1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学高等数学A A4.4.1 Taylor4.4.1 Taylor级数级数4.4.2 4.4.2 函数展开成幂级数函数展开成幂级数4.4.3 4.4.3 函数展开成幂级数的应用函数展开成幂级数的应用4.4 4.4 函数展开成幂级数函数展开成幂级数4.4.1 Taylor级数级数 函数展开成幂级数函数展开成幂级数 直接法直接法4.4.2 函数展开成幂级数函数展开成幂级数思考题思考题 间接法间接法Taylor(泰勒泰勒)级数的存在性级数的存在性Taylor(泰勒泰勒)级数的形式级数的形式 习例习例1-3习例习例4-
2、10).1,1(,)1(1 211 xxnxnn从前面部分我们可知从前面部分我们可知nnnxxaxf)()(00 是否存在幂级数在其收是否存在幂级数在其收敛域内以敛域内以f(x)为和函数？为和函数？问题问题:1.如果能展开如果能展开,是什么是什么?na2.展开式是否唯一展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数?一、一、Taylor级数级数1.Taylor(泰勒泰勒)级数的形式级数的形式 证证即即内收敛于内收敛于在在),()()(000 xfxUxxannn nnxxaxxaaxf)()()(0010 )(23)1(!)(01)(xxannanxfnnn即得即
3、得令令,0 xx ),2,1,0()(!10)(nxfnann泰勒系数是唯一的泰勒系数是唯一的,.)(的展开式是唯一的的展开式是唯一的xf 10021)()(2)(nnxxnaxxaaxf逐项求导任意次逐项求导任意次,得得泰勒系数泰勒系数 如如果果)(xf在在点点0 x处处任任意意阶阶可可导导,则则幂幂级级数数nnnxxnxf)(!)(000)(称称为为)(xf在在点点0 x的的 T Ta ay yl lo or r级级数数.nnnxnf 0)(!)0(称为称为)(xf在点在点0 x的的 MaclaMaclaurinurin 级数级数.定义定义问题问题nnnxxnxfxf)(!)()(000)
4、(?泰勒级数在收敛区间是否收敛于泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?不一定不一定.0,00,)(21xxexfx例如例如),2,1,0(0)0()(nfn且且 00)(nnxxf的麦克劳林级数为的麦克劳林级数为.0)(),(xs内和函数内和函数该级数在该级数在可见可见).(Maclaurin)(,0 xfxfx级数处处不收敛于级数处处不收敛于的的外外除除 在在x=0点任意阶可导点任意阶可导,2.Taylor(泰勒泰勒)级数的存在性级数的存在性证证必要性必要性)()(!)()(000)(xRxxixfxfninii ),()()(1xsxfxRnn ,)(能展开为泰勒级数能展开为泰勒级数设设x
5、f)()(lim1xfxsnn )(limxRnn)()(lim1xsxfnn ;0 充分性充分性),()()(1xRxsxfnn )()(lim1xsxfnn )(limxRnn ,0),()(lim1xfxsnn 即即).()(xfxf的泰勒级数收敛于的泰勒级数收敛于注意注意:定理定理1告诉我们：若告诉我们：若f(x)能展成能展成x的幂级数，则此幂级数的幂级数，则此幂级数就是就是Maclaurin级数；但反过来，若级数；但反过来，若f(x)的的Maclaurin级级数在数在x=0的某邻域内收敛，却不一定收敛于的某邻域内收敛，却不一定收敛于f(x).其敛散其敛散性应进一步考虑性应进一步考虑.
6、二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数步骤：步骤：),(),()()1(xfxfxf 的各阶导数的各阶导数求出求出),(),(),()2(000 xfxfxf 求出求出.)(,(00的幂级数的幂级数则不能展成则不能展成处某阶导数不存在处某阶导数不存在若在若在xxx nnxxnxfxxxfxf)(!)()()()()3(00)(000并求其收敛区间并求其收敛区间写出幂级数写出幂级数,)()!1()(lim)(lim)4(10)1(nnnnnxxnfxR 考虑考虑.)()3(,0)(lim的展开式的展开式中的幂级数为中的幂级数为则则若若xfxRnn 1.直接法直接法 例例 1.)(的的幂幂级级数
7、数展展开开成成将将xexfx 例例 2.0sin)(0处处展展开开在在将将 xxxf例例 3.Maclaurin)()1()(级级数数展展开开成成将将Rxxf 用直接法展开函数成幂级数习例用直接法展开函数成幂级数习例例例 1.)(的幂级数的幂级数展开成展开成将将xexfx 解解),2,1,0()()1()(nexfxn),2,1,0(1)0()2()(nfn nxnxx!1!211)3(2,0)!1(!limlim1 nnaannnn.R)!1()!1()(0)4(11 nxexnexRnxnn,)!1(01收敛收敛而而 nnnx.0)!1(lim1 nxnn.0)(lim xRnn)(!0
8、xnxennx例例 2.0sin)(0处展开处展开在在将将 xxxf解解),2,1,0()2sin()()1()(nnxxfn,11 0)0()2()(为奇数为奇数为偶数为偶数nornfn )!12()1(!5!3)3(12153nxxxxnn.R易得易得)(0)!1()!1(2)1(sin)(0)4(11 nnxxnnxRnnn )()!12()1(sin012 xnxxnnn0)0(f例例 3.Maclaurin)()1()(级数级数展开成展开成将将Rxxf 解解,)1()()1(1 xxf,)1)(1()(2 xxf,)1)(1()1()()(nnxnxf ,1)0()2(f,)0(f)
9、,1()0(f),1()1()0()(nfn nxnnxx!)1()1(!2)1(1)3(2 ,11limlim1 nnaannnn.1 R若若内内在在,)1,1(nxnnxxs!)1()1(1)(1)!1()1()1()1()(nxnnxxs nxnnxxxsx)!1()1()1()1()(2 !)1()1(!)()1()!1()1()1(nnmmmnnmmnnmm 利用利用)()1(xsx 12222!)1()1(!2)1(nxnnxx )(xs ,)1()()(xxsx 令令,1)0()0(s 21)1()()1()()1()(xxsxxsxx 且且.0)1()()()1()1(21 x
10、xsxsxx,)(Cx ,1)0(又又,1)(x,)1()(xxs )1,1(x)1,1(x nxnnxxx!)1()1(!2)1(1)1(2牛顿二项展开式牛顿二项展开式.注意注意:.1的取值有关的取值有关处收敛性与处收敛性与在在 x);1,1(1 收收敛敛域域为为;1,1(11 收收敛敛域域为为.1,1 1 收收敛敛域域为为 2.间接法间接法(1)利用已知利用已知幂级数展式幂级数展式.)11(110 xxxnn)(!0 xnxennx)()!12()1(sin012 xnxxnnn(2)利用求导求积恒等变形等运算转化为已知幂级数利用求导求积恒等变形等运算转化为已知幂级数 展式来展开展式来展开
11、.(3)端点情况的收敛性重新考虑端点情况的收敛性重新考虑.例例 4:的幂级数的幂级数将下列函数展开成将下列函数展开成x.arcsin)()6(;11)()5();1ln()()4(;cos)()3(;11)()2(;11)()1(2xxfxxfxxfxxfxxfxxf 用间接法展开函数成幂级数习例用间接法展开函数成幂级数习例例例 5.)1ln()1()(的幂级数的幂级数展开成展开成将将xxxxf 例例 6.)3(1)(的幂级数的幂级数展开成展开成将将 xxxf例例 7.)1(341)(2的幂级数的幂级数展开成展开成将将 xxxxf例例 8.sin)(0的幂级数的幂级数展开成展开成将将xdttt
12、xfx 例例 9.)3(cos)(的幂级数的幂级数展开成展开成将将 xxxf例例 10 21cos1()(),21(1)().(2)!2nnndxG xxdxxnn求函数关于 的幂级数展开式指出该级数的收敛范围并利用此展开式求出级数的和例例 4:的幂级数的幂级数将下列函数展开成将下列函数展开成x解解)(1111)1(xx 00)1()(nnnnnxx)11(x 02022)1()(11)2(nnnnnxxx)11(x)(sincos)3(xx)!12()1(012 nnnnx 02)!2()1(nnnnx)(x xxdxx01)1ln()4(xnnndxx00)1(011)1(nnnnx)11
13、(x)11(x21)1(11)5(xx !)!2(!)!12()1(64253142312132nxnxxxnn 642531423121116422xxxx xxdxx021arcsin)6(dxxxxx 0642642531423121 76425315423132753xxxx例例 5.)1ln()1()(的幂级数的幂级数展开成展开成将将xxxxf 解解)1ln(1)(xxf 011)1(1nnnnxdxnxdxxfxnnnx 00101)1(1)()0()(fxf)(xf 02)2)(1()1(nnnnnxx,)2)(1()1(110收敛收敛时有时有当当 nnnnx,)2)(1(111
14、0收敛收敛时有时有当当 nnnx.1,1 收敛域为收敛域为例例 6.)3(1)(的幂级数的幂级数展开成展开成将将 xxxf解解3)3(11)(xxxf331131 x 010)3(3)1()33()1(31nnnnnnnxx601331 xx得得由由,3100发散发散时有时有当当 nx.3)1(60发散发散时有时有当当 nnx).6,0(收敛域为收敛域为例例 7.)1(341)(2的幂级数的幂级数展开成展开成将将 xxxxf解解)3)(1(1)(xxxf)3111(21 xx)1(41)1(2121 xx411181211141 xx 00)41()1(81)21()1(41nnnnnnxx
15、0322)1(2121)1(nnnnnx 03222121)1(,1nnnnnyyx则则得得令令322523121212121limlim nnnnnnnnaa 325321212121lim nnn21 2 R;,)2141(203发散发散时有时有当当 nny发散发散时有时有当当,)2141()1(203 nnny,22 y,212 x从而从而.31 x得得).3,1(收敛域为收敛域为或者或者,14111211 xx且且.31 x得得;,)2141(103发散发散时有时有当当 nnx发散发散时有时有当当,)2141()1(303 nnnx).3,1(收敛域为收敛域为例例 8.sin)(0的幂
16、级数的幂级数展开成展开成将将xdtttxfx 解解)()!12()1(sin012 xnttnnn xnnndttntxf0012)!12()1()(xnnndtnt002)!12()1(012)!12)(12()1(nnnnnx).,(收敛域为收敛域为例例 9.)3(cos)(的幂级数的幂级数展开成展开成将将 xxxf解解3)3cos()(xxf)3sin(23)3cos(21 xx 01202)!12()3()1(23)!2()3()1(21nnnnnnnxnx )!12()3(3)!2()3()1(211202 nxnxnnnn ).,(收敛域为收敛域为例例 10 )1cos()(的幂级
17、数的幂级数关于关于求函数求函数xxxdxdxG .)2()!2(12)1(,12 nnnnn的和的和级数级数并利用此展开式求出并利用此展开式求出指出该级数的收敛范围指出该级数的收敛范围展开式展开式 解解)!2()1(cos02 nnnnxx)!2()1(1cos112 nnnnxxx)!2(12)1()1cos()(122 nnnxnnxxdxdxG)(x 122212)2()!2(12)1(4)2()!2(12)1(nnnnnnnnnn )2(42 G 22)1cos(4 xxx222)1cossin(4 xxxxx.21 思思 考考 题题1.函数0)(xxf在处“有泰勒级数”与“能展成泰勒级数”有何不同?提示提示:后者必需证明,0)(limxRnn前者无此要求.2.如何求xy2sin的幂级数?提示提示:xy2cos21210!)2(1)1(2121nnn,!)2(4)1(2121nnnnxn),(xnx2)2(
