1、第一章 特殊的平行四边形北师大版九年级数学上册 期末总复习知识归纳1菱形的定义和性质(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形(2)性质：菱形的四条边都_；菱形的对角线互相_，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点；菱形也是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴相等垂直平分注意 菱形是特殊的平行四边形，故它具有平行四边形的一切性质2菱形的判定方法(1)有一组邻边相等的_是菱形；(2)对角线互相垂直的_是菱形；(3)四边相等的_是菱形平行四边形平行四边形四边形辨析 四边形、平行四边形、菱形关系如图S11：3菱形的面积(1)由于菱形是平行四边形，
2、所以菱形的面积底高；(2)因为菱形的对角线互相垂直平分，所以其对角线将菱形分成4个全等的三角形，故菱形的面积等于两对角线乘积的一半4矩形的性质(1)矩形的对边_；(2)矩形的对角_；(3)矩形的对角线_、_；(4)矩形的四个角都是直角(或矩形的四个角相等)；(5)矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的_三角形；(6)矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴有_条，对称中心是对角线的交点平行且相等相等互相平分相等等腰两(7)矩形的面积等于两邻边的_乘积注意 利用“矩形的对角线相等且互相平分”这一性质可以得出直角三角形的一个常用的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边长的_一半5矩形的判定(1
3、)有一个角是直角的_是矩形；(2)有三个角是直角的_是矩形；(3)对角线相等的_是矩形平行四边形四边形平行四边形6正方形的性质(1)正方形的对边_；(2)正方形的四边_；(3)正方形的四个角都是_；(4)正方形的对角线相等、互相垂直、互相平分，每条对角线平分一组对角；(5)正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴有_条，对称中心是对角线的交点平行相等直角四7正方形的判定(1)有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形；(2)有一组邻边相等的_是正方形；(3)有一个角是直角的_是正方形矩形菱形注意 矩形、菱形、正方形都是平行四边形，且是特殊的平行四边形矩形是有一个内角为直角的
4、平行四边形；菱形是有一组邻边相等的平行四边形；正方形既是矩形，又是菱形8中点四边形中点四边形就是连接四边形各边中点所得的四边形，我们可以得到下面的结论：(1)顺次连接四边形四边中点所得的四边形是_(2)顺次连接矩形四边中点所得的四边形是_(3)顺次连接菱形四边中点所得的四边形是_(4)顺次连接正方形四边中点所得的四边形是_(5)顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形是_平行四边形菱形矩形正方形菱形总结 顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是_；顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是_菱形矩形 考点一菱形的性质和判定 考点攻略 例1如图S12，菱形ABCD的对角线AC与BD
5、相交于点O，点E，F分别为边AB，AD的中点，连接EF，OE，OF.求证：四边形AEOF是菱形 解析 由点E，F分别为边AB，AD的中点，可知OEAD，OFAB，而AEAF，故四边形AEOF是菱形方法技巧在证明一个四边形是菱形时，要注意：首先判断是平行四边形还是任意四边形.若是任意四边形，则需证四条边都相等；若是平行四边形，则需利用对角线互相垂直或一组邻边相等来证明.考点二和矩形有关的折叠计算问题例2如图S13，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F点处已知CE3 cm，AB8 cm，求图中阴影部分的面积 解析 要求阴影部分的面积，由于阴影部分由两个直角三角形构成，所以只要根
6、据勾股定理求出直角三角形的直角边即可方法技巧 矩形的折叠问题，一般是关于面积等方面的计算问题，主要考查同学们的逻辑思维能力和空间想象能力.解决与矩形折叠有关的面积问题，关键是将轴对称的特征、勾股定理以及矩形的有关性质结合起来 考点三和正方形有关的探索性问题 例3如图S14，在正方形ABCD中，点E在BC上，BE3，CE2，点P在BD上，求PE与PC的长度和的最小值解析 连接AP，AE，由正方形关于对角线对称将PC转移到PA，要求PE与PC和的最小值即求PE与PA和的最小值，易知当P在AE上时，PAPE最小解：连接AP，AE，如图S15.方法技巧正方形是一种特殊的四边形，它里面隐含着许多线段之间
7、的关系或角之间的关系，我们要充分利用正方形的特性，结合图形大胆地探索、归纳、验证即可使问题获解.第二章 一元二次方程知识归纳1一元二次方程只 含 有 一 个 未 知 数 的 整 式 方 程，并 且 都 可 以 化 为 (a，b，c为常数，a0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程注意 定义应注意四点：(1)含有一个未知数；(2)未知数的最高次数为2；(3)二次项系数不为0；(4)整式方程ax2bxc02一元二次方程的一般形式ax2bxc0(a，b，c为常数，a0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为 、和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数3直接开平方法直接开平方法的
8、理论依据是平方根的定义直接开平方法适用于解形如(xa)2b(b0)的一元二次方程，根据平方根的定义可知xa是b的平方根，当b0时，x ；当b0时，方程没有实数根二次项一次项4配方法(1)配方法的基本思想：转化思想，把方程转化成(xa)2b(b0)的形式，这样原方程的一边就转化为一个完全平方式，然后两边同时开平方(2)用配方法解一元二次方程的一般步骤：化二次项系数为1；含未知数的项放在一边，常数项放在另一边；配方，方程两边同时加上 ，并写成(xa)2b的形式，若b0，直接开平方求出方程的根一次项系数一半的平方5公式法(1)一 元 二 次 方 程 a x2 b x c 0(b2 4 a c 0)的
9、 求 根 公 式：x _.(2)用公式法解一元二次方程的一般步骤：把一元二次方程化成一般形式：ax2bxc0(a0)；确定a，b，c的值；求b24ac的值；当b24ac0时，则将a，b，c及b24ac的值代入求根公式求出方程的根，若b24ac0，则方程无实数根6用分解因式法解一元二次方程的一般步骤(1)将方程变形为右边是0的形式；(2)将方程左边分解因式；(3)令方程左边的每个因式为0，转化成两个一次方程；(4)分别解这两个一次方程，它们的解就是原方程的解9列方程解应用题的一般步骤(1)审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系(2)设元：就是设未知数，分直接设与间接设，应根据实际需要恰当
10、选取设元法(3)列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题(4)解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性(5)作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语 考点一用配方法解方程考点攻略例1用配方法解方程：3x24x40.解析 用配方法解一元二次方程，关键的一步是将二次项系数已化为1的方程的两边加上一次项系数一半的平方，转化为(xm)2n的形式，当n0时，直接开平方求得方程的根 考点二用分解因式法解方程 例2用分解因式法解方程：(x3)23x0.解析 经过变形后可用提取公因式法分解因式解：原方程变形为(x3)2(x3)0，(x3)(x31)
11、0，即(x3)(x4)0，x30或x40，x13，x24.考点三用公式法解方程例3用公式法解方程：x2x10.解析 用公式法解方程时应先把一元二次方程化为一般形式，再确定a，b，c的值 考点四增长率问题例4某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？解析 增长率问题在近年中考试题中频频出现，解决此类问题应掌握增长率是指增长数与基准数的比解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则经过1轮后有(1x)台被染上病毒，2轮后就有(1x)2
12、台被感染病毒，依题意，得(1x)281，解得x18，x210(舍去)所以每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑由此规律，经过3轮后，有(1x)3(18)3729台电脑被感染由于729700，所以若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台第三章 概率的进一步认识知识归纳1频率与概率(1)当试验次数很大时，试验频率稳定在相应的 附近因此，我们可以通过多次试验，用一个事件发生的 来估计这一事件发生的 .(2)涉及两步试验的随机事件发生的概率，有两种基本的计算方法，它们分别是 、.注意 用列表法或树状图法求概率时应注意各种情况发生的可能性务必相同概率频率概率树状图法列表法2试验估算估计
13、复杂的随机事件发生的概率常用的方法是 ，但有时试验和调查既费时又费力，个别的试验和调查根本无法进行此时我们可采用的方法试验估算模拟实验3池塘里有多少条鱼一个口袋中有m个黑球(已知)和若干个白球，如果不许将球倒出来数，则有两种方法可以估计出其中的白球数x：平均水平 平均水平 考点一利用频率估计概率 考点攻略例1为了估计水塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中捕获30条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞200条鱼，如果在这200条鱼中有5条鱼是有记号的，则鱼塘中的鱼可估计为()A3000条B2200条C1200条 D600条C 考点二利用概率帮助说理 例2甲袋中放有21只红球和9
14、只黑球，乙袋中放有190只红球，90只黑球和10只白球，这三种球除了颜色以外没有任何区别两袋中的球都已搅匀，随机从袋子中取出一只球，如果你想取出1只黑球，选择_袋成功的机会大乙 第四章 图形的相似知识归纳1线段的比的定义在同一单位长度下，两条线段_的比叫做这两条线段的比2成比例线段四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即_，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段长度adbc(bdfn0)4平行线分线段成比例定理及推论定理：两条直线被一组_所截，所得的对应线段_推 论：平 行 于 三 角 形 一 边 的 直 线 与 其 他 两 边 相 交，截 得 的 对 应 线 段_平行线
15、成比例成比例5相似多边形的定义对应角_，对应边_的两个多边形叫做相似多边形相似多边形_叫做相似比注意：判定两个多边形相似，对应角相等、对应边成比例，两个条件缺一不可相等成比例对应边的比6相似多边形的性质相似多边形的对应角_，对应边_周长的比等于_，面积的比等于_7相似三角形的定义对应角_，对应边_的两个三角形叫做相似三角形相似三角形_叫做相似比相等成比例相似比相似比的平方相等成比例对应边的比8相似三角形判定方法_；_；_两个三角形相似，一般说来必须具备下列六种情形之一：两角分别相等三边成比例两边成比例且夹角相等只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要添加适当的辅助线，构造出基本图
16、形，问题即可得以解决9黄金分割黄金分割的意义：如图S44，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果_，那么称线段AB被点C黄金分割其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做_，黄金分割的比值是一个定值，即ACAB_0.618.黄金比10相似三角形的性质相似三角形的对应角_，对应边_相似三角形的对应中线的比等于_，对应高的比等于_，对应角对应角平分线的比等于_，周长之比等于_，相似三角形面积之比等于_11测量物体的高度(1)利用_的有关知识测量旗杆(或路灯杆)的高度；(2)测量的方法有三种：利用_，利用_，利用_相等成比例相似比相似比的平方三角形相似阳光标杆镜子相似比相似比相似比12
17、位似图形的定义如果两个相似图形的每组对应点所在直线都交于一点，那么这样的两个图形叫做_，这个点叫做_，此时，两个相似图形的相似比又叫做它们的_13位似图形的性质位似图形的对应点和位似中心在_，它们到位似中心的距离之比等于_位似图形位似中心位似比同一直线上位似比 考点一三角形相似的判定 考点攻略例1如图S45，添加一个条件：_，使ADEACB.(写出一个即可)ADEACB(答案不惟一)考点二相似三角形的判定和性质 例2如图S46，在梯形ABCD中，ADBC，若BCD的平分线CHAB于点H，BH3AH，且四边形AHCD的面积为21，求HBC的面积 解析 因为问题涉及四边形AHCD，所以可构造相似三
18、角形，把问题转化为相似三角形的面积比加以解决 考点三相似三角形的判定与分类讨论例3在ABC中，P是AB上的动点(P异于A，B)，过点P的一条直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的ABC的相似线如图S47，A36，ABAC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的ABC的相似线最多有_条3解析 当PDBC时，APDABC，当PEAC时，BPEBAC，连接PC，A36，ABAC，点P在AC的垂直平分线上，APPC，ABCACB72，ACPPAC36，PCB36，BB，PCBA，CPBACB，故过点P的ABC的相似线最多有3条 考点四构造相似三角形测量物体的高度(宽度或
19、深度)例4一天，某校数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度，来评估这些深坑对河道的影响如图S49是同学们选择(确保测量过程中无安全隐患)的测量对象，测量方案如下：先测量出沙坑坑沿圆周的周长约为34.54米；甲同学直立于沙坑坑沿圆周所在平面上，经过适当调整自己所处的位置，当他位于点B时，恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上的一点A看到坑底S(甲同学的视线起点C与点A、点S三点共线)经测量AB1.2米，BC1.6米根据以上测量数据，求“圆锥形坑”的深度(圆锥的高)(取3.14，结果精确到0.1米)第五章 投影与视图知识归纳1画三视图的原则画三视图时，应注意主、俯视图
20、要“”，主、左视图要“”，左、俯视图要“”注意 在画圆锥的俯视图时，要注意不要漏掉圆心处的实点长对正高平齐宽相等2三视图的画法首先观察物体的几何构成，确定主视图的位置，依次画出视图的外轮廓线，然后将视图补充完整，看得见的轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线总结 三视图中的方位与物体上的方位的对应关系：(1)主视图中的上、下、左、右对应物体的上、下、左、右；(2)俯视图中的上、下、左、右对应物体的后、前、左、右；(3)左视图中的上、下、左、右对应物体的上、下、后、前3画三视图的顺序三种视图中首先应确定主视图的位置，画出主视图，然后在主视图下面画出俯视图，在主视图右面画出左视图4平行投影太阳光线可以
21、看成是 的光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影平行点拨 平行投影与视图的联系：事实上，在特殊位置下(投影线与投影面垂直时)物体的平行投影就是物体的三种视图物体的主视图是一束平行光线从正前方照射时形成的平行投影；左视图是一束平行光线从左前方照射形成的平行投影；俯视图是一束平行光线从正上方照射形成的平行投影5中心投影探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看成由一点发出的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影点拨 中心投影与平行投影的区别：太阳光线是平行的光线，灯光的光线是从一点发出的 考点一确定物体的三视图 考点攻略B例1如图S51(a)所示几何体的主(正)视图是()图S51解析 B容易看出主
22、视图有两层组成，最上层一个正方形，第二层三个正方形B 考点二由视图确定物体例2由若干个相同的小立方体搭成的几何体的三视图如图S52所示，则搭成这个几何体的小立方体的个数是()A3B4C5D6解析 B由主视图可以看出几何体有两层，由俯视图可以看出第一层有3个小立方体，由左视图可以看出第二层有1个小正方体 考点三平行投影问题例3小刚身高1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶()A0.5 m B0.55 m C0.6 m D2.2 mA第六章 反比例函数知识归纳总结 当确定了反比例函数表达式后，便可求出当自变量
23、x(x0)取其他值时，所对应的函数值；同样当已知该函数的值时，也可求出相对应的自变量x的值一、三 二、四 减小 增大 4反比例函数的应用应用反比例函数知识解决实际生活中的问题，关键是建立反比例函数模型，即列出符合题意的函数表达式，然后根据函数的性质综合方程(组)、不等式(组)及图象求解要特别注意结合实际情况确定自变量的取值范围 考点一反比例函数的图象和性质 考点攻略D解析 D先根据反比例函数的图象过A(1，2)，利用数形结合求出x1时y的取值范围，再由反比例函数的图象关于原点对称的特点即可求出结果 考点二反比例函数的表达式 A 考点三反比例函数图象中的图形面积 5 考点四反比例函数与一次函数 解析 结合题意，可以把A点坐标代入两个函数的表达式，然后得到k，m的值，然后联立方程组，即可得到B点的坐标 考点五反比例函数在生活中的应用 综合近几年中考数学试卷，在反比例函数考题中出现了一类新题型反比例函数数学建模试题它既符合素质教育提出的“培养学生应用意识”的新要求，同时也有利于培养学生分析问题和解决问题的能力，解这类数学应用题的关键是通过对问题原始形态的分析、联想和抽象，将实际问题转化为一个数学问题，即构建一个反比例函数数学模型
