1、10-3 10-3 梁横截面上的切应力及梁的切应力强度条件梁横截面上的切应力及梁的切应力强度条件 1.1.两条假设两条假设 （1 1）横截面上各点处的切应力均与侧边平行。横截面上各点处的切应力均与侧边平行。（2 2）横截面上距中性轴等距离各点的切应力相等。横截面上距中性轴等距离各点的切应力相等。2.2.切应力公式的推导切应力公式的推导一、矩形截面梁的切应力一、矩形截面梁的切应力 从图所示的梁中取出长为从图所示的梁中取出长为d dx的微段。的微段。现假设用一水平截面将微段梁现假设用一水平截面将微段梁截开，并保留下部脱离体，由于脱截开，并保留下部脱离体，由于脱离体侧面上存在竖向切应力离体侧面上存在
2、竖向切应力，根，根据切应力互等定理可知，在脱离体据切应力互等定理可知，在脱离体的顶面上一定存在切应力的顶面上一定存在切应力，且，且=,如图所示。如图所示。微段梁上的应力情况如图所示。微段梁上的应力情况如图所示。dxyyzdxFSMFSM+dMdx微段梁上的受力情况如图所示。微段梁上的受力情况如图所示。0dS1N2NFFF得得（a）0 xF由由 以以FN1 1、FN2 2分别代表作用在脱离体左侧面、右侧分别代表作用在脱离体左侧面、右侧面上法向内力的总和，面上法向内力的总和，dFS代表水平截面上切应力的代表水平截面上切应力的总和，如图所示。总和，如图所示。dxFN2FN1dFS其中其中 z*zAz
3、AzAIMSAyIMAIMyAF111ddd111N（b）式中的式中的A1 1是横截面上距中性轴为是横截面上距中性轴为y的横的横线以外部分的面积，如图所示。线以外部分的面积，如图所示。1d1A*zAyS是是A1 1对中性轴的静矩对中性轴的静矩。bhzyA1y同样有同样有 z*zISMMF)d(2N（c）由于微段的长度很小，脱离体水平截面上的切应由于微段的长度很小，脱离体水平截面上的切应力可认为是均匀分布的，所以有力可认为是均匀分布的，所以有xbFd dS（d）将将FN1、FN2、dFS代入式（代入式（a），得），得 0d)d(xb IMSISMMz*zz*z经整理得经整理得 bISFzz*Sd
4、xFN2FN1dFSzzIMSF*N1 式（式（10108 8）即为矩形截面梁横截面任一点的切应）即为矩形截面梁横截面任一点的切应力计算公式。力计算公式。式中：式中：FS为横截面上的剪力；为横截面上的剪力；S z*为面为面积积A1 1对中性轴的静矩；对中性轴的静矩；Iz横截面对中性轴的惯性矩；横截面对中性轴的惯性矩；b为截面的宽度。为截面的宽度。bISFzz*S对于矩形截面梁，由图可知对于矩形截面梁，由图可知)4(2)2(21)2(22yhbyhyyhbS*zmax(b)bhzyA1(a)y将其代入上式，可得将其代入上式，可得)4(222yhIFzS 式中的式中的A=bh是横截面的面积。由此可
5、见，是横截面的面积。由此可见，矩形截面矩形截面梁横截面上的最大切应力是截面上平均切应力的梁横截面上的最大切应力是截面上平均切应力的1.5倍。倍。AF23Smax 此式表明矩形截面梁横截面上切应力沿梁高此式表明矩形截面梁横截面上切应力沿梁高按二次抛物线形规律分布。在截面上、下边缘按二次抛物线形规律分布。在截面上、下边缘（）处，）处，=0，而在中性轴上（，而在中性轴上（y=0）的切）的切应力有最大值，如图所示。即应力有最大值，如图所示。即 2hymax(b)bhzyA1(a)y)4(222yhIFzSAFbhFIhFz23238SS2Smax例题例题10105 5 一矩形截面的简支梁如图所示。已知
6、：一矩形截面的简支梁如图所示。已知：l=3m=3m，h=160mm=160mm，b=100mm=100mm，y=40mm=40mm，F=3kN=3kN，求，求m m截面上截面上K点的切应力。点的切应力。解：解：先求出先求出m m截面上的剪力为截面上的剪力为3kN。4433m10341.01216.01.012bhIz面积面积A*对中性轴的静矩对中性轴的静矩3301 004 006024 10*.mzSA y 则则K点的切应力点的切应力33643 100 24 100 21 100 210 341 100 1zzF SbS.Pa.MPaI.Fl/3l/3FAl/3Bl/6mmzbKyhy*A*截
7、面对中性轴的惯性矩截面对中性轴的惯性矩二、工字形截面梁的切应力二、工字形截面梁的切应力 1.腹板上的切应力腹板上的切应力 1*SbISFzz 式中：式中：FS为横截面上的剪力；为横截面上的剪力；Sz*为欲求应力点到为欲求应力点到截面边缘间的面积对中性轴的静矩；截面边缘间的面积对中性轴的静矩；Iz为横截面对中为横截面对中性轴的惯性矩；性轴的惯性矩；b1 1为腹板的厚度。为腹板的厚度。切应力沿腹板高度的分布规律如图所示，仍是按切应力沿腹板高度的分布规律如图所示，仍是按抛物线规律分布，最大切应力抛物线规律分布，最大切应力maxmax仍发生在截面的仍发生在截面的中性轴上。中性轴上。翼缘上的切应力的情况
8、比较复杂，既有平行于翼缘上的切应力的情况比较复杂，既有平行于y轴的切应力分量（竖向分量），也有与翼缘长边平轴的切应力分量（竖向分量），也有与翼缘长边平行的切应力分量（水平分量）。当翼缘的厚度很小行的切应力分量（水平分量）。当翼缘的厚度很小时，竖向切应力很小，一般不予考虑。时，竖向切应力很小，一般不予考虑。2.2.翼缘上的切应力翼缘上的切应力 翼缘上的水平切应力可认为沿翼缘厚度是均匀翼缘上的水平切应力可认为沿翼缘厚度是均匀分布的，其计算公式仍与矩形截面的切应力的形式分布的，其计算公式仍与矩形截面的切应力的形式相同，即相同，即 ISFzz*S 式中式中FS为横截面上的剪力；为横截面上的剪力；Sz*
9、为欲求应力点到翼为欲求应力点到翼缘边缘间的面积对中性轴的静矩；缘边缘间的面积对中性轴的静矩；Iz横截面对中性轴的横截面对中性轴的惯性矩；惯性矩；为翼缘的厚度。为翼缘的厚度。水平切应力的大小沿水平方向的分布如图所示。实水平切应力的大小沿水平方向的分布如图所示。实践和理论推导已经证明，在整个工字型截面上切应力践和理论推导已经证明，在整个工字型截面上切应力的方向可用图的方向可用图c表示。从图中表示切应力方向的许多小表示。从图中表示切应力方向的许多小箭头来看，它们好象是两股沿截面流动的水流，箭头来看，它们好象是两股沿截面流动的水流，从上从上（或下）翼缘的两端开始，共同朝向中间流动，到腹（或下）翼缘的两
10、端开始，共同朝向中间流动，到腹板处汇合成一股，沿着腹板向下（或上）到下（或上）板处汇合成一股，沿着腹板向下（或上）到下（或上）翼缘处再分为两股向两侧流动翼缘处再分为两股向两侧流动。对所有的薄壁杆，其。对所有的薄壁杆，其横截面上切应力的方向，都有这个特点。这种现象称横截面上切应力的方向，都有这个特点。这种现象称为为切应力流切应力流。掌握了切应力流的特性，则不难由剪力。掌握了切应力流的特性，则不难由剪力的方向确定薄壁杆横截面上切应力的方向。的方向确定薄壁杆横截面上切应力的方向。三、三、T T字型截面梁的切应力字型截面梁的切应力 T字型截面可以看成是由两个矩形组成，下面的字型截面可以看成是由两个矩形
11、组成，下面的狭长矩形与工字形截面的腹板相似，该部分上的切狭长矩形与工字形截面的腹板相似，该部分上的切应力仍用下式计算应力仍用下式计算：1*SbISFzz 最大切应力仍然发生在截面的中性轴上。最大切应力仍然发生在截面的中性轴上。四、圆形及环形截面梁的切应力四、圆形及环形截面梁的切应力 圆形及薄壁环形截面其最大竖向切应力也都发生在圆形及薄壁环形截面其最大竖向切应力也都发生在中性轴上，并沿中性轴均匀分布，计算公式分别为中性轴上，并沿中性轴均匀分布，计算公式分别为AFSmax34 FS为横截面上的剪力，为横截面上的剪力，A为圆形截面的面积。为圆形截面的面积。AFSmax2 FS为横截面上的剪力，为横截
12、面上的剪力，A为薄壁环型截面的面积。为薄壁环型截面的面积。圆形截面圆形截面薄壁环形截面薄壁环形截面五、梁的切应力强度条件五、梁的切应力强度条件 对于等截面梁来说，最大切应力应发生在剪力对于等截面梁来说，最大切应力应发生在剪力最大的横截面的中性轴上。最大的横截面的中性轴上。即即 bISFz*z max,maxS,max 为了保证梁的安全工作，梁在荷载作用下产生为了保证梁的安全工作，梁在荷载作用下产生的最大切应力不能超过材料的许用切应力，即的最大切应力不能超过材料的许用切应力，即 bISFzz*max,maxS,max此式即为切应力的强度条件。此式即为切应力的强度条件。在进行梁的强度计算时，必须同
13、时满足正应力强在进行梁的强度计算时，必须同时满足正应力强度条件和切应力强度条件。一般情况下，梁的强度计度条件和切应力强度条件。一般情况下，梁的强度计算由正应力强度条件控制。因此，按正应力强度条件算由正应力强度条件控制。因此，按正应力强度条件设计的截面常可使切应力远小于许用切应力。所以设计的截面常可使切应力远小于许用切应力。所以一一般情况下，总是根据梁横截面上的最大正应力来设计般情况下，总是根据梁横截面上的最大正应力来设计截面，然后再按切应力强度条件进行校核截面，然后再按切应力强度条件进行校核。但在少数。但在少数情况下，梁的切应力强度条件也可能起到控制作用。情况下，梁的切应力强度条件也可能起到控
14、制作用。例如梁的跨度较短，或在支座附近作用有较大的荷载，例如梁的跨度较短，或在支座附近作用有较大的荷载，因而使梁中出现的弯矩较小而剪力很大时；在铆接或因而使梁中出现的弯矩较小而剪力很大时；在铆接或焊接的组合截面钢梁中，其横截面的腹板厚度与高度焊接的组合截面钢梁中，其横截面的腹板厚度与高度之比小于一般型钢截面的相应比值时。之比小于一般型钢截面的相应比值时。解：解：（1）画出剪力图和弯矩图画出剪力图和弯矩图 最大正应力应发生在最大最大正应力应发生在最大弯矩的截面上。查型钢表可知弯矩的截面上。查型钢表可知 333m10309.0cm309zW例题例题106 一外伸工字型钢梁如图一外伸工字型钢梁如图a
15、所示。工字钢的型号所示。工字钢的型号为为22a，已知：，已知：l=6m，F=30kN，q=6kN/m，材料的许用，材料的许用应力应力=170MPa，=100MPa，试校核梁的强度。，试校核梁的强度。(a)BDCl/3qAFl/2l/212kN17kN13kN(b)FS图12kN.m39kN.m(c)M图,max17kNsFmax39kN mM（2）校核最大正应力校核最大正应力 最大正应力最大正应力 MPa126Pa101261030901039633maxmax.WMz(a)BDCl/3qAFl/2l/212kN17kN13kN(b)FS图（3）校核最大切应力校核最大切应力 最大切应力应发生在
16、最大切应力应发生在最大剪力的截面上。最大剪力的截面上。0.189mcm9.18max,zzSIm0075.0mm5.71 db最大切应力最大切应力 MPa12Pa10120075.0189.01017631max,maxS,maxbISFzz所以此梁满足强度要求。所以此梁满足强度要求。查型钢表可知查型钢表可知 例例1、矩形、矩形(b h=0.12m 0.18m）截面木梁如图，截面木梁如图，=7 M Pa，=0.9 M Pa，试求最大，试求最大正应力和最大切应力正应力和最大切应力之比，并校核梁的强度。之比，并校核梁的强度。q=3.6kN/mL=3mABNqLFS54002336002maxNmq
17、LM4050833600822max 5400N5400NFS图4050NmM图解：解：（1）画出剪力图和弯矩图画出剪力图和弯矩图（2 2）求最大应力并校核强度）求最大应力并校核强度（3）应力之比应力之比7.1632maxmaxmaxhLFAWMSz22maxmaxmax18.012.0405066 bhMWMz MPaMPa 725.6 0.9MPaPa10375.018.012.02540032bh32A36max?SSFF例例2、矩形截面梁如图，已知、矩形截面梁如图，已知=30 M Pa，=2 M Pa，q20kN/m，l4m，试根据正应力条件选择截面（假设，试根据正应力条件选择截面（假
18、设b:h=2:3），并校核梁的切应力强度。，并校核梁的切应力强度。NqLFS33max10402410202mN104084102083232maxqLMqlAB解：解：（1）画出剪力图和弯矩图画出剪力图和弯矩图 40kNm40kN40kNFS图M图(2)(2)根据正应力强度选择截面尺寸根据正应力强度选择截面尺寸 ZWMmaxmax由由得得 max326326bhMhWZ m229.01030104099h3633maxMm153.0b取取m229.0h?m229.0h?m153.0bm229.0h?取取m153.0bm229.0h?（2 2）校核切应力强度）校核切应力强度 MPa2 71MP
19、a.1Pa1071.1 292.0531.02104032bh363maxmax?SF满足切应力强度条件。满足切应力强度条件。取取m153.0bm229.0h?（2 2）梁能承受的最大弯矩为）梁能承受的最大弯矩为例例3、矩形截面梁宽度、矩形截面梁宽度b=140mm，高度，高度h210mm，梁，梁上跨中作用集中力，已知上跨中作用集中力，已知=10 M Pa，=1M Pa，l4m，试求该梁能承受的最大荷载。，试求该梁能承受的最大荷载。4maxPlMPl/2l/2ABCPl/4P/2FS图M图P/2 ZWMmax而而所以所以 ZWPlM4max解：解：（1）画出剪力图和弯矩图画出剪力图和弯矩图 N1
20、02904621.014.010104426lWPZP/2FS图P/2（3 3）此时梁能承受的最大剪力为）此时梁能承受的最大剪力为NPFS51452102902max 1MPaPa2625.021.014.02514532bh3maxMFS满足切应力强度条件。满足切应力强度条件。例题例题10107 7 图图a所示为一起重设备简图。已知起重量所示为一起重设备简图。已知起重量（包含电葫芦自重）（包含电葫芦自重）F=30=30KN，跨长，跨长l=5=5m。AB梁是由梁是由2020a号的工字钢组成，其许用应力号的工字钢组成，其许用应力=170=170MPa，=100=100MPa。试校核梁的强度。试校
21、核梁的强度。lABF(a)ABF(b)37.5kN.m(c)解：解：（1）校核最大正应力校核最大正应力 在荷载处于最不利位置（在荷载处于最不利位置（跨中跨中）时，如图时，如图b。梁的弯矩图如图梁的弯矩图如图c。m37.5kNmaxM查得查得20a号工字钢号工字钢363m10237237cmzW梁的最大正应力梁的最大正应力 WMz158MPaPa10158102371037.5663maxmax最大弯矩值最大弯矩值 lABF(a)ABF(d)FAFBFS,max(e)（2）校核最大切应力校核最大切应力 校核切应力时的最不利荷载位校核切应力时的最不利荷载位置如图置如图d所示。所示。相应的剪力图如图相应的剪力图如图e。30kNAmaxS,FFF利用型钢表规格表查得利用型钢表规格表查得 17.2cmmax,zzSI7mm1 db梁的最大切应力梁的最大切应力 bISFzz24.9MPaPa109.241071017.2103063231max,maxS,max梁的正应力和切应力强度条件均能满足梁的正应力和切应力强度条件均能满足。
