1、6.2 概率易错清单1. 在随机试验中,“一次取两个球”与“分两次各取一个球”,其结果一样吗?【例1】(2014广西模拟)袋中装有3个红球和1个白球,它们除颜色外都相同.随机从中摸出两球,两球都是红球的概率为.【解析】将“随机从中摸出两球”错误理解为“先随机从中摸出一个球,然后放回,再随机从中摸出一个球”,这样所有可能出现的结果就有16种(不妨把3个红球分别记为红1,红2,红3):红1红1,红1红2,红1红3,红1白,红2红1,红2红2,红2红3,红2白,红3红1,红3红2,红3红3,红3白,白红1,白红2,白红3,白白,这些结果出现的可能性是相等的,两球都是红球的概率为.事实上,“一次取两个
2、球”相当于“连续两次不放回”,所以所有可能出现的结果有12种:红1红2,红1红3,红1白,红2红1,红2红3,红2白,红3红1,红3红2,红3白,白红1,白红2,白红3,而不是16种.【答案】【误区纠错】将“一次取两个球”转化为“连续两次不放回”,然后用树状图或列表格法表示所有可能出现的结果,也是解决概率问题的一种方法.2. 如何正确理解“频率”与“概率”之间关系呢?【例2】(2014河北)某小组做“用频率估计概率”的实验时,统计了某一结果出现的频率,绘制了如图的折线统计图,则符合这一结果的实验最有可能的是().A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中,小明随机出的是“剪刀”B. 一副去掉大小王的普
3、通扑克牌洗匀后,从中任抽一张牌的花色是红桃C. 暗箱中有1个红球和2个黄球,它们只有颜色上的区别,从中任取一球是黄球D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子,向上的面点数是4【解析】根据统计图可知,试验结果在0.17附近波动,即其概率P0.17.A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中,小明随机出的是“剪刀“的概率为,故此选项错误;B. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后,从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是故此选项错误;C. 暗箱中有1个红球和2个黄球,它们只有颜色上的区别,从中任取一球是黄球的概率为,故此选项错误;D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子,向上的面点数是4的概率为,故此选项正确.【答案】D【误区
4、纠错】频率与概率是两个不同的概念,概率是伴随着随机事件客观存在的,只要有一个随机事件存在,那么这个随机事件的概率就一定存在;频率是通过试验得到的,随着试验次数变化而变化,但当试验的重复次数充分大时,频率在概率附近摆动,为了求出一个随机事件的概率,我们可以通过多次试验,用所得的频率来估计事件的概率.此题考查了利用频率估计概率,大量反复试验下频率稳定值即概率.用到的知识点为频率=所求情况数与总情况数之比.同时此题在解答中要用到概率公式.3. 公平性的判断【例3】(2014贵州遵义)小明、小军两同学做游戏,游戏规则是:一个不透明的文具袋中,装有型号完全相同的3支红笔和2支黑笔,两人先后从袋中取出一支
5、笔(不放回),若两人所取笔的颜色相同,则小明胜,否则,小军胜.(1)请用树形图或列表法列出摸笔游戏所有可能的结果;(2)请计算小明获胜的概率,并指出本游戏规则是否公平,若不公平,你认为对谁有利.【解析】(1)列表将所有等可能的结果一一列举出来即可;(2)根据列表由概率公式求得小明获胜的概率即可判断是否公平.【答案】(1)列表,得:红1红2红3黑1黑2红1红1红2红1红3红1黑1红1黑2红2红2红1红2红3红2黑1红2黑2红3红3红1红3红2红3黑1红3黑2黑1黑1红1黑1红2黑1红3黑1黑2黑2黑2红1黑2红2黑2红3黑2黑1不公平,对小军有利.【误区纠错】生活中有许多类似以上的现象,有时我们
6、仅凭借个人有限的经验来判断是非,这往往得出错误的想法,运用概率的有关知识可以分析错误,还原一个真实的结论.名师点拨1. 掌握用列表或树状图求概率的求法.2. 概率在实际问题中的应用.提分策略1. 判断具体事件是确定事件(必然事件,不可能事件)还是随机事件.【例1】有两个事件,事件A: 367人中至少有2人生日相同;事件B:抛掷一枚均匀的骰子,朝上的面点数为偶数.下列说法正确的是().A. 事件A,B都是随机事件B. 事件A,B都是必然事件C. 事件A是随机事件,事件B是必然事件D. 事件A是必然事件,事件B是随机事件【解析】事件A:一年最多有366天,所以367人中必有2人的生日相同,是必然事
7、件;事件B:抛掷一枚均匀的骰子,朝上的面的点数为1,2,3,4,5,6共6种情况,点数为偶数是随机事件.【答案】D2. 用列表法或画树状图求概率.当一次试验涉及多个因素(对象)时,常用列表法或画树状图法求出事件发生所有等可能性的结果,然后找出要求事件发生的结果数,根据概率的意义求其概率.【例2】小亮与小明一起玩“石头、剪刀、布”的游戏,两同学同时出“剪刀”的概率是.【解析】首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与两同学同时出“剪刀”的情况,再利用概率公式即可求得答案.画树状图,得:共有9种等可能的结果,两同学同时出“剪刀”的有1种情况,两同学同时出“剪刀”的概率是 .【答案】
8、【例3】如图,用红、蓝两种颜色随机地对A,B,C三个区域分别进行涂色,每个区域必须涂色并且只能涂一种颜色,请用列举法(画树状图或列表)求A,C两个区域所涂颜色不相同的概率.【解析】画树状图得出所有等可能的情况数,找出A与C中颜色不同的情况数,即可求出所求的概率.【答案】画树状图,如图所示:所有等可能的情况有8种,其中A,C两个区域所涂颜色不相同的有4种,则3. 概率与代数、几何、函数等学科知识的综合.概率与代数、几何的综合运用其本质还是求概率,只不过是需要应用代数和几何的方法确定某些限制条件的事件数.一般的方法是利用列表或树状图求出所有等可能的情形,再求出满足所涉及知识的情形,进一步求概率.【
9、例4】在学习“二元一次方程组的解”时,数学张老师设计了一个数学活动.有A,B 两组卡片,每组各3张,A组卡片上分别写有0,2,3;B组卡片上分别写有-5,-1,1.每张卡片除正面写有不同数字外,其余均相同.甲从A组中随机抽取一张记为x,乙从B组中随机抽取一张记为y.(1)若甲抽出的数字是2,乙抽出的数是-1,它们恰好是ax-y=5的解,求a的值;(2)求甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程ax-y=5的解的概率.(请用树形图或列表法求解)【解析】(1)将x=2,y=-1代入方程计算即可求出a的值;(2)列表得出所有等可能的情况数,找出甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程ax-y=5的解的情况数,即可求
10、出所求的概率.【答案】(1)将x=2,y=-1代入方程得2a+1=5,即a=2.(2)列表得:023-5(0,-5)(2,-5)(3,-5)-1(0,-1)(2,-1)(3,-1)1(0,1)(2,1)(3,1)所有等可能的情况有9种,其中(x,y)恰好为方程2x-y=5的解的情况有(0,-5),(2,-1),(3,1),共3种情况,则专项训练一、 选择题1. (2014广东深圳模拟)从一个袋中摸出一个球(袋中每一个球被摸到的可能性相等),恰为红球的概率为,若袋中原有红球4个,则袋中球的总数大约是().A. 12B. 16C. 32D. 242. (2014山东日照模拟)小英同时掷甲、乙两枚质
11、地均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6).记甲立方体朝上一面上的数字为x、乙立方体朝上一面朝上的数字为y,这样就确定点P的一个坐标(x,y),那么点P落在双曲线y=上的概率为().A. B. C. D. 3. (2013山东德州一模)现掷A,B两枚均匀的小立方体(每个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6),设两立方体朝上的数字分别为x,y,并以此确定点P(x,y),那么各掷一次所确定的点P落在已知抛物线y=-x2+4x上的概率为().A. B. C. D. 4. (2013山西模拟)甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中,统计了某一结果出现的频率绘出的统计
12、图如图所示,则符合这一结果的实验可能是().(第4题)A. 掷一枚正六面体的骰子,出现1点的概率B. 从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球,取 到红球的概率C. 抛一枚硬币,出现正面的概率D. 任意写一个整数,它能被2整除的概率二、 填空题5. (2014江苏无锡港下初中模拟)在一个不透明的布袋中装有2个白球和n个黄球,它们除颜色不同外,其余均相同.若从中随机摸出一个球,摸到黄球的概率是,则n=.6. (2014山东聊城模拟)从-2,-1,0,1,2这5个数中任取一个数,作为关于x的一元二次方程x2-x+k=0的k值,则所得的方程中有两个不相等的实数根的概率是.7. (2014河南鹿邑
13、县一模)将三个均匀的六面分别标有1,2,3,4,5,6的正方体同时掷出,出现的数字分别为a,b,c,则a,b,c正好是直角三角形三边长的概率是.8. (2013山东曲阜实验中学模拟)甲、乙两人玩抽扑克牌游戏,游戏规则是:从牌面数字分别为5,6,7的三张扑克牌中.随机抽取一张,放回后,再随机抽取一张,若所抽的两张牌面数字的积为奇数,则甲获胜;若所抽取的两张牌面数字的积为偶数,则乙获胜,这个游戏.(填“公平”或“不公平”)9. (2013广西南丹中学一模)某班共有50名同学,其中有2名同学习惯用左手写字,其余同学都习惯用右手写字,老师随机请1名同学到黑板板演,习惯用左手写字的同学被选中的概率是.三
14、、 解答题10. (2014江苏镇江外国语学校模拟)在物理实验中,当电流通过电子元件时,每个元件的状态有两种可能:通过或断开,并且这两种状态的可能性相等.(1)如图(1),当两个电子元件a,b并联时,请用树状图或列表法表示图中P,Q之间电流能否通过的所有可能情况,并求出P,Q之间电流通过的概率;(2)如图(2),当有三个电子元件并联时,请直接写出P,Q之间电流通过的概率为.(1)(2)(第10题)11. (2014四川中江县一模)在一个不透明的布袋里装有4个标有1,2,3,4的小球,它们的形状、大小完全相同.小明从布袋里随机取出一个小球,记下数字为x,小红在剩下的3个小球中随机取出一个小球,记
15、下数字为y,这样确定了点Q的坐标(x,y).(1)画树状图或列表,写出点Q所有可能的坐标;(2)求点Q(x,y)在函数y=-x+5的图象上的概率;(3)小明和小红约定做一个游戏,其规则:若x,y满足xy6则小明胜,若x,y满足xy6有(2,4),(3,4),(4,2),(4,3)共4种情况,x,y满足xy6有(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(3,1),(4,1)共6种情况,游戏不公平.公平的游戏规则为:若x,y满足xy6,则小明胜;若x,y满足xy6,则小红胜.12. (1) .(2)画树状图,得:(第12题)故两次都取到李明的概率为.14. (1)由题意,得取到标号为1的球的概率为. 第 - 10 - 页 共 10 页
