1、第六章数列第一节数列的概念与简单表示法(全国卷5年3考)【知识梳理知识梳理】1.1.数列的有关概念数列的有关概念(1)(1)数列的定义数列的定义:按照按照一定一定_排列的一列数排列的一列数,称为数列称为数列.(2)(2)数列的项数列的项:数列中的每一项叫做数列的项数列中的每一项叫做数列的项.(3)(3)数列的表示法数列的表示法:_.:_.顺序顺序列表法、图象法、解析法列表法、图象法、解析法2.2.数列的分类数列的分类分类原则分类原则类型类型满足条件满足条件按项数分按项数分类类有穷数有穷数列列项数项数_无穷数无穷数列列项数项数_有限有限无限无限分类原则分类原则类型类型满足条件满足条件按项与项按项
2、与项间间的大小关的大小关系系分类分类递增数递增数列列a an+1n+1_a_an n其中其中nNnN*递减数递减数列列a an+1n+1_a_an n常数列常数列a an+1n+1=a=an n摆动数摆动数列列从第从第2 2项起项起,有些项大于有些项大于它的前一项它的前一项,有些项小有些项小于它的前一项的数列于它的前一项的数列 3.3.两种给出数列的方法两种给出数列的方法(1)(1)通项公式通项公式:如果数列如果数列aan n 的第的第n n项与项与_之间的关之间的关系可以用一个式子来表示系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列那么这个公式叫做这个数列的通项公式的通项公式.序号序号n
3、n(2)(2)递推公式递推公式:如果已知数列如果已知数列aan n 的第的第1 1项项(或前几项或前几项),),且从第二项且从第二项(或某一项或某一项)开始的任一项与它的前一项开始的任一项与它的前一项(或或前几项前几项)间的关系可以用一个公式来表示间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公那么这个公式就叫做这个数列的递推公式式就叫做这个数列的递推公式.【常用结论常用结论】1.1.数列中数列中a an n与与S Sn n的关系的关系已知数列已知数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n,则则 2.2.数列中最大数列中最大(小小)项满足的条件项满足的条件在数列在数列aan n 中中,若若a
4、an n最大最大,则则 若若a an n最小最小,则则 1nnn 1S(n1),aSS(n2).nn 1nn 1aaaa，；nn 1nn 1aaaa.，【基础自测基础自测】题组一题组一:走出误区走出误区1.1.判断正误判断正误(正确的打正确的打“”“”,错误的打错误的打“”.)”.)(1)(1)所有数列的第所有数列的第n n项都可以用公式表示出来项都可以用公式表示出来.()(2)(2)依据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止依据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个一个.()(3)(3)任何一个数列不是递增数列任何一个数列不是递增数列,就是递减数列就是递减数列.(.()(4)(4)如
5、果数列如果数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,则对于任意则对于任意nNnN*,都都有有a an+1n+1=S=Sn+1n+1-S-Sn n.()答案答案:(1)(1).因为数列是按一定顺序排列的一列数因为数列是按一定顺序排列的一列数,如如我班某次数学测试成绩我班某次数学测试成绩,按考号从小到大的顺序排列按考号从小到大的顺序排列,这个数列肯定没有通项公式这个数列肯定没有通项公式,所以所以(1)(1)错误错误.(2).(2).比如数列比如数列1,0,1,0,1,0,1,0,的通项公式为的通项公式为:a:an n=或或a an n=或或a an n=,=,所以所以(2)(2)正确
6、正确.n|sin|2(n1)|cos|2n1(1)2(3)(3).因为数列有递增数列、递减数列、常数列、摆因为数列有递增数列、递减数列、常数列、摆动数列动数列,所以所以(3)(3)错误错误.(4).(4).由数列前由数列前n n项和的定义可知项和的定义可知,当当nNnN*,都有都有a an+1n+1=S=Sn+1n+1-S-Sn n,所以所以(4)(4)正确正确.2.2.已知数列已知数列aan n:,:,则数列的一则数列的一个通项公式为个通项公式为_._.1111,1 2 2 33 4 4 5【解析解析】这个数列的前这个数列的前4 4项的绝对值都等于序号与序号项的绝对值都等于序号与序号加加1
7、1的积的倒数的积的倒数,且奇数项为负且奇数项为负,偶数项为正偶数项为正,所以它的所以它的一个通项公式一个通项公式a an n=(-1)=(-1)n n 答案答案:a an n=(-1)=(-1)n n 1.n(n1)1n(n1)3.3.已知数列的通项为已知数列的通项为a an n=(nN=(nN*),),则数列则数列aan n 的的最小项是第最小项是第_项项.n13n16【解析解析】因为因为a an n=,=,数列数列aan n 的最小项必为的最小项必为a an n0,0,即即 0,3n-160,0,3n-160,从而从而n ,n0,0,所以所以tatan n+3+3恒成立恒成立,t(at(a
8、n n+3)+3)minmin=a=a1 1+3=3,+3=3,所以所以t tmaxmax=3.=3.2na【状元笔记状元笔记】在涉及参数的最值问题时在涉及参数的最值问题时,常常与已知数列的单调性有常常与已知数列的单调性有关关,因此解决这类问题因此解决这类问题,需要先判断该数列的单调性需要先判断该数列的单调性.命题角度命题角度2 2数列的周期性问题数列的周期性问题【典例典例】(2018(2018黄冈模拟黄冈模拟)已知数列已知数列aan n 中中,a,a1 1=,=,a an+1n+1=,=,则则a a2 0182 018=(=()A.-2A.-2B.B.C.-C.-D.3D.312nn1a1a
9、1213【解析解析】选选D.D.因为因为a a1 1=,=,所以所以a a2 2=3,=3,a a3 3=-2,a=-2,a4 4=-,a=-,a5 5=,=,所以数列所以数列aan n 是周期数列且周期是周期数列且周期T=4,T=4,所以所以a a2 0182 018=a=a2 2=3.=3.12111a1a221a1a331a1a13441a1a12【状元笔记状元笔记】在求数列中某一项的值在求数列中某一项的值,特别是该项的序号较大时特别是该项的序号较大时,应应该考虑该数列是否具有周期性该考虑该数列是否具有周期性,利用周期性即可求出该利用周期性即可求出该数列中的某一项数列中的某一项.命题角度
10、命题角度3 3数列中的最值问题数列中的最值问题【典例典例】数列数列aan n 的通项为的通项为a an n=(nN=(nN*),),若若a a5 5是是aan n 中的最大值中的最大值,则则a a的取值范围是的取值范围是_._.n221n4n(a 1)nn5，【解析解析】当当n4n4时时,a,an n=2=2n n-1-1单调递增单调递增,因此因此n=4n=4时取最时取最大值大值,a,a4 4=2=24 4-1=15.-1=15.当当n5n5时时,a,an n=-n=-n2 2+(a-1)n+(a-1)n22a1(a1)(n).24 因为因为a a5 5是是aan n 中的最大值中的最大值,所
11、以所以 解得解得9a12.9a12.所以所以a a的取值范围是的取值范围是9,12.9,12.答案答案:9,129,12a 15.52255(a 1)15，【状元笔记状元笔记】解决数列的最值问题解决数列的最值问题,经常将数列看作某个函数经常将数列看作某个函数,利用利用函数的最值来求数列的最值函数的最值来求数列的最值.【对点练对点练找规律找规律】1.1.已知数列已知数列aan n 满足满足a a1 1=1,a=1,an+1n+1=-2a=-2an n+1(nN+1(nN*),),则则a a2 0202 020等于等于()A.1A.1 B.0B.0C.2 017C.2 017D.-2 017D.-
12、2 0172na【解析解析】选选B.B.因为因为a a1 1=1,=1,所以所以a a2 2=(a=(a1 1-1)-1)2 2=0,a=0,a3 3=(a=(a2 2-1)-1)2 2=1,a=1,a4 4=(a=(a3 3-1)-1)2 2=0,=0,可知数列可知数列aan n 是以是以2 2为周期的数列为周期的数列,所以所以a a2 0202 020=a=a2 2=0.=0.2.2.已知数列已知数列aan n 中中,a,an n=1+(nN=1+(nN*,aR,aR且且a0).a0).(1)(1)若若a=-7,a=-7,求数列求数列aan n 中的最大项和最小项的值中的最大项和最小项的值
13、.(2)(2)若对任意的若对任意的nNnN*,都有都有a an naa6 6成立成立,求求a a的取值范围的取值范围.1a2(n 1)【解析解析】(1)(1)因为因为a an n=1+(nN=1+(nN*,aR,aR且且a0),a0),又又a=-7,a=-7,所以所以a an n=1+(nN=1+(nN*).).结合函数结合函数f(x)=1+f(x)=1+的单调性的单调性,可知可知1a1a1 1aa2 2aa3 3aa4 4,1a2(n 1)12n912x9a a5 5aa6 6aa7 7 aan n1(nN1(nN*).).所以数列所以数列aan n 中的最大项为中的最大项为a a5 5=2
14、,=2,最小项为最小项为a a4 4=0.=0.(2)a(2)an n=1+=1+,=1+=1+,已知对任意的已知对任意的nNnN*,都有都有a an naa6 6成立成立,结合函数结合函数f(x)=1+f(x)=1+的单调性的单调性,可知可知5 6,5 6,即即-10a-8.-10a0,0,故故(n+1)a(n+1)an+1n+1-na-nan n=0,=0,即即 故故2n 1a2nan 1nan,an13212 aa12a2 a3，把以上各式分别相乘得把以上各式分别相乘得 ,即即a an n=.=.答案答案:43a3a4，nn 1an1an，n1a1an1n1n【技法点拨技法点拨】两种常见
15、递推数列及解法两种常见递推数列及解法(1)a(1)an+1n+1=pa=pan n+q(p0,1,q0)+q(p0,1,q0)的求解方法是的求解方法是:设设a an+1n+1+=p(a=p(an n+),+),即即a an+1n+1=pa=pan n+p-,+p-,与与a an+1n+1=pa=pan n+q+q比较即可比较即可知只要知只要=.=.qp 1(2)a(2)an+1n+1=pa=pan n+qp+qpn+1n+1(p0,1,q0)(p0,1,q0)的求解方法是两端的求解方法是两端同时除以同时除以p pn+1n+1,即得即得 =q,=q,数列数列 为等差数列为等差数列.提醒提醒 :对
16、于有些递推公式要注意参数的限制条件对于有些递推公式要注意参数的限制条件.n 1nn 1naappnnap【即时训练即时训练】已知数列已知数列aan n 满足满足a a1 1=-2,=-2,且且a an+1n+1=3a=3an n+6,+6,则则a an n=_.=_.【解析解析】由由a an+1n+1=3a=3an n+6+6可得可得:a:an+1n+1+3=3 ,+3=3 ,所以所以 是以是以1 1为首项为首项,3,3为公比的等比数列为公比的等比数列,所以所以a an n+3=3+3=3n-1n-1,故故a an n=3 3n-1n-1-3.-3.答案答案:3 3n-1n-1-3-3n(a3
17、)na3第二节等差数列及其前n项和(全国卷5年5考)【知识梳理知识梳理】1.1.等差数列与等差等差数列与等差中项中项(1)(1)定义定义:文字语言文字语言:从从_起起,每一项与它的前一项的每一项与它的前一项的_都都等于等于_一个常数一个常数;第第2 2项项差差同同符号语言符号语言:_(nN:_(nN*,d,d为常数为常数).).(2)(2)等差中项等差中项:若三个数若三个数a,A,ba,A,b组成等差数列组成等差数列,则则_叫做叫做a,ba,b的等差中项的等差中项.a an+1n+1-a-an n=d=dA A2.2.等差数列的通项公式与前等差数列的通项公式与前n n项和公式项和公式(1)(1
18、)通项公式通项公式:a:an n=_.=_.(2)(2)前前n n项和公式项和公式:S:Sn n=_=_.=_=_.a a1 1+(n-1)d+(n-1)d1nn aa21n n1nad2【常用结论常用结论】等差数列的性质等差数列的性质:(1)(1)在等差数列在等差数列aan n 中中,a,an n=a=am m+(n-m)d.+(n-m)d.(2)(2)已知等差数列已知等差数列aan n,若若m+n=p+q(m,n,p,qNm+n=p+q(m,n,p,qN*),),则则a an n+a+am m=a=ap p+a+aq q.(3)(3)若若aan n 是等差数列是等差数列,公差为公差为d,d
19、,则则a ak k,a,ak+mk+m,a,ak+2mk+2m,(k,mN(k,mN*)是公差为是公差为mdmd的等差数列的等差数列.(4)(4)若若S Sn n为等差数列为等差数列aan n 的前的前n n项和项和,则数列则数列S Sm m,S,S2m2m-S-Sm m,S S3m3m-S-S2m2m,也是等差数列也是等差数列.【基础自测基础自测】题组一题组一:走出误区走出误区1.1.判断正误判断正误(正确的打正确的打“”“”错误的打错误的打“”)”)(1)(1)等差数列等差数列aan n 的单调性是由公差的单调性是由公差d d决定的决定的.()(2)(2)若若aan n 是等差数列是等差数
20、列,公差为公差为d,d,则数列则数列aa3n3n 也是等差也是等差数列数列.()(3)(3)若若aan n,b,bn n 都是等差数列都是等差数列,则数列则数列papan n+qb+qbn n 也是等也是等差数列差数列.()(4)(4)等差数列的前等差数列的前n n项和公式是关于项和公式是关于n n的二次函数的二次函数,若一若一个数列的前个数列的前n n项和为二次函数项和为二次函数,则该数列为等差数列则该数列为等差数列.()提示提示:(1).(1).因为在等差数列因为在等差数列aan n 中中,当公差当公差d0d0时时,该该数列是递增数列数列是递增数列,当公差当公差d0d0,0,则则S Sn
21、n中最大的是中最大的是()A.SA.S6 6B.SB.S7 7C.SC.S8 8D.SD.S1515 【解析解析】选选B.B.由由S S5 5=S=S9 9,得得a a6 6+a+a7 7+a+a8 8+a+a9 9=2(a=2(a7 7+a+a8 8)=0,)=0,由由a a1 100知知,a,a7 70,a0,a8 80,9),30(n9),若若S Sn n=336,=336,则则n n的值为的值为()A.18A.18B.19B.19C.20C.20D.21D.21n4a【解析解析】选选D.D.因为因为aan n 是等差数列是等差数列,所以所以S S9 9=9a=9a5 5=18,a=18
22、,a5 5=2,=2,S Sn n=32=16n=336,32=16n=336,解得解得n=21.n=21.5n41nn(aa)n(aa)n2223.3.已知已知S Sn n是等差数列是等差数列aan n 的前的前n n项和项和,且且S S6 6SS7 7SS5 5,给出下给出下列五个命题列五个命题:d0;d0;0;S S12120;0;数列数列SSn n 中的最中的最大项为大项为S S1111;|a|a6 6|a|a7 7|,|,其中正确命题的个数为其中正确命题的个数为 ()A.2A.2B.3B.3C.4C.4D.5D.5【解析解析】选选C.C.因为因为S S7 7-S-S6 60,S0,0
23、,所以所以d=ad=a7 7-a-a6 60,0,0,正确正确;S S7 7-S-S5 5=a=a6 6+a+a7 70,S0,S1212=6 0,=6 0,正确正确;因因为为a a6 60,a0,a7 70,00a a6 6-a-a7 7,即即 ,正确正确.11111 aa211212(aa)267(aa)67|a|a|思想方法系列思想方法系列1010等差数列前等差数列前n n项和最值中的函数思项和最值中的函数思想想【思想诠释思想诠释】因为数列是特殊的函数关系因为数列是特殊的函数关系,因此常利因此常利用函数的思想解决数列中最值问题用函数的思想解决数列中最值问题.在求解等差数列前在求解等差数列
24、前n n项和的最值问题时项和的最值问题时,应注意以下三点应注意以下三点:(1)(1)等差数列的前等差数列的前n n项和与函数的关系项和与函数的关系;(2)S(2)Sn n是关于是关于n n的二次函数的二次函数,(n,S,(n,Sn n)在二次函数在二次函数y=Axy=Ax2 2+Bx+Bx的图象上的图象上,为抛物线为抛物线y=Axy=Ax2 2+Bx+Bx上一群孤立的点上一群孤立的点;(3)(3)注意注意n n为正整数以及抛物线的开口方向为正整数以及抛物线的开口方向.【典例典例】已知数列已知数列aan n 是一个等差数列是一个等差数列,且且a a2 2=1,a=1,a5 5=-5.=-5.(1
25、)(1)求求aan n 的通项公式的通项公式a an n.(2)(2)求求aan n 前前n n项和项和S Sn n的最大值的最大值.【解析解析】(1)(1)根据等差数列通项公式根据等差数列通项公式a an n=a=a1 1+(n-1)d+(n-1)d变形变形有有a an n=a=am m+(n-m)d,+(n-m)d,则公差则公差d=,d=,所以所以d=d=-2,=-2,所以通项公式所以通项公式a an n=a=a2 2+(n-2)d=1+(n-2)+(n-2)d=1+(n-2)(-2)=(-2)=-2n+5.-2n+5.nmaanm52aa5 15252(2)(2)根据等差数列前根据等差数
26、列前n n项和公式项和公式S Sn n=na=na1 1+有有S Sn n=3n+=3n+(-2)=-n(-2)=-n2 2+4n,+4n,配方得配方得S Sn n=-(n-2)-(n-2)2 2+4,+4,根据二次函数图象及性质可知根据二次函数图象及性质可知,当当n=2n=2时时,前前n n项和取得最大值项和取得最大值,最大值为最大值为4.4.1nn aa2n(n 1)d2n(n 1)d2【技法点拨技法点拨】求等差数列前求等差数列前n n项和的最值的方法项和的最值的方法(1)(1)二次函数法二次函数法:用求二次函数最值的方法用求二次函数最值的方法(配方法配方法)求求其前其前n n项和的最值项
27、和的最值,但要注意但要注意nNnN*.(2)(2)图象法图象法:利用二次函数图象的对称性来确定利用二次函数图象的对称性来确定n n的值的值,使使S Sn n取得最值取得最值.(3)(3)项的符号法项的符号法:当当a a1 10,d0,d0时时,满足满足 的项数的项数n,n,使使S Sn n取最大值取最大值;当当a a1 100时时,满足满足 的项数的项数n,n,使使S Sn n取最小值取最小值,即正项变负项处最大即正项变负项处最大,负项变正项处最负项变正项处最小小,若有零项若有零项,则使则使S Sn n取最值的取最值的n n有两个有两个.nn1a0a0，nn1a0a0，【即时训练即时训练】在等
28、差数列在等差数列aan n 中中,a,a1 1=29,S=29,S1010=S=S2020,则数列则数列aan n 的前的前n n项项和和S Sn n的最大值为的最大值为()A.SA.S1515B.SB.S1616C.SC.S1515或或S S1616 D.SD.S1717【解析解析】选选A.A.设设aan n 的公差为的公差为d,d,因为因为a a1 1=29,S=29,S1010=S=S2020,所以所以10a10a1 1+=20a+=20a1 1+,+,解得解得d=-2,d=-2,所以所以S Sn n=29n+=29n+(-2)=-n(-2)=-n2 2+30n+30n=-(n-15)=
29、-(n-15)2 2+225.+225.所以当所以当n=15n=15时时,S,Sn n取得最大值取得最大值.10 9d220 19d2n(n 12）第三节等比数列及其前n项和(全国卷5年5考)【知识梳理知识梳理】1.1.等比数列定义与等比等比数列定义与等比中项中项(1)(1)定义定义:文字语言文字语言:从从_起起,每一项与它的前一项的每一项与它的前一项的_都都等于等于_一个常数一个常数;第第2 2项项比比同同符号语言符号语言:_(nN:_(nN*,q,q为非零常数为非零常数).).(2)(2)等比中项等比中项:如果如果a,G,ba,G,b成成等比数列等比数列,那么那么_叫做叫做a a与与b b
30、的等比中项的等比中项.即即:G:G是是a a与与b b的等比中项的等比中项a,G,ba,G,b成等比数成等比数列列G G2 2=_.=_.n 1naqaG Gabab2.2.等比数列的通项公式及前等比数列的通项公式及前n n项和公式项和公式(1)(1)通项公式通项公式:a:an n=_.=_.(2)(2)前前n n项和公式项和公式:S:Sn n=_q1_q1.，a a1 1q qn-1n-11nan1a 1 q1 q1naa q1 q【常用结论常用结论】1.1.在等比数列在等比数列aan n 中中,a,an n=a=am mq qn-mn-m.2.2.在等比数列在等比数列aan n 中中,若若
31、m+n=p+q(m,n,p,qNm+n=p+q(m,n,p,qN*),),则则a an na am m=a=ap pa aq q.3.3.若若aan n 是公比为是公比为q q的等比数列的等比数列,则则a ak k,(k,mN(k,mN*)是公比为是公比为q qm m的等比数列的等比数列.kmk2maa,，4.4.若若S Sn n是公比为是公比为q(q-1)q(q-1)的等比数列的等比数列aan n 的前的前n n项和项和,则则S Sn n,S,S2n2n-S-Sn n,S,S3n3n-S-S2n2n,是公比为是公比为q qn n的等比数列的等比数列.【基础自测基础自测】题组一题组一:走出误区
32、走出误区1.1.判断正误判断正误(正确的打正确的打“”“”,错误的打错误的打“”)”)(1)(1)等比数列等比数列aan n 的公比的公比q1,q1,则该数列单调递增则该数列单调递增.()(2)(2)数列数列aan n,b,bn n 都是等比数列都是等比数列,则数列则数列aan nb bn n,仍仍然是等比数列然是等比数列.()(3)(3)数列数列aan n 的通项的通项a an n=a=an n,则其前则其前n n项和为项和为S Sn n=()(4)(4)设设S Sn n是等比数列是等比数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,则则S Sn n,S,S2n2n-S-Sn n,S
33、 S3n3n-S-S2n2n是等比数列是等比数列.()nnabna 1 a.1 a提示提示:(1)(1).在等比数列在等比数列aan n 中中,若公比若公比q1,q1,当当a a1 100时时,该数列为递增数列该数列为递增数列,a,a1 100),0),则则a an n=()A.10A.10n-2n-2B.10B.10n-1n-12nan1n122C.10 D.2【解析解析】选选D.D.因为数列因为数列aan n 满足满足a a1 1=2,a=2,an+1n+1=(a=(an n0),0),所以所以loglog2 2a an+1n+1=2log=2log2 2a an n,即即 =2,=2,所
34、以数列所以数列loglog2 2a an n 是公比为是公比为2 2的等比数列的等比数列,所以所以loglog2 2a an n=log=log2 2a a1 12 2n-1n-1,即即a an n=.=.2na2n 12nlog alog an 122题组二题组二:走进教材走进教材1.(1.(必修必修5P53 5P53 练习练习T3T3改编改编)对任意等比数列对任意等比数列aan n,下列下列说法一定正确的是说法一定正确的是()A.aA.a1 1,a,a3 3,a,a9 9成等比数列成等比数列B.aB.a2 2,a,a3 3,a,a6 6成等比数列成等比数列C.aC.a2 2,a,a4 4,
35、a,a8 8成等比数列成等比数列D.aD.a3 3,a,a6 6,a,a9 9成等比数列成等比数列【解析解析】选选D.D.因为数列因为数列aan n 为等比数列为等比数列,设其公比为设其公比为q,q,则则a a3 3a a9 9=a=a1 1q q2 2a a1 1q q8 8=所以所以a a3 3,a,a6 6,a,a9 9一定成等比数列一定成等比数列.52216(a q)a,g2.(2.(必修必修5P53 5P53 习题习题T1T1改编改编)已知等比数列已知等比数列aan n 的前的前n n项项和为和为S Sn n,且且a a1 1+a+a3 3=,a=,a2 2+a+a4 4=,=,则则
36、q=q=()A.A.B.4B.4C.2C.2D.D.54521214【解析解析】选选C.C.由等比数列可得由等比数列可得,a,a2 2+a+a4 4=q=q=q=q=,=,解得解得q=2.q=2.545213(aa)考点一等比数列的基本运算考点一等比数列的基本运算【题组练透题组练透】1.1.已知各项均为正数的等比数列已知各项均为正数的等比数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,且且S S3 3=14,a=14,a3 3=8,=8,则则a a6 6等于等于()A.16A.16B.32B.32C.64C.64D.128D.128【解析解析】选选C.C.因为因为S S3 3=14,a
37、=14,a3 3=8,=8,所以所以q1,q1,所以所以 ,解得解得a a1 1=2,q=2,=2,q=2,所以所以a a6 6=a=a1 1q q5 5=2=232=64.32=64.3121a(1q)141qa q82.2.已知等比数列已知等比数列aan n 满足满足a a1 1=3,a=3,a1 1+a+a3 3+a+a5 5=21,=21,则则a a3 3+a+a5 5+a a7 7=()A.21A.21B.42B.42C.63C.63D.84D.84【解析解析】选选B.B.设数列设数列aan n 的公比为的公比为q,q,则则a a1 1(1+q(1+q2 2+q+q4 4)=21,)
38、=21,又又a a1 1=3,=3,所以所以q q4 4+q+q2 2-6=0,-6=0,所以所以q q2 2=2(q=2(q2 2=-3=-3舍去舍去),),所以所以a a3 3=6,a=6,a5 5=12,a=12,a7 7=24,=24,所以所以a a3 3+a+a5 5+a+a7 7=42.=42.3.3.已知数列已知数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,a,a1 1=1,S=1,Sn n=2a=2an+1n+1,则则S Sn n=()A.2A.2n-1n-1B.B.C.C.D.D.n112n12()3n13()2【解析解析】选选D.D.因为因为a an+1n+1=S
39、=Sn+1n+1-S-Sn n,所以所以S Sn n=2a=2an+1n+1=2(S=2(Sn+1n+1-S-Sn n),),所以所以 所以数列所以数列SSn n 是以是以S S1 1=a=a1 1=1=1为首项为首项,为公比的等比数为公比的等比数列列,所以所以S Sn n=n1nS3S2，n13().2324.4.已知已知S Sn n是等比数列是等比数列aan n 的前的前n n项和项和,若存在若存在mNmN*,满足满足 则数列则数列aan n 的公比为的公比为()A.-2A.-2B.2B.2C.-3C.-3D.3D.32m2mmmSa5m 19Sam 1，【解析解析】选选B.B.设公比为设
40、公比为q,q,若若q=1,q=1,则则 =2,=2,与题中条件与题中条件矛盾矛盾,故故q1.q1.因为因为 =q=qm m+1=9,+1=9,所以所以q qm m=8.=8.所以所以 所以所以m=3,m=3,所以所以q q3 3=8,=8,所以所以q=2.q=2.2mmSS2m12mm1ma(1q)S1qa(1q)S1q2m1m2m1m1m1aa q5m 1q8aa qm 1，【易错警示易错警示】解答本题易出现以下两种错误解答本题易出现以下两种错误:一是不考一是不考虑公比等于虑公比等于1 1的情况的情况,二是不善于运用整体代换思想简二是不善于运用整体代换思想简化运算过程化运算过程.5.(201
41、75.(2017全国卷全国卷)设等比数列设等比数列aan n 满足满足a a1 1+a+a2 2=-1,=-1,a a1 1-a-a3 3=-3,=-3,则则a a4 4=_.=_.【解析解析】由题意可得由题意可得:则则a a4 4=a=a1 1q q3 3=-8.=-8.答案答案:-8-81121a 1q1a1 q2a 1q3（），解得：，（），6.(20186.(2018全国卷全国卷)记记S Sn n为数列为数列aan n 的前的前n n项和项和.若若S Sn n=2a=2an n+1,+1,则则S S6 6=_.=_.【解析解析】依题意依题意,作差得作差得a an+1n+1=2a=2an
42、 n,所以数列所以数列aan n 是公比为是公比为2 2的等比数列的等比数列,又因为又因为a a1 1=S=S1 1=2a=2a1 1+1,+1,所以所以a a1 1=-1,=-1,所以所以a an n=-2=-2n-1n-1,所以所以S S6 6=-63.=-63.答案答案:-63-63nnn 1n 1S2a1,S2a1,61(1 2)1 2g【规律方法规律方法】解决等比数列问题的常用思想方法解决等比数列问题的常用思想方法(1)(1)方程的思想方程的思想:等比数列中有五个量等比数列中有五个量a a1 1,n,q,a,n,q,an n,S,Sn n,一一般可以般可以“知三求二知三求二”,通过列
43、方程通过列方程(组组)求关键量求关键量a a1 1和和q,q,问题可迎刃而解问题可迎刃而解.(2)(2)分类讨论的思想分类讨论的思想:等比数列的前等比数列的前n n项和公式涉及对公项和公式涉及对公比比q q的分类讨论的分类讨论,当当q=1q=1时时,a,an n 的前的前n n项和项和S Sn n=na=na1 1;当当q1q1时时,a,an n 的前的前n n项和项和S Sn n=n1a 1 q.1 q考点二等比数列的判断与证明考点二等比数列的判断与证明【典例典例】(1)(1)已知数列已知数列aan n 中中,a,a1 1=1,=1,若若a an n=2a=2an-1n-1+1(n2),+1
44、(n2),则则a a5 5的值是的值是_._.(2)(2)已知数列已知数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n,a,a1 1=1,S=1,Sn+1n+1=4a=4an n+2(nN+2(nN*),),若若b bn n=a=an+1n+1-2a-2an n,求证求证:b:bn n 是等比数列是等比数列.【解析解析】(1)(1)因为因为a an n=2a=2an-1n-1+1,+1,所以所以a an n+1=2(a+1=2(an-1n-1+1),+1),所以所以 =2,=2,又又a a1 1=1,=1,所以所以aan n+1+1是以是以2 2为首项为首项,2,2为公比的等比数列为公比的等
45、比数列,即即a an n+1=2+1=22 2n-1n-1=2=2n n,所以所以a a5 5+1=2+1=25 5,即即a a5 5=31.=31.答案答案:3131nn1a1a1(2)(2)因为因为a an+2n+2=S=Sn+2n+2-S-Sn+1n+1=4a=4an+1n+1+2-4a+2-4an n-2=4a-2=4an+1n+1-4a-4an n,所以所以 =2.=2.n 1n 2n 1n 1nn 1nn 1nn 1nba2a4a4a2aba2aa2an 1nn 1n2a4a a2a因为因为S S2 2=a=a1 1+a+a2 2=4a=4a1 1+2,+2,所以所以a a2 2=
46、5.=5.所以所以b b1 1=a=a2 2-2a-2a1 1=3.=3.所以数列所以数列bbn n 是首项为是首项为3,3,公比为公比为2 2的等比数列的等比数列.【互动探究互动探究】1.1.若本例若本例(2)(2)中的条件不变中的条件不变,试求试求aan n 的的通项公式通项公式.【解析解析】由由(2)(2)知知b bn n=a=an+1n+1-2a-2an n=3=32 2n-1n-1,所以所以 故故 是首项为是首项为 ,公差为公差为 的等差数列的等差数列.所以所以 =+(n-1)=+(n-1)=,=,所以所以a an n=(3n-1)=(3n-1)2 2n-2n-2.n 1nn 1na
47、a3224，nna21234nna212343n142.2.在本例在本例(2)(2)中中,若若c cn n=,=,证明证明:数列数列ccn n 为等比数列为等比数列.【证明证明】由由 互动探究互动探究11知知,a,an n=(3n-1)=(3n-1)2 2n-2n-2,所以所以c cn n=2=2n-2n-2.所以所以 =2.=2.又又c c1 1=所以数列所以数列ccn n 是首项为是首项为 ,公比为公比为2 2的等比数列的等比数列.n1n 1n2nc2c21a13 1 12 ，12na3n1【规律方法规律方法】1.1.等比数列的判定方法等比数列的判定方法(1)(1)定义法定义法:对于数列对
48、于数列aan n,若若 =q(q0),=q(q0),则数列则数列aan n 是等比数列是等比数列.(2)(2)等比中项等比中项:对于数列对于数列aan n,若若a an na an+2n+2=,=,则数列则数列aan n 是等比数列是等比数列.n 1naa2n 1a(3)(3)通项公式法通项公式法:a:an n=cq=cqn n(c,q(c,q均是不为均是不为0 0的常数的常数,nNnN*)aan n 是等比数列是等比数列.2.2.证明某数列不是等比数列证明某数列不是等比数列若证明某数列不是等比数列若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项则只要证明存在连续三项不成等比数列即可不成等比数
49、列即可.【对点训练对点训练】(2018(2018郑州模拟郑州模拟)已知数列已知数列aan n 满足满足a a1 1a a2 2a a3 3aan n=(nN(nN*),),且对任意且对任意nNnN*都有都有 t,t,则实数则实数t t的取值范围为的取值范围为()22n12n111aaa 11A.()B.)3322C.()D.)33 ，【解析解析】选选D.D.因为数列因为数列aan n 满足满足a a1 1a a2 2a a3 3aan n=,=,所以所以n=1n=1时时,a,a1 1=2,=2,当当n2n2时时,a,a1 1a a2 2a a3 3aan-1n-1=,=,可可得得:a:an n
50、=,=,所以所以 当当n=1n=1时时,也适合也适合a an n=2=22n-12n-1,数列数列 为等比数列为等比数列,首项为首项为 ,公比为公比为 ,所以所以 22n22(n1)2n122n1n11,a2n1a1214nn12n11(1)11121224(1)1aaa34314 ，因为对任意因为对任意nNnN*都有都有 t,0,2.a,b0,若若a,ba,b为常数为常数,则则a+ba+b有最小值有最小值2 ,2 ,当且仅当当且仅当a=ba=b时时,取得最小值取得最小值.ab【对点练对点练找规律找规律】1.1.在等比数列在等比数列aan n 中中,a,a2 2a a3 3a a4 4=8,a
