沿 L LF F 绕原点顺时针转了一圈。绕原点顺时针转了一圈。njjmiipszssF11)()()(若若ss平面上的封闭曲线包围平面上的封闭曲线包围F(s)F(s)的的Z Z个零点，则在个零点，则在 F F(s)(s)平面上的映平面上的映射曲线射曲线L LF F将绕原点顺时针将绕原点顺时针Z Z圈，而若圈，而若ss平面内的封闭曲线包围这平面内的封闭曲线包围这F
31、 F(s)(s)的的P P个极点，则平面上的映射曲线个极点，则平面上的映射曲线L LF F将绕原点逆时针转将绕原点逆时针转P P圈。若圈。若L Ls s包围包围了了F(s)F(s)的的Z Z个零点和个零点和P P个极点，则个极点，则F(s)F(s)平面上的映射曲线平面上的映射曲线L LF F将将绕原点顺绕原点顺时针转时针转N=Z-PN=Z-P圈圈。2.Nyquist 2.Nyquist 稳定判据稳定判据:利用开环频率特性判断闭环系统的稳定性利用开环频率特性判断闭环系统的稳定性设闭环传递函数方框图对应的开环传递函数为：设闭环传递函数方框图对应的开环传递函数为：)().()()(.)()()()(
32、2121mnpspspszszszsKsHsGsGnmK?X i(s)G(s)H(s)X o(s)其闭环传递函数为：其闭环传递函数为：)(H)(G1)()(sssGsGB特征方程特征方程 0)(H)(G1ss)(H)(G1)(sssF令令则有：则有：nnpspspssssssspspspszszszspspspssFnnnmn).()().()().()().()(K).()()(2121212121)()(G)(1)()()(1)()(sFssGsGsHsGsGsGKB0)(1)()(1)(sGsHsGsFK因为因为:特征方程为：特征方程为：nnpspspssssssssFnn).()().
33、()()(2121由此可知，由此可知，s1,s2,sn是是F(s)的零点，即为的零点，即为GB(s)的极点的极点，亦即系统特，亦即系统特征方程的根；征方程的根；F(s)的极点的极点p1,p2,pn即即GK(s)的极点的极点。上述各函数零点与极点之间的对应关系如下：上述各函数零点与极点之间的对应关系如下：)(sGB)(sF)(sGK零点零点极点零点极点零点极点相同相同)().()()(.)()()()(2121mnpspspszszszsKsHsGsGnmK?)(sGB)(sF)(sGK零点零点极点零点极点零点极点相同相同 定常线性系统稳定的充要条件定常线性系统稳定的充要条件是其闭环特征方程的是
34、其闭环特征方程的全部根具有负实部，即在全部根具有负实部，即在ss右半平面内没有极点，也右半平面内没有极点，也就是说，就是说，F F(s)(s)在在ss平面的右半平面没有零点平面的右半平面没有零点。下面我们通过下面我们通过幅角原理幅角原理导出导出Nyquist稳定判据稳定判据 为研究为研究F F(s)(s)有无零点位于有无零点位于ss平面的右半平面平面的右半平面，可选择一条，可选择一条包围整个包围整个ss右半平面右半平面的的封闭曲线封闭曲线LsLs，如图。，如图。LsLs由两部分组成，由两部分组成，其中，其中，L L1 1为为到到+的整个虚轴，的整个虚轴，L L2 2为半径为半径R R趋于无穷趋
35、于无穷大的半圆弧。因此，大的半圆弧。因此，L Ls s封闭地包围了整个封闭地包围了整个ss平面的右半平面。平面的右半平面。这一封闭曲线这一封闭曲线LsLs即为即为ss平面上的平面上的 Nyquist Nyquist 轨迹。当轨迹。当到到+，轨迹的方向为顺时针方向。，轨迹的方向为顺时针方向。由于在由于在应用幅角原理应用幅角原理时，时，L Ls s不能通过不能通过F F(s)(s)函数的任何极点函数的任何极点，所以当函数所以当函数F F(s)(s)有若干极点处于有若干极点处于ss平面的虚轴或原点处时，平面的虚轴或原点处时，L Ls s应以这些点为圆心，以无穷小为半径的圆弧按逆时针方向应以这些点为圆
36、心，以无穷小为半径的圆弧按逆时针方向绕过这些点。由于绕过这些点的圆弧的半径为无穷小，因此，绕过这些点。由于绕过这些点的圆弧的半径为无穷小，因此，可以认为可以认为L Ls s曲线仍然包围了整个曲线仍然包围了整个ss平面的右半平面。平面的右半平面。j j j01L2Lsj j j01L2Ls00 设设F F(s)(s)1 1G G(s)(s)H H(s)(s)在在ss右平面有右平面有Z Z个零点和个零点和P P个极点个极点，由幅角，由幅角原理，原理，当当s s沿沿ss平面上的平面上的NyquistNyquist轨迹移动一周时，在轨迹移动一周时，在 F F 平面上平面上的映射曲线的映射曲线L LF
37、F将顺时针包围原点将顺时针包围原点NNZ ZP P圈圈。因为因为:G(s)H(s)F(s)1 可见可见GHGH平面是将平面是将FF平面的虚轴右移一个单位所构成的复平面。平面的虚轴右移一个单位所构成的复平面。FF平面上的坐标原点，就是平面上的坐标原点，就是GHGH平面上的（平面上的（1 1，j0j0）点，）点，F F(s)(s)的映的映射曲线射曲线L LF F包围原点的圈数就等于包围原点的圈数就等于G(s)H(s)G(s)H(s)的映射曲线的映射曲线L LGHGH包围（包围（1 1，j0j0）点的圈数。）点的圈数。ImRe)0,1(j0)(sFF1FLImRe)0,1(j)()(sHsGGH1G
38、HL0 设设F F(s)(s)1 1G G(s)(s)H H(s)(s)在在ss右平面有右平面有Z Z个零点和个零点和P P个极点个极点，由幅角，由幅角原理，原理，当当s s沿沿ss平面上的平面上的NyquistNyquist轨迹移动一周时，在轨迹移动一周时，在 F F 平面上平面上的映射曲线的映射曲线L LF F将顺时针包围（将顺时针包围（-1-1，j0j0）NNZ ZP P圈圈。对于任何物理上可实现的开环系统，其对于任何物理上可实现的开环系统，其G GK K(s)(s)的分母的的分母的阶次阶次n n 必不小于分子的阶次必不小于分子的阶次 m m，即，即n n m m，故有：，故有：这里这里
39、ss是指是指其模其模而言，所以，而言，所以，ss平面上半径为平面上半径为的的半圆映射到半圆映射到GHGH平面上为原点或实轴上的一点。平面上为原点或实轴上的一点。mnmnsHsGs 当const当0)()(lim 因为，因为，L Ls s为为ss平面上的整个虚轴再加上半径为无穷大的半圆平面上的整个虚轴再加上半径为无穷大的半圆弧，而弧，而ss平面上半径为无穷大的半圆弧映射到平面上半径为无穷大的半圆弧映射到 GHGH平面上只是平面上只是一个点，它对于一个点，它对于G G(s)(s)H H(s)(s)的映射曲线的映射曲线L LGHGH对某点的包围情况无影对某点的包围情况无影响，所以响，所以G G(s)
40、(s)H H(s)(s)的绕行情况只考虑的绕行情况只考虑ss平面的虚轴映射到平面的虚轴映射到GHGH平面上的开环平面上的开环NyquistNyquist轨迹轨迹G G(j(j)H H(j(j)即可。即可。向量向量F F(s)(s)的相位为的相位为njjmiipszssF11)()()(mnpspspszszszsKsFnm)()()()()(2121jsizizs1p1z2p3psLIm)(sFReFLF(s)若若ss平面上的封闭曲线包围平面上的封闭曲线包围F(s)F(s)的的Z Z个零点，则在个零点，则在 F F(s)(s)平面上的映平面上的映射曲线射曲线L LF F将绕原点顺时针将绕原点顺
41、时针Z Z圈，而若圈，而若ss平面内的封闭曲线包围这平面内的封闭曲线包围这F F(s)(s)的的P P个极点，则平面上的映射曲线个极点，则平面上的映射曲线L LF F将绕原点逆时针转将绕原点逆时针转P P圈。若圈。若L Ls s包围包围了了F(s)F(s)的的Z Z个零点和个零点和P P个极点，则个极点，则F(s)F(s)平面上的映射曲线平面上的映射曲线L LF F将将绕原点顺绕原点顺时针转时针转N=Z-PN=Z-P圈圈。闭环系统稳定的充要条件是：闭环系统稳定的充要条件是：F F(s)(s)在在ss平面的右半平面无零平面的右半平面无零点，即点，即 Z Z0 0。因此，如果。因此，如果G G(s
42、)(s)H H(s)(s)的的NyquistNyquist轨迹逆时针包围轨迹逆时针包围（1 1，j j0 0）点的圈数）点的圈数N N 等于等于G G(s)(s)H H(s)(s)在在ss平面的右半平面的极平面的右半平面的极点数点数P P 时，有时，有N N P P，闭环系统稳定。，闭环系统稳定。综上所述，综上所述，NyquistNyquist稳定判据表述如下：稳定判据表述如下：当当到到+时，时，若若GHGH平面上的开环频率特性平面上的开环频率特性G(jG(j)H(j)H(j)逆时针逆时针包围（包围（1 1，j 0j 0）点）点P P 圈，则闭环系统稳定。圈，则闭环系统稳定。P P 为为G(s
43、)H(s)G(s)H(s)在在ss平面的右平面的右半平面的极点数。半平面的极点数。对于对于开环稳定的系统开环稳定的系统，有，有P P0 0，此时，此时闭环系统稳定的充要条闭环系统稳定的充要条件是：系统的开环频率特性件是：系统的开环频率特性G(jG(j)H(j)H(j)不包围（不包围（1 1，j 0j 0）点）点。定常线性系统稳定的充要条件定常线性系统稳定的充要条件是其闭环特征方程的是其闭环特征方程的全部根具有负实部，即在全部根具有负实部，即在ss右半平面内没有极点，也右半平面内没有极点，也就是说，就是说，F F(s)(s)在在ss平面的右半平面没有零点平面的右半平面没有零点。)(sGB)(sF
44、)(sGK零点零点极点零点极点零点极点相同相同 如图是如图是P P=0=0的系统的开环奈氏图。的系统的开环奈氏图。(a)(a)图不包围图不包围(-1(-1，j j 0)0)点，它所对应的闭环系统稳定；点，它所对应的闭环系统稳定；(b)(b)图对应的闭环系统不图对应的闭环系统不稳定。稳定。ImRe)0,1(j0KGH0ImRe)0,1(j0KGH0(a)(b)实例分析实例分析 1 1实例分析实例分析 2 2已知某系统的开环传递函数为：已知某系统的开环传递函数为：)1)(1)(12()1)(1()()(321221sTsTsTsTsTsTKsHsGba其开环传递函数的奈氏图如下：其开环传递函数的奈
45、氏图如下：ImRe)0,1(j0KGH0 由开环传递函数可知，由开环传递函数可知，P P=1=1，即在，即在ss平面的右半平面有一个极点。其平面的右半平面有一个极点。其奈氏轨迹奈氏轨迹逆时针逆时针包围包围 (-1(-1，j 0)j 0)点一点一圈，所以闭环系统仍是稳定的。圈，所以闭环系统仍是稳定的。这就是所谓的这就是所谓的开环不稳定而闭环稳开环不稳定而闭环稳定定。开环不稳定是指开环传递函数在。开环不稳定是指开环传递函数在ss平面的右半平面有极点。显然，平面的右半平面有极点。显然，此时的开环系统是非最小相位系统。此时的开环系统是非最小相位系统。向量向量F F(s)(s)的相位为的相位为njjmi
46、ipszssF11)()()(mnpspspszszszsKsFnm)()()()()(2121jsizizs1p1z2p3psLIm)(sFReFLF(s)若若ss平面上的封闭曲线包围平面上的封闭曲线包围F(s)F(s)的的Z Z个零点，则在个零点，则在 F F(s)(s)平面上的映平面上的映射曲线射曲线L LF F将绕原点顺时针将绕原点顺时针Z Z圈，而若圈，而若ss平面内的封闭曲线包围这平面内的封闭曲线包围这F F(s)(s)的的P P个极点，则平面上的映射曲线个极点，则平面上的映射曲线L LF F将绕原点逆时针转将绕原点逆时针转P P圈。若圈。若L Ls s包围包围了了F(s)F(s)
47、的的Z Z个零点和个零点和P P个极点，则个极点，则F(s)F(s)平面上的映射曲线平面上的映射曲线L LF F将将绕原点顺绕原点顺时针转时针转N=Z-PN=Z-P圈圈。总结总结 闭环系统稳定的充要条件是：闭环系统稳定的充要条件是：F F(s)(s)在在ss平面的右半平面无零平面的右半平面无零点，即点，即 Z Z0 0。因此，如果。因此，如果G G(s)(s)H H(s)(s)的的NyquistNyquist轨迹逆时针包围轨迹逆时针包围（1 1，j j0 0）点的圈数）点的圈数N N 等于等于G G(s)(s)H H(s)(s)在在ss平面的右半平面的极平面的右半平面的极点数点数P P 时，有
48、时，有N N P P，闭环系统稳定。，闭环系统稳定。定常线性系统稳定的充要条件定常线性系统稳定的充要条件是其闭环特征方程的是其闭环特征方程的全部根具有负实部，即在全部根具有负实部，即在ss右半平面内没有极点，也右半平面内没有极点，也就是说，就是说，F F(s)(s)在在ss平面的右半平面没有零点平面的右半平面没有零点。)(sGB)(sF)(sGK零点零点极点零点极点零点极点相同相同3.3.开环含有积分环节的开环含有积分环节的NyquistNyquist轨迹轨迹轨迹特点：轨迹特点：当系统中串联有积分环节时，当系统中串联有积分环节时，开环传递函数开环传递函数有位于有位于s平面坐标原点处的极点平面坐
49、标原点处的极点。设开环传递函数设开环传递函数 vniivmjjKsTssTKsHsGsG11)1()1()()()(式中，式中，为系统中积分环节的个数，当为系统中积分环节的个数，当s s 沿无穷小沿无穷小半圆弧逆时针方向移动时，有半圆弧逆时针方向移动时，有jrres0limj j j01L2Ls00映射到映射到GHGH平面上的平面上的NyquistNyquist轨迹为：轨迹为：jvvrresvniivmjjresserKsTssTKsHsGsHsGjrjr0lim11lim0lim)1()1()()()()(00lim映射到映射到GHGH平面上的平面上的NyquistNyquist轨迹为：轨迹
50、为：因此，当因此，当s s沿小半圆从沿小半圆从0 0变化到变化到0 0时，时，角从角从/2/2变化到变化到/2/2，这时，这时GHGH平面上的平面上的NyquistNyquist轨轨迹将沿无穷大半径按迹将沿无穷大半径按顺时针方向顺时针方向从从v v/2/2转到转到-v v/2/2。jvvrresvniivmjjresserKsTssTKsHsGsHsGjrjr0lim11lim0lim)1()1()()()()(00lim实例分析实例分析 3 3已知某系统的开环传递函数为：已知某系统的开环传递函数为：)12)(1()14()()(2sssssHsG当当=0 0 时，时，180jHjG当当=时，
