1、相似三角形的判定复习课相似三角形的判定复习课1 1如何识别两三角形是否相似如何识别两三角形是否相似?1 1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似所截得的三角形与原三角形相似 定义：两三角形对应角相等，对应边的定义：两三角形对应角相等，对应边的比相等的两个三角形相似比相等的两个三角形相似2 2、两角分别相等的两个三角形相似、两角分别相等的两个三角形相似3 3、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似4 4、三边成比例的两个三角形相似、三边成比例的两个三角形相似1.1.在在ABCABC中，中，A
2、BACABAC，过，过ABAB上一点上一点D D作直线作直线DEDE交另一边于交另一边于E E，使所得三角形与原三角，使所得三角形与原三角形相似，画出满足条件的图形形相似，画出满足条件的图形.EDABCDABCDABCDABCEEE思考：思考：若若D D点在点在Rt Rt ABCABC的斜边的斜边ABAB上，能得到几种情况。上，能得到几种情况。2.如图直线如图直线BE、DC交于交于A,ADAC=AEBA，求证：求证：E=CEDBCAABCED将将DAE绕绕A点旋转点旋转如何证明如何证明DEAC？例题例题1 1、已知如图，、已知如图，ABABABAB，BCBCBCBC求证：求证：ABCABCAB
3、CABCBcABCOA1324B A C O B C A 1 3 2 4 变式：变式：如图，如图，BCBBCBC C，ACAACAC C 求证：求证：BAC=BBAC=BA AC C例题例题2.2.如图，如图，1=2=31=2=3，求证：，求证：ABCABCADE.ADE.或或 ABABAE=ADAE=ADACACAEACADAB变式变式2 2：如图，如图，DAB=CAEDAB=CAE，且，且ABABAD=AEAD=AEACAC，问图中有与问图中有与ADEADE相等的角吗？相等的角吗？变式变式1 1：如图，如图，E E为四边形为四边形ABCDABCD对角线对角线BDBD上上 一点，且一点，且1
4、=2=3 1=2=3，求证：求证：AEAEAC=ADAC=ADABAB.例例3 3、如图，如图，DCABDCAB，ACAC、BDBD相交于点相交于点O O，AO=BO AO=BO，DF=FBDF=FB，求证：，求证：DEDE2 2=EC=ECEOEODCABOE3214F例题例题4.4.如图，如图，BACBAC9090，BDBDCDCD，DEBCDEBC交交ACAC于于E E，交，交BABA延长线于延长线于F F求证：求证：ADAD2 2DEDEDF DF 证明：证明：BACBAC9090，BD=CDBD=CDADADCDCD，C=DACC=DACDEBCDEBC，B BF=90F=90又又B
5、 BC=90C=90F=C=DACF=C=DACFDA=EDAFDA=EDAFDAFDAADEADEDF:ADDF:ADAD:DE AD:DE ADAD2 2=DE=DEDFDFB F A DC ENMABCDENABCDEM解：解：四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，AB=BC，BE=CE，AB=2BE，又又ABE与以与以D、M、N为顶点的三角形相似，为顶点的三角形相似，DM与与AB是对应边时，是对应边时，DM=2DNDM2+DN2=MN2=1DM2+DM2=1，解得解得DM=；DM与与BE是对应边时，是对应边时，DM=DN，DM2+DN2=MN2=1，即即DM2+4DM2=1，解得解得
6、DM=DM为为 或或 时，时，ABE与以与以D、M、N为顶点的三角形相似为顶点的三角形相似故选故选C2 2、如图，已知在如图，已知在ABCABC中，中，ADAD是是BCBC边上的中线，以边上的中线，以ABAB为为直径的直径的O O交交BCBC于点于点D D，过，过D D作作MNMNACAC于点于点M M，交，交ABAB的延长的延长线于点线于点N N，过点，过点B B作作BGBGMNMN于于G G（1 1）求证：）求证：BGDBGDDMADMA；（2 2）求证：直线）求证：直线MNMN是是O O的切线的切线证明：（1）MNAC于点M，BGMN于G，BGD=DMA=90以AB为直径的 O交BC于点
7、D，ADBC，ADC=90，ADM+CDM=90，DBG+BDG=90，CDM=BDG，DBG=ADM在BGD与DMA中，BGD=DMA=90，DBG=ADMBGDDMA；（2）连结ODBO=OA，BD=DC，OD是ABC的中位线，ODACMNAC，ODMN，直线MN是 O的切线 3 3、如图，在、如图，在ABCABC中，中，AB=5AB=5，BC=4BC=4，AC=3AC=3，PQABPQAB，P P点在点在ACAC上（与点上（与点A A、C C不重合），点不重合），点Q Q在在B B、C C上。上。（1 1）当）当PQCPQC的面积与四边形的面积与四边形PABQPABQ的面积相等时，求的面
8、积相等时，求CPCP的长；的长；（2 2）当）当PQCPQC的周长与四边形的周长与四边形PABQPABQ的周长相等时，求的周长相等时，求CPCP的长；的长；（3 3）在）在ABAB上是否存在点上是否存在点M M，使得，使得PQMPQM是等腰直角三角是等腰直角三角形？若存在，求出形？若存在，求出PQPQ的长。的长。PQCBAPQCBAAC4、如图，在、如图，在 O的内接的内接ABC中，中，ACB=90，AC=2BC，过，过C作作AB的垂线的垂线l交交 O于另一点于另一点D，垂足，垂足为为E.设设P是是 上异于上异于A,C的一个动点，射线的一个动点，射线AP交交l于点于点F，连接连接PC与与PD，
9、PD交交AB于点于点G.（1）求证：）求证：PACPDF；(2)若若AB=5，求，求PD的长；的长；=（1）证明：连接）证明：连接AD，ABCD，AB是是 O的直径，的直径，ADACACDBADC，FPCB，ACDFPC，APCACF，FACCAF，PACCAF；（2）连接）连接OP，则，则OAOBOP ，OPAB，OPGPDC，AB是是 O的直径，的直径，ACB90，AC2BC，tanCABtanDCB ，AE4BE，AE+BEAB5，AE4，BE1，CE2，OEOBBE2.511.5，OPGPDC，OGPDGE，OPGEDG，1522AB APBPBCAC12CEBEAECEOGOPGEE
10、D5 5、如图，在平面直角坐标系中，直角三角形、如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOBAOB的顶点的顶点A A、B B分别落在坐标轴上分别落在坐标轴上O O为原点，点为原点，点A A的坐标为（的坐标为（6 6，0 0），点），点B B的坐标为（的坐标为（0 0，8 8）动点）动点M M从点从点O O出发出发沿沿OAOA向终点向终点A A以每秒以每秒1 1个单位的速度运动，同时动点个单位的速度运动，同时动点N N从点从点A A出发，沿出发，沿ABAB向终点向终点B B以每秒以每秒 个单位的速度运动当一个动点到达终点时，另一个动点个单位的速度运动当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，
11、设动点也随之停止运动，设动点M M、N N运动的时间为运动的时间为t t秒（秒（t t0 0）（1 1）当）当t=3t=3秒时直接写出点秒时直接写出点N N的坐标，的坐标，并求出经过并求出经过O O、A A、N N三点的抛物线的解析式；三点的抛物线的解析式；（2 2）在此运动的过程中，）在此运动的过程中，MNAMNA的面积是否存在最大值？若存在，请求的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；出最大值；若不存在，请说明理由；（3 3）当）当t t为何值时，为何值时，MNAMNA是一个等腰三角形？是一个等腰三角形？解：（解：（1）由题意，）由题意，A（6，0）、）、B（0，
12、8），），则则OA=6，OB=8，AB=10；当当t=3时，时，AN=t=5=AB，即，即N是线段是线段AB的中点；的中点；N（3，4）设抛物线的解析式为：设抛物线的解析式为：y=ax（x-6），则：），则：4=3a（3-6），），a=-；抛物线的解析式：抛物线的解析式：y=-x（x-6）=-x2+x（2）在此运动的过程中，）在此运动的过程中，MNA的面积是否存在最大值？若的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；解（解（2）过点）过点N作作NCOA于于C；由题意，由题意，AN=t，AM=OA-OM=6-t，NC=NAsinBA
13、O=t =t；则：则：SMNA=AMNC=（6-t）t=-（t-3）2+6MNA的面积有最大值，且最大值为的面积有最大值，且最大值为6（解（解（3）RtNCA中，中，AN=t，NC=ANsinBAO=t，AC=ANcosBAO=t；OC=OA-AC=6-t，N（6-t，t）NM=；又：又：AM=6-t，AN=t（0t6）；）；当当MN=AN时，时，=t，即：，即：t2-8t+12=0，t1=2，t2=6（舍去）；（舍去）；当当MN=MA时，时，=6-t，即：，即：t2-12t=0，t1=0（舍去），（舍去），t2=；当当AM=AN时，时，6-t=t，即，即t=；综上，当综上，当t的值取的值取 2或或 或或 时，时，MAN是等腰三角形是等腰三角形（3）当）当t为何值时，为何值时，MNA是一个等腰三角形？是一个等腰三角形？
