1、2021-2022学年湖北省武汉市江岸区部分学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑。1（3分）将一元二次方程x215x化为一般形式后，常数项为1，二次项系数和一次项系数分别为（）A1，5B1，5C1，1D1，12（3分）用配方法解方程x2+8x+90，变形后的结果正确的是（）A（x+4）29B（x+4）27C（x+4）225D（x+4）273（3分）在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（）ABCD4（3分）方程2x2+6x10的两根为x1、x2，则x1+x2
2、等于（）A6B6C3D35（3分）如图，CD为O的直径，弦ABCD于E，OE12，AB10，那么直径CD的长为（）A12.5B13C25D266（3分）电影长津湖讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（）A3（1+x）10B3（1+x）210C3+3（1+x）210D3+3（1+x）+3（1+x）2107（3分）已知点（4，y1）、（1，y2）、（53，y3）都在函数yx24x+5的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为（）Ay1y2y3By3y2y1Cy2y1
3、y3Dy3y1y28（3分）如图，在边长为12的等边ABC中，D为边BC上一点，BD8，点E是AC上一动点，连接DE，将线段DE绕点E顺时针旋转60得到线段EF当点F恰好落在边AB上时，则AEF的面积是（）A4B43C8D839（3分）已知关于x的一元二次方程x2（2m+3）x+m20有两根，若1+1=1，则m的值为（）A3B1C3或1D3410（3分）如图，点E是边长为8的正方形ABCD的边CD上一动点，连接AE，将线段AE绕点E逆时针旋转90到线段EF，连接AF，BF，AF交边BC于点G，连接EG，当AF+BF取最小值时，线段EG的长为（）A82B7C9D203二、填空题（共6小题，每小题
4、3分，共18分）请将答案填在答题卡对应题号的位置上。11（3分）一元二次方程x240的解是 12（3分）点P（3，4）关于原点对称的点的坐标是 13（3分）将抛物线yx2先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为： 14（3分）一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱MN的高度为 米15（3分）抛物线yax2+bx+c（a0，a，b，c为常数）的部分图象如图所示，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（2，0）之间则下列结论：a+b+c0；2ab0；一元二次方程ax2+（b+n2）x
5、+c-n2=0的两根为x1，x2，则|x1x2|2；对于任意实数m，不等式a（m21）+（m+1）b0恒成立则上述说法正确的是 （填序号）16（3分）如图，有一张矩形纸片ABCD，AB7，AD22，点E为边AB上一动点（不与点A，B重合），沿DE折叠该纸片使点A的对应点为A，再沿经过点E的直线EF对折（点F在边BC上），若点B的对应点B恰好落在边CD上，且E，A，B三点在同一直线上，则DE的长为 三、解答题（共8小题，共72分）下列各题解答应写出文字说明，证明过程或演算过程。17（8分）解方程：x22x1018（8分）如图，已知二次函数yax2+2x+3的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与
6、y轴交于点C（1）求二次函数的解析式和点B的坐标；（2）直接写出y的最大值为 19（8分）用一元二次方程解应用题参加足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛45场，共有多少个队参加比赛？20（8分）如图，将ABC放在每个小正方形的边长为1的911网格中，点A（1，1）、B（3，1）、C（3，4）均在格点上（1）边AC的长等于 （2）请用无刻度的直尺，在所给的网格中画出一个格点P，连接PA，使PAC45；（3）沿过点C直线l，把ABC翻折，得到ABC，使点B的对应点B恰好落在边AC上，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出翻折后的图形ABC，并直接写出直线l的解析式21（8分）如图，AB
7、是O的直径，C、D为O上的点，且BCOD，过点D作DEAB于点E（1）求证：BD平分ABC；（2）若BC3，DE2，求O的半径长22（10分）某商场要求所有商家商品的利润率不得超过40%，一商家以每件16元的价格购进一批商品该商品每件售价定为x元，每天可卖出（1705x）件，每天销售该商品所获得的利润为y元（1）求y与x的函数关系式；（2）若每天销售该商品要获得280元的利润，每件商品的售价应定为多少元？（3）请直接写出这个商家每天销售该商品可获得的最大利润为 元23（10分）【操作发现】（1）如图所示，在ABC和DEF中，ACDF，CBEF，AD，DEAB，在边DE上截取DGAB，连接FG，
8、试探究B和E的数量关系，请写出证明过程；【问题解决】（2）在（1）的条件下，若AD45，其他条件不变，请直接写出AB、DE与AC之间的数量关系： ；【灵活运用】（3）如图，在四边形ABCD中，BCAD，AC4，BD3，AC与BD交于点M，若ADB+ACB180，BAC30，求边AB的长24（12分）如图，抛物线yax22ax+m与x轴交于A（1，0）和B两点，与y轴交于点C（0，3）（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线l：y2x4与x和y轴分别交于点D和点E，直线BC交直线DE于点F，在第二象限内的抛物线上是否存在一点P，使PBFDFB，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由；（3）在
9、（2）的条件下，对于直线l上任意给定的一点G，过点G的另外一条直线交抛物线于M，N两点，在抛物线上是否都一定能找到点M，使得GMMN？请证明你的结论2021-2022学年湖北省武汉市江岸区部分学校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑。1（3分）将一元二次方程x215x化为一般形式后，常数项为1，二次项系数和一次项系数分别为（）A1，5B1，5C1，1D1，1【解答】解：x215x，移项，得x2+5x10，二次项系数和一次项系数分别是1，5，故选：A2（3分）
10、用配方法解方程x2+8x+90，变形后的结果正确的是（）A（x+4）29B（x+4）27C（x+4）225D（x+4）27【解答】解：方程x2+8x+90，整理得：x2+8x9，配方得：x2+8x+167，即（x+4）27，故选：D3（3分）在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（）ABCD【解答】解：A、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，此图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；B、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，此图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误C、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，此图形是轴对称图形，旋转180不能与原图形重合，不是中
11、心对称图形，故此选项错误；D、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误故选：A4（3分）方程2x2+6x10的两根为x1、x2，则x1+x2等于（）A6B6C3D3【解答】解：由于0，x1+x23，故选：C5（3分）如图，CD为O的直径，弦ABCD于E，OE12，AB10，那么直径CD的长为（）A12.5B13C25D26【解答】解：连接OA，ABCD，CD过圆心O，AB10，AEBE5，AEO90，由勾股定理得：OA=AE2+OE2=52+122=13，即CODOOA13，CD13+1326，故选：D6（3分）电影长津湖讲述了一段波澜壮阔的历史
12、，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（）A3（1+x）10B3（1+x）210C3+3（1+x）210D3+3（1+x）+3（1+x）210【解答】解：若把增长率记作x，则第二天票房约为3（1+x）亿元，第三天票房约为3（1+x）2亿元，依题意得：3+3（1+x）+3（1+x）210故选：D7（3分）已知点（4，y1）、（1，y2）、（53，y3）都在函数yx24x+5的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为（）Ay1y2y3By3y2y1Cy2y1y3Dy3y1y2【解答】解：yx
13、24x+5，函数图象的对称轴是直线x=-4-2=-2，图象的开口向下，当x2时，y随x的增大而增大，点（53，y3）关于对称轴的对称点的坐标是（-173，y3），-173-41，y2y1y3，故选：C8（3分）如图，在边长为12的等边ABC中，D为边BC上一点，BD8，点E是AC上一动点，连接DE，将线段DE绕点E顺时针旋转60得到线段EF当点F恰好落在边AB上时，则AEF的面积是（）A4B43C8D83【解答】解：如图，BC12，BD8，CD4，ABC为等边三角形，AC60，由题意得，EDEF，DEF60，又C+CDE+CED180，CED+DEF+AEF180，CED+AEF120，CDE
14、+CED120，CDEAEF，在CDE与AEF中，A=CCDE=AEFDE=EF，CDEAEF（AAS），AECD4，ECACAE1248，SAEFSEDC，C60，CE8，过点E作EHBC于H，则CH4，CDCH4，即点D与H重合，EDC90，ED=EC2-DC2=43，SEDC=12CDED=12443=83，SAEF=83，故选：D9（3分）已知关于x的一元二次方程x2（2m+3）x+m20有两根，若1+1=1，则m的值为（）A3B1C3或1D34【解答】解：根据题意得（2m+3）24m20，解得m-34，根据根与系数的关系得+2m+3，m2，1+1=1，+，即2m+3m2，整理得m22
15、m30，解得m13，m21，m-34，m的值为3故选：A10（3分）如图，点E是边长为8的正方形ABCD的边CD上一动点，连接AE，将线段AE绕点E逆时针旋转90到线段EF，连接AF，BF，AF交边BC于点G，连接EG，当AF+BF取最小值时，线段EG的长为（）A82B7C9D203【解答】解：如图，过点F作FPCD交DC的延长线于点P，作直线CF，四边形ABCD是正方形，ABADBCCD8，DBCD90，ABCD，DEPF90，AED+DAE90，由旋转知，AEFE，AEF90，AED+PEF90，PEFDAE，在PEF与DAE中，PEF=DAEEPF=DFE=AE，PEFDAE（AAS），
16、PFDE，PEAD，PECD，PECECDCE，PCDE，FPCD，PCF45，点F在BCP的平分线上，如图2，作点B关于直线CF的对称点M，连接AM交直线CF于点F，此时，AF+BF最小，点B关于直线CF的对称点M，BCF=MCFCF=CFBFC=MFC，BFCMFC（ASA），CMBCAB8，ABCD，四边形ABMC为平行四边形，BGCG=12BC=4，设DEx，由图1知，PEPCDEx，PMCMPC8x，BCMFPM90，PFBC，MPFMCG，PFCG=PMCM，即x4=8-x8，解得：x=83，CECDDE8-83=163，EG=CG2+CE2=203，故选：D二、填空题（共6小题，
17、每小题3分，共18分）请将答案填在答题卡对应题号的位置上。11（3分）一元二次方程x240的解是x2【解答】解：移项得x24，x2故答案为：x212（3分）点P（3，4）关于原点对称的点的坐标是 （3，4）【解答】解：点P（3，4）关于原点对称的点的坐标是（3，4），故答案为：（3，4）13（3分）将抛物线yx2先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为：y（x4）23【解答】解：将抛物线yx2先向右平移4个单位长度，得：y（x4）2；再向上平移3个单位长度，得：y（x4）23，故答案为：y（x4）2314（3分）一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱
18、高6米，跨度20米相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱MN的高度为 3.5米【解答】解：建直角坐标系，如图：根据题目条件，A、B、C的坐标分别是（10，0）、（10，0）、（0，6）将B、C的坐标代入yax2+c，得：c=6100a+c=0，解得：a=-350，c6抛物线的表达式是y=-350x2+6（10x10）；在y=-350x2+6（10x10）中，令x5得y=-35052+64.5，支柱MN的长度是84.53.5（米）；故答案为：3.515（3分）抛物线yax2+bx+c（a0，a，b，c为常数）的部分图象如图所示，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（2，0）之间
19、则下列结论：a+b+c0；2ab0；一元二次方程ax2+（b+n2）x+c-n2=0的两根为x1，x2，则|x1x2|2；对于任意实数m，不等式a（m21）+（m+1）b0恒成立则上述说法正确的是 （填序号）【解答】解：抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（2，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x1，抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间当x1时，y0，即a+b+c0，所以结论正确；抛物线的对称轴为直线x1，-b2a=-1，b2a，2ab0，所以结论正确；一元二次方程ax2+（b+n2）x+c-n2=0的两根为x1，x2，抛物线yax2+bx+c与直线y=-n2x+n2的交点的
20、横坐标为x1，x2，直线y=-n2x+n2经过点（1，0），（1，n），抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间x11，0x21，|x1x2|2，所以结论错误；x1时，函数有最大值，ab+cam2+bm+c（意实数m），a（m21）+（m+1）b0，所以结论正确；故答案为：16（3分）如图，有一张矩形纸片ABCD，AB7，AD22，点E为边AB上一动点（不与点A，B重合），沿DE折叠该纸片使点A的对应点为A，再沿经过点E的直线EF对折（点F在边BC上），若点B的对应点B恰好落在边CD上，且E，A，B三点在同一直线上，则DE的长为 2319【解答】解：四边形ABCD是矩形，A90，
21、ABCD，AEDCDE，设AEx（0x7），则BEABAE7x，沿DE折叠该纸片使点A的对应点为A，再沿经过点E的直线EF对折（点F在边BC上），点B的对应点B恰好落在边CD上，AEAEx，ADAD22，DAEA90，AEDAED，BEBE7x，CDEAED，BDBE7x，E，A，B三点在同一直线上，BAD90，ABBEAE7xx72x，在RtABD中，由勾股定理得：AD2+AB2BD2，即（22）2+（72x）2（7x）2，整理得：3x214x+80，解得：x=23或x4，0x7，AB72x0，0x72，x=23，即AE=23，在RtADE中，由勾股定理得：DE=AE2+AD2=(23)2+
22、(22)2=2319，故答案为：2319三、解答题（共8小题，共72分）下列各题解答应写出文字说明，证明过程或演算过程。17（8分）解方程：x22x10【解答】解：解法一：a1，b2，c1b24ac441（1）80x=-bb2-4ac2a=2821=12x1=1+2，x2=1-2；解法二：x22x10，则x22x+12（x1）22，开方得：x-1=2，x1=1+2，x2=1-218（8分）如图，已知二次函数yax2+2x+3的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（1）求二次函数的解析式和点B的坐标；（2）直接写出y的最大值为 4【解答】解：（1）抛物线yax2+2x+3经过点A（
23、1，0），a2+30，解得：a1，二次函数的解析式为yx2+2x+3，令y0，得x2+2x+30，解得：x13，x21，B（3，0）；（2）yx2+2x+3（x1）2+4，当x1时，y最大值4故答案为：419（8分）用一元二次方程解应用题参加足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛45场，共有多少个队参加比赛？【解答】解：设共有x个队参加比赛，则每队要参加（x1）场比赛，根据题意得：x(x-1)2=45，解得：x110，x29（不合题意，舍去）答：共有10个队参加参加比赛20（8分）如图，将ABC放在每个小正方形的边长为1的911网格中，点A（1，1）、B（3，1）、C（3，4）均在格点上
24、（1）边AC的长等于 5（2）请用无刻度的直尺，在所给的网格中画出一个格点P，连接PA，使PAC45；（3）沿过点C直线l，把ABC翻折，得到ABC，使点B的对应点B恰好落在边AC上，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出翻折后的图形ABC，并直接写出直线l的解析式【解答】解：（1）点A（1，1）、B（3，1）、C（3，4），AB4，BC3，AC=AB2+BC2=42+32=5，故答案为：5；（2）如图，点P即为所求；（3）如图，ABC即为所求；直线l的解析式为：y2x221（8分）如图，AB是O的直径，C、D为O上的点，且BCOD，过点D作DEAB于点E（1）求证：BD平分ABC；（2）
25、若BC3，DE2，求O的半径长【解答】（1）证明：ODBC，ODBCBD，OBOD，ODBOBD，OBDCBD，BD平分ABC；（2）解：过O点作OHBC于H，如图，则BHCH=12BC=32，DEAB，OHBC，DEO90，OHB90，ODBC，DOEOBH，在ODE和BOH中，DEO=OHBDOE=OBHOD=BO，ODEBOH（AAS），DEOH2，在RtOBH中，OB=BH2+OH2=(32)2+22=52，即O的半径长为5222（10分）某商场要求所有商家商品的利润率不得超过40%，一商家以每件16元的价格购进一批商品该商品每件售价定为x元，每天可卖出（1705x）件，每天销售该商品
26、所获得的利润为y元（1）求y与x的函数关系式；（2）若每天销售该商品要获得280元的利润，每件商品的售价应定为多少元？（3）请直接写出这个商家每天销售该商品可获得的最大利润为 371.2元【解答】解：（1）y（x16）（1705x）5x2+250x2720；（2）由y280，得5x2+250x2720280化简整理得x250x+6000解得x120，x230由题意可知，x16（1+40%）22.4，x20，答：每件商品的售价应定为20元；（3）在y5x2+250x2720中，a50，x=-b2a=-2502(-5)=25，当x22.4时，y随x的增大而增大当x22.4时，y的值最大，此时y（2
27、2.416）（170522.4）371.2，故答案为：371.223（10分）【操作发现】（1）如图所示，在ABC和DEF中，ACDF，CBEF，AD，DEAB，在边DE上截取DGAB，连接FG，试探究B和E的数量关系，请写出证明过程；【问题解决】（2）在（1）的条件下，若AD45，其他条件不变，请直接写出AB、DE与AC之间的数量关系：DE+AB=2AC；【灵活运用】（3）如图，在四边形ABCD中，BCAD，AC4，BD3，AC与BD交于点M，若ADB+ACB180，BAC30，求边AB的长【解答】解：（1）E+B180，理由如下：连接FG，如图1，ACDF，AD，ABDG，ABCDGF（S
28、AS），BDGF，BCGF，又BCEF，GFEF，EFGE，又DGF+EGF180，EGF+B180，即E+B180；（2）延长DE至H，使EHAB，由（1）知，B+DEF180，又DEF+FEH180，BFEH，又CBFE，ADEH，ABCHEF（ASA），HA45，D45，DFHF，DFH90，由勾股定理知：DH=2DF，DHDE+EHDE+AB，DFAC，DE+AB=2AC，故答案为：DE+AB=2AC；（3）过A作AFBD交BD的延长线于F，过B作BEAC于E，ADB+ACB180，ADB+ADF180，ADFACB，AFDBEC90，ADBC，AFDBEC（AAS），DFEC，AFB
29、E，又AB为公共边，RtABERtABF（HL），BFAE，BD+DFBFAEACEC，3+EC4EC，EC=12，AE4-12=72，在RtABE中，设BEx，则AB2x，由勾股定理得：（2x）2x2（72）2，解得x=736（负值舍去），AB2x=73324（12分）如图，抛物线yax22ax+m与x轴交于A（1，0）和B两点，与y轴交于点C（0，3）（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线l：y2x4与x和y轴分别交于点D和点E，直线BC交直线DE于点F，在第二象限内的抛物线上是否存在一点P，使PBFDFB，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，对于直线l上
30、任意给定的一点G，过点G的另外一条直线交抛物线于M，N两点，在抛物线上是否都一定能找到点M，使得GMMN？请证明你的结论【解答】解：（1）抛物线yax22ax+m经过点（1，0），（0，3），a+2a+m=0m=-3解得：a=1m=-3此抛物线的解析式为：yx22x3（2）在第二象限内的抛物线上存在一点P，使PBFDFB，过点A作AHx轴于点A，交PB于点H，如图，令y0，则x22x30解得：x1或3，B（3，0）OB3C（0，3），OC3OBOCOBCOCB45FCEOCB，FCE45PBFDFB，DFBFEC+FCEFEC+45，PBFPBA+OBCPBA+45，FECPBAA（1，0），
31、OA1ABOA+AB4对于y2x4，令y0，则2x40，解得：x2，D（2，0）OD2，令x0，则y4，E（0，4）OE4ABOE4在HAB和DOE中，HAB=DOE=90AB=OEHBA=DEO，HABDOE（ASA）HAOD2H（1，2）设直线BH的解析式为ykx+b，-k+b=23k+b=0，解得：k=-12b=32直线BH的解析式为y=-12x+32y=-12x+32y=x2-2x-3解得：x=3y=0或x=-32y=94P（-32，94）在第二象限内的抛物线上存在一点P，使PBFDFB，此时点P的坐标为：（-32，94）（3）在抛物线上一定能找到点M，使得GMMN理由：设点G（m，2m4），M（n，n22n3），GMMN，N（2nm，2（n22n3）+2m+4），点N在抛物线yx22x3上，2（n22n3）+2m+4（2nm）22（2nm）3整理得：m24mn+2n210（4n）241（2n21）8n2+40，无论n为任何值，关于m的方程总有两个不相等的实数根，即对于直线l上任意给定的点G，在抛物线上总能找到两个满足条件的点M，使得MGMN第26页（共26页）
