1、全等三角形易错清单1. 两边和一角对应相等的两个三角形全等吗?【例1】已知A1B1C1与A2B2C2的周长相等,现有两个判断:若A1B1=A2B2,A1C1=A2C2,则A1B1C1A2B2C2;若A1=A2,B1=B2,则A1B1C1A2B2C2.对于上述的两个判断,下列说法正确的是().A. 正确, 错误B. 错误, 正确C. 、都错误D. 、都正确【解析】由于A1B1C1与A2B2C2的周长相等,若A1B1=A2B2,A1C1=A2C2,则B1C1=B2C2,根据“边边边”定理,易得A1B1C1A2B2C2故正确;若A1=A2,B1=B2,则C1=C2,根据相似三角形的判定定理,易得A1
2、B1C1A2B2C2.又因为A1B1C1与A2B2C2的周长相等,所以A1B1C1A2B2C2,故正确.【答案】D【误区纠错】在全等三角形的判定定理中,不能利用“SSA”判定两个三角形全等, 判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.2. 如何说明一条线段等于另两条线段之和.【例2】如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.(1)求证:CE=CF;(2)若点G在AD上,且GCE=45,则GE=BE+GD成立吗?为什么?【解析】(1)由DF=BE,四边形ABCD为正方形可证CEBCFD,从而证出CE=CF.(2)由(1)
3、,得CE=CF,BCE+ECD=DCF+ECD,即ECF=BCD=90.又GCE=45,所以可得GCE=GCF,故可证得ECGFCG,即EG=FG=GD+DF.又因为DF=BE,所以可证出GE=BE+GD成立.【答案】(1)在正方形ABCD中,BC=CD,B=CDF,BE=DF,CBECDF(SAS).CE=CF.(2)GE=BE+GD成立.理由如下:由(1),得CBECDF,BCE=DCF.BCE+ECD=DCF+ECD,即ECF=BCD=90.又GCE=45,GCF=GCE=45.CE=CF,GCE=GCF,GC=GC,ECGFCG(SAS).GE=GF.GE=DF+GD=BE+GD.【误
4、区纠错】在第(2)问中不能通过截长或补短找出和GE相等的线段,从而通过全等证出关系是不是成立.名师点拨弄清全等形、全等三角形的概念,并能进行判断.2. 会利用“SAS、ASA、AAS、SSS、HL”证明三角形全等,能进行二次全等的证明,能利用全等思想来说明线段(或角)相等.提分策略1. 全等三角形开放性问题.由于判定全等三角形的方法很多,所以题目中常给出(有些是推出)两个条件,让同学们再添加一个条件,得出全等,再去解决其他问题.这种题型可充分考查学生对全等三角形的掌握的牢固与灵活程度.【例1】如图,在ABC中,点D是BC的中点,作射线AD,在线段AD及其延长线上分别取点E,F,连接CE,BF.
5、添加一个条件,使得BDFCDE,并加以证明.你添加的条件是.(不添加辅助线)【解析】由已知可证EDC=BDF,又DC=DB,因为三角形全等条件中必须是三个元素,并且一定有一组对应边相等.故添加的条件是:DE=DF或(CEBF或ECD=DBF或DEC=DFB).【答案】(1)添加的条件是:DE=DF(或CEBF或ECD=DBF或DEC=DFB等).(2)在BDF和CDE中,BDFCDE.2. 全等三角形性质与判定的综合应用.(1)解决全等三角形问题的一般思路:先用全等三角形的性质及其他知识,寻求判定一对三角形全等的条件;再用已判定的全等三角形的性质去解决其他问题.即由已知条件(包含全等三角形)判
6、定新三角形全等、相应的线段或角的关系;(2)轴对称、平移、旋转前后的两个图形全等;(3)利用全等三角形性质求角的度数时注意挖掘条件,例如对顶角相等、互余、互补等.【例2】如图,ABO与CDO关于点O中心对称,点E,F在线段AC上,且AF=CE.求证:FD=BE.【解析】ABO与CDO关于点O中心对称,ABOCDO.OA=OC,OB=OD.AF=CE,OA-AF=OC-CE,即OF=OE.FOD=EOB,FODEOB.FD=BE.专项训练一、 选择题1. (2014湖南益阳二模)如图,在正方形ABCD中,点E是CD边上一点,连接AE,交对角线BD于点F,连接CF,则图中全等三角形共有().(第1
7、题)A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对2. (2014江苏南京二模)在ABC中,ABC=30,AB边长为6,AC边的长度可以在1,3,5,7中取值,满足这些条件的互不全等的三角形的个数是().A. 3B. 4C. 5D. 63. (2013江苏南京六合一模)如图,直线上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为3和4,则b的面积为().(第3题)A. 3B. 4C. 5D. 7二、 填空题4. (2013安徽一模)如图,ABC为等边三角形,AQ=PQ,PR=PS,PRAB于点R,PSAC于点S,则四个结论正确的是.(把所有正确答案的序号都填写在横线上)AP平分BAC;AS=AR;QPA
8、R;BRPQSP.(第4题)三、 解答题5. (2014山东泰安地区三模)如图,在ABC中,D,E,F分别是各边的中点,AH是边BC上的高.那么,图中的DHF与DEF相等吗?为什么?(第5题)6. (2014山西大同二模)将一张矩形纸片沿对角线剪开,得到两张纸片,再将这两张三角形纸片摆放成如图所示的形式,使点B,F,C,D在同一条直线上.(1)求证:ABED.(2)若PB=BC,请找出图中与此条件有关的一对全等三角形,并给予证明.(第6题)7. (2013浙江锦绣育才教育集团一模)如图,在RtABC中,BAC=90,AC=2AB,点D是AC的中点,将一块锐角为45的直角三角板如图放置,使三角板
9、斜边的两个端点分别与A,D重合,连接BE,EC.试猜想线段BE和EC的关系,并证明你的猜想.(第7题)【答案】1. C解析由正方形对称性知:ABDCBD;AFDCFD;ABFCBF.2. B解析 根据三角形构成的条件知AC取1,3,5,7均可以构成ABC, 且这些三角形互不全等.3. D解析根据已知及全等三角形的判定可得到ABCCDE,从而得到b的面积=a的面积+c的面积.4. 解析首先根据角平分线上点的性质,推出正确,然后通过求证ARP和ASP全等,推出正确,再根据AQ=PQ,推出相关角相等,通过等量代换即可得QPA=PAR,即可推出正确,依据等边三角形的性质和外角的性质推出PQS=B,便可
10、推出结论正确.5. DHF=DEF.理由如下:AHBC于点H,又D为AB的中点,DAH=DHA,同理可证:FAH=FHA.DAH+HAF=DHA+AHF,即DHF=DAF.E,F分别为BC,AC的中点,即EFAD且EF=AD.四边形ADEF是平行四边形.DAF=DEF.DHF=DEF.6. (1)由已知,得RtABCRtDEF.A=D.ACBD,ACD=90.又DNC=ANP,APN=90.ABED.(2)ABCDBP.理由如下:由(1),得A=D,BPD=ACB=90.又PB=BC,ABCDBP.7. 数量关系为BE=EC,位置关系是:BEEC.理由如下:AED是直角三角形,AED=90,且有一个锐角是45,EAD=EDA=45.AE=DE.BAC=90,EAB=EAD+BAC=90+45=135,EDC=ADC-EDA=180-45=135.EAB=EDC.D是AC的中点,AC=2AB,AD=AB=DC.EABEDC.EB=EC,且AEB=CED.DEC+BED=AED=BEC=90.第 - 7 - 页 共 7 页
