1、平面直角坐标系及函数的图象易错清单1. 能确定较复杂函数的自变量取值范围吗?【例1】(2014山东济宁)函数中的自变量x的取值范围是().A. x0B. x-1C. x0D. x0且x-1【解析】根据二次根式的性质和分式的意义,被开方数大于或等于0,分母不等于0,可以求出x的范围.【答案】根据题意,得x0且x+10,解得x0.故选A.【误区纠错】本题考查了自变量的取值范围,函数自变量的范围一般从三个方面考虑:当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;当函数表达式是二次根式时,被开方数非负.2. 能利用直角坐标系探讨点的坐标的变化规律.【例2】(20
2、14山东泰安)如图,在平面直角坐标系中,将ABO绕点A顺时针旋转到AB1C1的位置,点B,O分别落在点B1,C1处,点B1在x轴上,再将AB1C1绕点B1顺时针旋转到A1B1C2的位置,点C2在x轴上,将A1B1C2绕点C2顺时针旋转到A2B2C2的位置,点A2在x轴上,依次进行下去.若点,B(0,4),则点B2014的横坐标为.【解析】首先利用勾股定理得出AB的长,进而得出三角形的周长,进而求出B2,B4的横坐标,进而得出变化规律,即可得出答案.【答案】,BO=4,故答案为10070.【误区纠错】此题主要考查了点的坐标以及图形变化类,根据题意得出B点横坐标变化规律是解题关键.由特殊总结一般性
3、.3. 借助函数图象描述问题中两个变量之间的关系.【例3】(2014山东烟台)如图,点P是ABCD边上一动点,沿ADCB的路径移动,设P点经过的路径长为x,BAP的面积是y,则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是().【解析】分三段来考虑点P沿AD运动,BAP的面积逐渐变大;点P沿DC移动,BAP的面积不变;点P沿CB的路径移动,BAP的面积逐渐减小,据此选择即可.【答案】点P沿AD运动,BAP的面积逐渐变大;点P沿DC移动,BAP的面积不变;点P沿CB的路径移动,BAP的面积逐渐减小.故选A.【误区纠错】本题主要考查了动点问题的函数图象.注意分段考虑.名师点拨1. 会画出直角坐标系,能标识
4、点在平面直角坐标系的位置.2. 能根据点的坐标的正、负性确定点的对称性及所在象限.3. 理解函数的意义,会解释并区分常量与变量,能列简单的函数关系,会进行描点法画函数的图象.4. 能列举函数的三种表示方法.5. 会求出函数中自变量的取值范围,如保证分母不为零,使二次根式有意义等.6. 能利用代入法求函数的值.7. 能利用函数变化规律进行准确猜想、判断.提分策略1. 函数的概念及函数自变量的取值范围.函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑:(1)当函数关系式是整式时,自变量可取全体实数;(2)当函数关系式是分式时,考虑分式的分母不能为0;(3)当函数关系式是二次根式时,被开方数为非负数.此题就是
5、第三种情形,考虑被开方数必须大于等于0.【解析】根据二次根式的意义,被开方数不能为负数,据此求解.【答案】C2. 函数解析式的求法.具体地说求函数的解析式和列一元一次方程解实际问题基本相似,即弄清题意和题目中的数量关系,找到能够表示所求问题含义的一个相等的关系,根据这个相等的数量关系,列出所需的代数式,从而列出两个变量之间的关系式.【例2】某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务,有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱.供应这种纸箱有两种方案可供选择:方案一:从纸箱厂定制购买,每个纸箱价格为4元;方案二:由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱,机器租赁费按生产纸箱数收取.工厂需要一次性投入机器安装等费
6、用16000元,每加工一个纸箱还需成本费2.4元.(1)若需要这种规格的纸箱x个,请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用y1(元)和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用y2(元)关于x(个)的函数关系式;(2)假设你是决策者,你认为应该选择哪种方案?并说明理由.【答案】(1)从纸箱厂定制购买纸箱费用y1=4x.蔬菜加工厂自己加工纸箱费用y2=2.4x+16000.(2)y2-y1=(2.4x+16000)-4x=16000-1.6x,由y1=y2,得16 000-1.6x=0,解得x=10000.当x10000时,y110000时,y1y2.选择方案二,蔬菜加工厂自己加工纸箱所需的费用低.当x=1000
7、0时,y1=y2.两种方案都可以,两种方案所需的费用相同.3. 坐标系中的图形的平移与旋转.求一个图形旋转、平移后的图形上对应点的坐标,一般要把握三点:一是根据图形变换的性质,二是利用图形的全等关系;三是确定变换前后点所在的象限.【例3】在平面直角坐标系中,规定把一个三角形先沿着x轴翻折,再向右平移2个单位长度称为1次变换.如图,已知等边三角形ABC的顶点B,C的坐标分别是(-1,-1),(-3,-1),把ABC经过连续9次这样的变换得到ABC,则点A的对应点A的坐标是.4. 运用函数的图象特征解决问题.(1)由函数图象的定义可知图象上任意一点P(x,y)中的坐标值x,y是解析式方程的一个解,
8、反之,以解析式方程的任意一解为坐标的点一定在函数的图形上.(2)注意方程与函数的结合,抓住“方程(方程的解)点的坐标函数图象与性质”这个网,结合数学知识,用数形结合法来解题.【例4】小刚上午7:30从家里出发步行上学,途经少年宫时走了1200步,用时10分钟,到达学校的时间是7:55.为了估测路程等有关数据,小刚特意在学校的田径跑道上,按上学的步行速度,走完100米用了150步.(1)小刚上学步行的平均速度是多少米/分?小刚家和少年宫之间、少年宫和学校之间的路程分别是多少米?(2)下午4:00,小刚从学校出发,以45米/分的速度行走,按上学时的原路回家,在未到少年宫300米处与同伴玩了半小时后
9、,赶紧以110米/分的速度回家,中途没有再停留.问:小刚到家的时间是下午几时?小刚回家过程中,离家的路程s(米)与时间t(分)之间的函数关系如图,请写出点B的坐标,并求出线段CD所在直线的函数解析式.小刚从学校出发,以45米/分的速度行走到离少年宫300米处时实际走了900米,用时分,此时小刚离家1100米,所以点B的坐标是(20,1100).点C的坐标是(50,1100),点D的坐标是(60,0),设线段CD所在直线的函数解析式是s=kt+b,将点C,D的坐标代入,得所以线段CD所在直线的函数解析式是s=-110t+6600.5. 分段函数的应用自变量在不同的范围内取值时,函数y和x有不同的
10、对应关系,这种函数称为分段函数,解决分段函数的有关问题时,关键是弄清自变量的取值范围,选择适合的解析式解决问题.【例5】如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,动点P从点B出发,沿路线BCD作匀速运动,那么ABP的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象大致是().【答案】B专项训练一、 选择题1. (2014四川中江县一模)已知点A(a,1)与点A(-5,b)是关于原点O的对称点,则a+b的值为().A. 1B. 5C. 6D. 42. (2014深圳模拟)已知点A(a+2,a-1)在平面直角坐标系的第四象限内,则的取值范围为().A. -2a1B. -2a1C. -1a0,a-10,得-
11、2a1.4. C解析先慢步行走,再打了一会儿太极拳,最后原路跑步回到家里.只有C图能反映爷爷离家的距离y(米)与时间x(分钟)之间的函数关系6. A解析利用图象可以发现PBC的面积,从增大到不变,再到不断减小,结合图象可选出答案.7. B解析根据题意可知OC为AOB的平分线,点C的坐标为(m-1,2n)且在第一象限,点C到x轴、y轴距离为m-1,2n,根据角平分线上的点到角两边距离相等,可知m-1=2n,所以m-2n=1.8. 2解析点p(a,b)到x轴的距离是|b|,到y轴的距离是|a|.9. x0且 x1解析根据被开方数具有非负性且分母不等于零,得x0且 x1.10. (2n,1)解析A4 (2,0),A8(4,0),A12(6,0),A4n (2n,0).11. 解析根据314=73,得出A31在直线y=x上,在第三象限,且在第8个圆上,求出OA31=8,通过解直角三角形即可求出答案.12. 图略; 各顶点坐标为A(2,2),B(3,-2),C(0,-6).第 - 11 - 页 共 11 页
