1、理科数学(第 1 1 页,共 4 4页)(试卷总分:150 分,考试时间:120 分钟)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集 U=0,1,2,3,4,5,6,集合 A=1,2,4,B=1,3,5,则 A(UB)=()A.0,6B.1,4C.2,4D.3,52.复数i2i 34z(其中 i 为虚数单位)的虚部为()A.-2B.-1C.1D.23.青少年视力被社会普遍关注,为了解他们的视力状况,经统计得到图中右下角 12 名青少年的视力测量值ai(i=1,2,3,12)(五分记录法)的茎叶图,其中茎表示个位数
2、,叶表示十分位数.如果执行右图所示的算法程序,那么输出的结果是()A.4B.5C.6D.74.抛物线 y2=2px(p0)上的一点 P(-9,12)到其焦点 F的距离|PF|等于()A.17B.15C.13D.115.已知一个几何体的三视图如右,则它的表面积为()A.3B.4C.5D.66.在621xx的展开式中,x3项的系数为()A.-20B.-15C.15D.207.在平行四边形 ABCD 中,AB=2,AD=1,BAD=60,E 是BC 的中点,则 AEAC()A.3B.4C.5D.68.“为第二象限角”是“1cos3sin”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件成都七中 202成都
3、七中 2022 22022023 3学年度（上）高三年级半期考试学年度（上）高三年级半期考试数 学 试 卷数 学 试 卷（理科）（理科）理科数学(第 2 2 页,共 4 4页)C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.已知直线 ax+by-1=0(a0,b0)与圆 x2+y2=4 相切,则 log2a+log2b 的最大值为()A.3B.2C.-2D.-310.关于函数)6cos(sin)(xxxf的叙述中,正确的有()f(x)的最小正周期为 2;f(x)在区间,6 3内单调递增;()3f x是偶函数;f(x)的图象关于点(,0)12对称.A.B.C.D.11.攒尖在中国古建筑(如宫殿、坛庙、园
4、林等)中大量存在,攒尖式建筑的屋面在顶部交汇成宝顶,使整个屋顶呈棱锥或圆锥形状.始建于1752 年的廓如亭(位于北京颐和园内,如图)是全国最大的攒尖亭宇,八角重檐,蔚为壮观.其檐平面呈正八边形,上檐边长为a,宝顶到上檐平面的距离为h,则攒尖坡度(即屋顶斜面与檐平面所成二面角的正切值)为()A.ah2)12(B.ah2)12(3C.ah3)12(D.ah)12(212.如果直线 l 与两条曲线都相切,则称 l 为这两条曲线的公切线.如果曲线 C1:y=ln x 和曲线 C2:)0(xxaxy有且仅有两条公切线,那么常数 a 的取值范围是()A.(-,0)B.(0,1)C.(1,e)D.(e,+)
5、二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13.命题“xN,2x0,b0)的两个焦点分别为 F1,F2,且两条渐近线互相垂直,若 C 上一点 P 满足|PF1|=3|PF2|,则F1PF2的余弦值为_.16.已知某品牌电子元件的使用寿命 X(单位:天)服从正态分布 N(98,64).（1）一个该品牌电子元件的使用寿命超过 100 天的概率为_;(2 分)（2）由三个该品牌的电子元件组成的一条电路(如图所示)在 100 天后仍能正常工作(要求 K 能正常工作,A,B 中至少有一个能正常工作,且每个电子元件能否正常工作相互独立)的概率为_.(3 分)(参考公式:若 XN(,2)
6、,则 P(-0.25X+0.25)=0.2)理科数学(第 3 3 页,共 4 4页)三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题,每个题目考生都必须作答.第 22,23 题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共 60 分.17.(12 分)已知 nN*,数列an的首项 a1=1,且满足下列条件之一:nnnaa2121;nnanna)1(21.(只能从中选择一个作为已知)（1）求an的通项公式;（2）若an的前 n 项和 Snb0)的短轴长为32,左顶点A到右焦点F的距离为 3.（1）求椭圆 C 的方程及离心率;（2）设直线 l 与椭圆 C 交于不同两点 M
7、,N(不同于 A),且直线 AM 和 AN 的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数,求 F 在 l 上的射影 H 的轨迹方程.21.(12 分)已知函数 f(x)=ex-ksinx 在区间(0,)2内存在极值点.（1）求实数 k 的取值范围;（2）求证:在区间(0,)内存在唯一的,使 f()=1,并比较与 2的大小(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22,23 题中任选一题作答.如果多做,那么按所做的第一题计分.22.选修 4-4:坐标系与参数方程(10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,伯努利双纽线 C(如图)的普通方程为(x2+y2)2=2(x2-y2),直线 l 的参数方程为sincos
8、tytx(其中)4,0(,t 为参数).（1）以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,求 C 和 l 的极坐标方程;（2）设 A,B 是 C 与 x 轴的交点,M,N 是 C 与 l 的交点(四点均不同于 O),当变化时,求四边形 AMBN 的最大面积.23.选修 4-5:不等式选讲(10 分)设 M 为不等式|x+1|+4|3x-1|的解集.（1）求 M;（2）若 a,bM,求|ab-a-b|的最大值.高三(上)半期考试数学(理科)参考答案（第 1 1页,共 4 4页）成都七中 20222023 学年度（上）半期考试高三数学试题参考答案及评分意见(理科)一、选择题:(每小题 5
9、分,共 60 分)CABCBADADCDB二、填空题:(每小题 5 分,共 20 分)13、xN,2xx2；14、)23,(；15、31；16、0.4(2 分);0.256(3 分).三、解答题:(共 70 分)17、解:（1）若选择条件,则由已知得22211nnnnaa.(2 分)所以2nna是首项为2,公差为2的等差数列,故nann22.(4分)于是an的通项公式为12nnna,nN*.(5 分)或解：若选择条件,则由已知得nnnnnaa2)1(211,于是)2(212111nnnnnana.(2 分)又02101a,所以21nnna为常数数列0.(4分)于是021nnna,故an的通项公
10、式为12nnna,nN*.(5 分)若选择条件,则由已知得nanann2111.(2 分)所以nan是首项为 1,公比为21的等比数列,故121nnna.(4 分)于是an的通项公式为12nnna,nN*.(5分)或解：若选择条件,则由已知得nnaann1211.(2 分)于是11112211211221121nnnnnnnnnnnnaaaaaaaa.(4 分)于是an的通项公式为12nnna,nN*.(5分)(注:如果选择两个条件作答,则以第一个计分;若两个条件同时使用,则不计分)（2）因为12210221232221nnnnnS,所以nnnnnS221232221211321.(6 分)两
11、式错位相减,得nnnnS221212121211210(7分)nnnnn2222211211.(9 分)高三(上)半期考试数学(理科)参考答案（第 3 3页,共 4 4页）又3b,所以 a2-c2=3.(2 分)解得 a=2,c=1.故椭圆 C 的方程为13422yx.(3 分)椭圆C的离心率e=21.(4分)（2）当直线 l 垂直于 y 轴时,直线 AM,AN 的斜率乘积为正,与已知矛盾.(5 分)故可设 l 的方程为 x=ty+m(m-2),代入 3x2+4y2=12,并整理得(3t2+4)y2+6mty+3(m2-4)=0.(6分)设 M(ty1+m,y1),N(ty2+m,y2),则4
12、36221tmtyy,43)4(32221tmyy.()(7 分)因为 A(-2,0),由21ANAMkk,得21)2)(2(2121mtymtyyy.整理得(t2+2)y1y2+(m+2)t(y1+y2)+(m+2)2=0.(8 分)将(*)式代入,得 3(m2-4)(t2+2)-6m(m+2)t2+(m+2)2(3t2+4)=0.因为 m-2,化简得 3(m-2)(t2+2)-6mt2+(m+2)(3t2+4)=0.(9 分)化简得 3(m-2)+2(m+2)2=0,解得52m(此时0 恒成立),所以直线 l经过定点P)0,52(.(10分)又因为 PHFH,所以 H 的轨迹是以 PF 为
13、直径的圆(除去点 F).(11 分)故点H 的轨迹方程为)1(1009)107(22xyx.(12分)(说明:未注明除去点 F 和 x1,整体只扣 1 分)21、解：（1）求导,得xkxfxcose)(.(1 分)当 k1 时,因为(0,)2x,于是 kcosxcosx1 时,易知()fx在区间(0,)2内单调递增.(4 分)又(0)10fk,2()e02f,所以存在唯一的(0,)2,使得()0f.(5 分)综上可知,所求实数 k 的取值范围是(1,+).(6 分)或解：求导,得xkxfxcose)(.(1 分)由0)(xf,得xxkecos1(显然 k0).(2 分)设函数)20(ecos)
14、(xxxkx,则0e)cos(sin)(xxxxk.(3 分)所以 k(x)在区间(0,)2内单调递减.(4 分)又 k(0)=1,()02k,故101k.(5 分)于是所求实数 k 的取值范围是(1,+).(6 分)（2）由（1）知,当 0 x时,()0fx;当2x时,()0fx.(7 分)又当2x时,()0fx恒成立,高三(上)半期考试数学(理科)参考答案（第 4 4页,共 4 4页）所以 f(x)在区间(0,)内单调递减,在区间(,)内单调递增.(8 分)故当 0 x时,f(x)1,所以在区间(0,)内存在唯一的,使得 f()=1,且(,).(9 分)由()0f,得cosek,所以2(2
15、)e2 sincose(e2sin)fk.(10分)设函数()ee2sin(0)2g,则()e+e2cos2 2cos0g.所以 g()在区间(0,)2内单调递增,故 g()g(0)=0,即e2sine,于是 f(2)1.(11 分)又 f()=1,所以 f(2)f().因为 f(x)在区间(,)内单调递增,且 2,(,),所以 2.(12 分)22、解：（1）由(x2+y2)2=2(x2-y2)得4=2(2cos2-2sin2).(1 分)于是2=2(cos2-sin2),所以 C 的极坐标方程为2=2cos2.(2 分)由直线 l 的参数方程可知,l 经过坐标原点 O,且倾斜角为)40(,
16、(3 分)所以 l 的极坐标方程为)40,R(.(4 分)（2）易知曲线 C 关于点 O 对称,所以四边形 AMBN 为平行四边形.(5 分)又2cos2,2OMOA,其中)4,0(.(6 分)所以AMBN 的面积2cossin4sin24OMOASSOAM.(7 分)于是)sin21(sin22222S22)sin21(sin22222.(9 分)故四边形AMBN的最大面积为2(当且仅当21sin即6时取得).(10 分)23、解：（1）当 x-1,此时无解;(1 分)当-1x31时,原不等式化为(x+1)+4-(3x-1),得 x-1,故-1x31;(2 分)当x31时,原不等式化为(x+1)+43x-1,得x3,故31x3;(3分)所以原不等式的解集 M=x|-1x3.(4 分)(5 分)(7 分)(9 分)（2）因为 a,bM,所以|a-1|2,|b-1|2.所以|ab-a-b|=|(a-1)(b-1)-1|(a-1)(b-1)|+1=|a-1|b-1|+122+1=5.故|ab-a-b|的最大值为2(当且仅当a=3,b=-1,或a=-1,b=3时取得).(10分)
