1、第一节第一节 圆的基本性质圆的基本性质 (10年年15考；每年考；每年12道，其中道，其中14题和题和25题涉及辅助圆题涉及辅助圆5次；次；310分分)目 录玩转陕西玩转陕西10年中考真题、副题年中考真题、副题考点特训营考点特训营核心素养提升核心素养提升玩转陕西玩转陕西10年中考真题、副题年中考真题、副题 与垂径定理及其推论有关的计算与垂径定理及其推论有关的计算（10年年2考：考：2012.9，2010.14）命题点命题点1满分技法满分技法在求有关弦长，圆心到弦的距离、半径等问题时，通常运用垂径定理及其推论，构造在求有关弦长，圆心到弦的距离、半径等问题时，通常运用垂径定理及其推论，构造以半径、
2、半弦、弦心距为边的直角三角形，利用勾股定理知识求解；上述三个量中，以半径、半弦、弦心距为边的直角三角形，利用勾股定理知识求解；上述三个量中，只有一个量已知，则可考虑设未知数，然后利用勾股定理列出方程求解只有一个量已知，则可考虑设未知数，然后利用勾股定理列出方程求解1.(2012陕西陕西9题题3分分)如图，在半径为如图，在半径为5的的O中，中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为是互相垂直的两条弦，垂足为P，且，且ABCD8，则，则OP的长为的长为()A.3 B.4 C.3 D.4第1题图22第2题图2.(2010陕西陕西14题题3分分)如图是一条水平铺设的直径为如图是一条水平铺设的直径为2米的
3、通水管道横截面，其水面宽米的通水管道横截面，其水面宽为为1.6米，则这条管道中此时水最深为米，则这条管道中此时水最深为_米米C0.4 与圆周角定理及其推论有关的计算与圆周角定理及其推论有关的计算（10年年3考：考：2019、2018、2010.9）命题点命题点2满分技法满分技法利用圆周角定理在解答具体问题时，找准同弧所对的圆周角及圆心角，然后利用圆周利用圆周角定理在解答具体问题时，找准同弧所对的圆周角及圆心角，然后利用圆周角定理进行角度的相关计算，常作的辅助线有：已知直径，作其所对的圆周角；已知角定理进行角度的相关计算，常作的辅助线有：已知直径，作其所对的圆周角；已知90圆周角作其所对弦，即直
4、径同圆的半径相等，有时还需要连接半径，用它来构圆周角作其所对弦，即直径同圆的半径相等，有时还需要连接半径，用它来构造等腰三角形，有了等腰三角形，再利用等边对等角以及造等腰三角形，有了等腰三角形，再利用等边对等角以及“三线合一三线合一”的性质来进行的性质来进行计算计算3.(2018陕西陕西9题题3分分)如图，如图，ABC是是O的内接三角形，的内接三角形，ABAC，BCA65，作，作CDAB，并与，并与O相交于点相交于点D，连接，连接BD，则，则DBC的大小为的大小为()A.15 B.35 C.25 D.45第3题图第4题图4.(2019陕西陕西9题题3分分)如图，如图，AB是是O的直径，的直径，
5、EF、EB是是O的弦，且的弦，且EFEB，EF与与AB交于点交于点C，连接，连接OF.若若AOF40，则，则F的度数是的度数是()A.20 B.35 C.40 D.55AB5.(2017陕西副题陕西副题9题题3分分)如图，矩形如图，矩形ABCD内接于内接于O，点，点P是是 上一点，连接上一点，连接PB、PC，若，若AD2AB，则，则sinBPC的值为的值为()A.B.C.D.AD55552231053B第5题图第6题图6.(2010陕西陕西9题题3分分)如图，点如图，点A、B、P在在O上，且上，且APB50，若点，若点M是是O上的上的动点，要使动点，要使ABM为等腰三角形，则所有符合条件的点为
6、等腰三角形，则所有符合条件的点M有有()A.1个个 B.2个个 C.3个个 D.4个个D拓展训练拓展训练7.(2019陕西定心卷陕西定心卷)如图，如图，AC是是O的直径，的直径，BD与与AC交于点交于点E，连接，连接AB、AD、CD.若若ADBD，CAD15，则，则tanADB的值为的值为()A.B.C.1 D.33223第7题图A 圆周角定理及其推论与垂径定理结合的相关计算圆周角定理及其推论与垂径定理结合的相关计算（1010年年2 2考考）命题点命题点38.(2016陕西陕西9题题3分分)如图，如图，O的半径为的半径为4，ABC是是O的内接三角形，连接的内接三角形，连接OB、OC，若若BAC
7、与与BOC互补，则弦互补，则弦BC的长为的长为()A.3 B.4 C.5 D.63333第8题图第9题图9.(2016陕西副题陕西副题9题题3分分)如图，在如图，在O中，弦中，弦AB垂直平分半径垂直平分半径OC，垂足为，垂足为D.若点若点P是是O上异于点上异于点A、B的任意一点，则的任意一点，则APB()A30或或60 B60或或150 C30或或150 D60或或120BD10.(2013陕西副题陕西副题9题题3分分)如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AB3.4，BC5，以，以BC为直径作半为直径作半圆圆O，点，点P是半圆是半圆O上的一点若上的一点若PB4，则点，则点P到到AD的距离为
8、的距离为()A.B1 C.D.545658第10题图第11题图11.(2017陕西陕西9题题3分分)如图，如图，ABC是是O的内接三角形，的内接三角形，C30，O的半径为的半径为5.若点若点P是是O上的一点，在上的一点，在ABP中，中，PBAB，则，则PA的长为的长为()A.5 B.C.5 D.523523BD12.(2019陕西副题陕西副题9题题3分分)如图，如图，O的半径为的半径为5，ABC内接于内接于O，且，且BC8，ABAC，点，点D在在 上若上若AODBAC，则，则CD的长为的长为()A.5 B.6 C.7 D.8AC第12题图第13题图拓展训练拓展训练13.如图，如图，AB是是O的
9、直径，弦的直径，弦CDAB于点于点E，连接，连接AC，若，若A22.5，AB4 ，则则CD的长为的长为()A.2 B.4 C.2 D.3222BB 圆内接四边形圆内接四边形（2018副题新增考查点副题新增考查点）命题点命题点4第14题图14.(2018陕西副题陕西副题9题题3分分)如图，四边形如图，四边形ABCD是是O的内接四边形，的内接四边形，ADBC.若若BAC45，B75，则下列等式成立的是，则下列等式成立的是()A.AB2CDB.AB CDC.AB CDD.AB CD2332B 圆中最值问题圆中最值问题（10年单独考查年单独考查3次：次：20132015.16；另外在填空；另外在填空
10、压轴题和解答压轴题考查辅助圆压轴题和解答压轴题考查辅助圆5次，且近次，且近4年连续考查，详见本节后年连续考查，详见本节后 微专题微专题）命题点命题点415.(2015陕西陕西14题题3分分)如图，如图，AB是是O的弦，的弦，AB6，点，点C是是O上的一个动点，且上的一个动点，且ACB45.若点若点M、N分别是分别是AB、BC的中点，则的中点，则MN长的最大值是长的最大值是_第15题图16.(2013陕西陕西16题题3分分)如图，如图，AB是是O的一条弦，点的一条弦，点C是是O上一动点，且上一动点，且ACB30，点，点E、F分别是分别是AC、BC的中点，直线的中点，直线EF与与O交于交于G、H两
11、点若两点若O的半径的半径为为7，则，则GEFH的最大值为的最大值为_第16题图第17题图17.(2014陕西陕西16题题3分分)如图，如图，O的半径是的半径是2.直线直线l与与O相交于相交于A、B两点，两点，M、N是是O上的两个动点，且在直线上的两个动点，且在直线l的异侧若的异侧若AMB45，则四边形，则四边形MANB面积的最大面积的最大值是值是_10.518.(2014陕西副题陕西副题16题题3分分)已知已知O的半径为的半径为5，P是是 O内的一点，且内的一点，且OP3.若过点若过点P任作一直线交任作一直线交 O于于A、B两点，则两点，则AOB周长的最小值为周长的最小值为_.18 考点特训营
12、考点特训营【教材链接】北师：【教材链接】北师：九下第三章九下第三章P64P88；人教：人教：九上第二十四章九上第二十四章P79P91、P105P110.圆的基本性质三角形的外接圆性质圆周角定理及其推论定理推论圆与多边形圆内接多边形正多边形和圆弦、弧、圆心角的关系定理推论垂径定理及其推论定理推论垂径定理与推论的延伸考点精讲考点精讲性质：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对性质：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对 称轴，称轴，是它的对称中心是它的对称中心垂径垂径定理定理及其及其推论推论定理：垂直于弦的直径定理：垂直于弦的直径 弦，并
13、且弦，并且 弦所对的两条弧弦所对的两条弧推论推论1.平分弦（不是直径）的直径平分弦（不是直径）的直径 于弦，并且于弦，并且 弦所对的两条弧弦所对的两条弧2.弦的垂直平分线经过弦的垂直平分线经过 ，并且，并且 弦所对的两条弧弦所对的两条弧3.平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧4.在同圆或者等圆中，圆的两条平行弦所夹的弧相等在同圆或者等圆中，圆的两条平行弦所夹的弧相等圆心圆心平分平分平分平分垂直垂直平分平分圆心圆心平分平分返回思维导图返回思维导图垂径垂径定理定理及其及其推论推论垂径定理与推论的延伸：根据圆的对称性
14、，如图所示，在以下五个结论中：垂径定理与推论的延伸：根据圆的对称性，如图所示，在以下五个结论中：（1）；（；（2）=；（；（3）AE=；（4）ABCD；（；（5）CD是直径是直径.只要满足其中的两个结论，另外三个结论一定成立，即知二推三只要满足其中的两个结论，另外三个结论一定成立，即知二推三DBAC2.弧的度数等于它所对圆心角的度数弧的度数等于它所对圆心角的度数弦、弦、弧、弧、圆心圆心角的角的关系关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦也，所对的弦也 .推论推论1.在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它在同圆或等
15、圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它 们所对应的其余各组量都分别相等们所对应的其余各组量都分别相等CBADBE相等相等相等相等返回思维导图返回思维导图圆周圆周角定角定理及理及其推其推论论定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的 的一半的一半推论推论1.同弧或等弧所对的圆周角相等同弧或等弧所对的圆周角相等2.半圆（或直径）所对的圆周角是半圆（或直径）所对的圆周角是 ，90的圆周角所对的弦是的圆周角所对的弦是 .圆圆与与多多边边形形圆内接多边形圆内接多边形1.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆
16、内这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆2.圆内接四边形的对角圆内接四边形的对角 ，即，即B+D=.3.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角，即圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角，即DCE=.圆心角圆心角直角直角直径直径互补互补180A返回思维导图返回思维导图圆圆与与多多边边形形正正多多边边形形和和圆圆名称名称公式公式图例图例内角内角=正正n边形的每个内角为边形的每个内角为180（n-2）n180-360n外角外角正正n边形的每个外角为边形的每个外角为 .中心角中心角 正正n边形的每个中心角边形的每个中心角为为 .边心距边心距 正正n边
17、形的边心距边形的边心距r=22)2(aR 周长周长正正n边形的周长边形的周长lna面积面积正正n边形的面积边形的面积S rl(l为正为正n边形的周长边形的周长)R：半径：半径r：边心距：边心距a：边长：边长：中心角：中心角n360n36012返回思维导图返回思维导图定义：经过三角形三个顶点的圆定义：经过三角形三个顶点的圆,示意图：示意图：圆心圆心O：外心：外心(三角形外接圆圆心或三角形三条边的三角形外接圆圆心或三角形三条边的 线的线的交点交点)（尺规作图常用）（尺规作图常用）性质：三角形的外心到三角形的性质：三角形的外心到三角形的 的距离相等的距离相等角度关系：角度关系：BOC=2A三角形的三
18、角形的外接圆外接圆垂直平分垂直平分三个顶点三个顶点返回思维导图返回思维导图重难点突破重难点突破一、与垂径定理、圆周角定理及其推论相关的计算一、与垂径定理、圆周角定理及其推论相关的计算练习练习1如图，点如图，点A，B，C在在O上，上，CO的延长线交的延长线交AB于点于点D，BDBO，A 50，则，则B的度数为的度数为()A.15B.20C.25D.30练习练习1题图题图B练习练习2如图，如图，O为为ABC的外接圆，的外接圆，D为为 的中点，的中点，E为为AB的中点，若的中点，若DE1，C45，则，则O的半径为的半径为()A.2 B.3 C.2 D.32222练习练习2题图题图练习练习3(2019
19、陕师大附中模拟陕师大附中模拟)如图，如图，O的直径的直径AB的长为的长为10，弦，弦AC长为长为6，ACB的的 平分线交平分线交O于点于点D，则，则CD长为长为()A.7 B.7 C.8 D.922CBAB练习练习3题图题图二、圆内接四边形相关计算二、圆内接四边形相关计算练习练习4如图，四边形如图，四边形ABCD为为O的内接四边形，的内接四边形，O的半径为的半径为3，AOBC，垂足为，垂足为 E，若，若ADC120，则，则BC的长等于的长等于()A.3 B.C.2 D.332333练习练习4题图题图D模型分析模型分析注：注：本专题用到切线的知识详见本章第二节本专题用到切线的知识详见本章第二节“
20、考点精讲考点精讲”模型一定点定长作圆模型一定点定长作圆平面内，点平面内，点A为定点，点为定点，点B为动点，且为动点，且AB长度固定，则点长度固定，则点B的轨迹是以点的轨迹是以点A为圆心，为圆心，AB长为半径的圆长为半径的圆(如图如图)图图推广：推广：如图如图，在四边形，在四边形ABDC中，点中，点E为为AB上一定点，点上一定点，点F为线段为线段BD上一动点上一动点(不与不与点点B重合重合)，将，将BEF沿沿EF折叠得到折叠得到BEF，则点，则点B的运动轨迹是的运动轨迹是E上的一段弧，半上的一段弧，半径为线段径为线段BE.解：解：如解图，点如解图，点A的运动轨迹为的运动轨迹为O，点，点B的运动轨
21、迹为的运动轨迹为C.第1题解图针对训练针对训练1.如图，已知点如图，已知点O及一点及一点C，OC3，点，点A、B分别是平面内的动点，且分别是平面内的动点，且OA2，BC4，请在平面内分别画出点，请在平面内分别画出点A、B的运动轨迹的运动轨迹第1题图第2题图解：解：如解图，点如解图，点A的运动轨迹为以点的运动轨迹为以点E为圆心，为圆心，AE长为半径的长为半径的E的劣弧的劣弧MN上上第2题解图2.如图，已知平行四边形如图，已知平行四边形ABCD，点，点E为为AD边上一点，点边上一点，点F为边为边AB上的动点，将上的动点，将AEF沿沿EF折叠得到折叠得到AEF，请在图中画出点，请在图中画出点A在平行
22、四边形在平行四边形ABCD内内(含边上的含边上的点点)的运动轨迹的运动轨迹3.如图，在如图，在RtABC中，中，ABC90，点，点D在在AC边上运动，将边上运动，将BCD沿沿BD翻折，点翻折，点C的对应点为的对应点为C，在点，在点D从点从点C到点到点A的运动过程中，请你画出点的运动过程中，请你画出点C的运动轨迹的运动轨迹第3题图解：解：如解图，点如解图，点C的运动轨迹在以点的运动轨迹在以点B为圆心，为圆心，BC长为半径的半圆弧长为半径的半圆弧CE上上(不含点不含点C、E)第3题解图模型二点圆最值模型二点圆最值模型分析模型分析平面内一定点平面内一定点D和和O上动点上动点E的连线中，当连线过圆心的
23、连线中，当连线过圆心O时，线段时，线段DE有最大值和最小有最大值和最小值具体分以下三种情况讨论值具体分以下三种情况讨论(规定规定ODd，O半径为半径为r)：(1)当当D点在点在O外时，外时，dr，如图，如图、：当：当D、E、O三点共线时，线段三点共线时，线段DE出现最值，出现最值，DE的最大值为的最大值为dr，DE的最小值为的最小值为dr；(2)当当D点在圆上时，点在圆上时，dr，如图，如图：当：当D、E、O三点共线时，线段三点共线时，线段DE出现最值，出现最值，DE的最大值为的最大值为dr2r(即为即为O的直径的直径)，DE的最小值为的最小值为dr0(点点D、E重合重合)；(3)当当D点在点
24、在O内时，内时，d0且且1时，时，P点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆如图，如图，(0且且1)为固定值，则此时点为固定值，则此时点P的运动轨迹为的运动轨迹为O，此时有，此时有 ，一定会有一定会有OPBOAP.(点点O在在AB的延长线上的延长线上)PAPBPBPAOPOBAOOPPBPA在初中阶段我们不要求能够证明，只要求能够记住这个模型中有这样一对相似三角形，在初中阶段我们不要求能够证明，只要求能够记住这个模型中有这样一对相似三角形，并且能够利用这个固定结论构造这样的相似三角形来解决实际问题即可并且能够利用这个固定结论构造这样的相似三角形来解决实际问题即可针对
25、训练针对训练1.(1)【问题提出】【问题提出】如图如图，在，在RtABC中，中，ACB90，CB4，CA6，C半半径为径为2，P为圆上一动点，连接为圆上一动点，连接AP，BP，求，求AP BP的最小值的最小值12尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图，连接，连接CP，在，在CB上上取点取点D，使，使CD1，则有，则有 ，又，又PCDBCP，PCDBCP，PD BP，AP BPAPPD.12121212CPCDCBCPBPPD请你完成余下的思考，并直接写出答案：请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP BP的最小值为的最小值为
26、_；12(2)【自主探索】【自主探索】在在“问题提出问题提出”的条件不变的情况下，的条件不变的情况下，APBP的最小值为的最小值为_；31(3)【拓展延伸】【拓展延伸】如图如图，已知菱形，已知菱形ABCD的边长为的边长为4，B60，B的半径为的半径为2，P为为 B上一动点，则上一动点，则PD PC的最小值为的最小值为_12第1题图2.如图，点如图，点A、B在在 O上，且上，且OAOB6，且，且OAOB，点，点C是是OA的中点，点的中点，点D在在OB上，且上，且OD4，动点，动点P在在 O上，则上，则2PCPD的最小值为的最小值为_第2题图变式思考：变式思考：(1)本题如要求本题如要求“PC P
27、D”的最小值，你会求吗？请求解；的最小值，你会求吗？请求解；12(2)本题如要求本题如要求“PC PD”的最小值，你会求吗？请求解的最小值，你会求吗？请求解 23第二第二节节 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系 (必考；每年必考；每年1道；道；38分分)目 录玩转陕西玩转陕西10年中考真题、副题年中考真题、副题考点特训营考点特训营核心素养提升核心素养提升玩转陕西玩转陕西10年中考真题、副题年中考真题、副题 与切线有关的证明与计算与切线有关的证明与计算（10年年10考考）【命题解读】【命题解读】题位均为第题位均为第23题，设问均为两问考查形式包含：题，设问均为两问考查形式包含：切线的判定；切线
28、的判定；证证明角相等；明角相等；证明线段相等；证明线段相等；证明线段成比例；证明线段成比例；求角度；求角度；求线段长；求线段长；求三角求三角函数值等函数值等.命题点命题点类型一与相似三角形结合类型一与相似三角形结合(10年年4考考)1.(2019陕西陕西23题题8分分)如图，如图，AC是是O的直径，的直径，AB是是O的一条弦，的一条弦，AP是是O的切的切线作线作BMAB，并与，并与AP交于点交于点M，延长，延长MB交交AC于点于点E，交，交O于点于点D，连接，连接AD.第1题图(1)求证：求证：ABBE；(1)证明证明：AP是是O的切线，的切线，EAM90，BAEMAB90，AEMAME90.
29、(1分分)又又ABBM，MABAMB，BAEAEB，ABBE；(3分分)(2)解解：如解图，连接：如解图，连接BC.AC是是O的直径，的直径，ABC90，在在RtABC中，中，AC10，AB6，BC 8.(5分分)由由(1)知，知，BAEAEB，ABCEAM，CAME，由由(1)知，知，BAEAEB，ABCEAM，CAME，第1题解图(2)若若 O的半径的半径R5，AB6，求，求AD的长的长 AM .又又DC，DAMD.ADAM .(8分分)2.(2016陕西陕西23题题8分分)如图，已知：如图，已知：AB是是O的弦，过点的弦，过点B作作BCAB交交O于点于点C，过，过点点C作作O的切线交的切
30、线交AB的延长线于点的延长线于点D，取，取AD的中点的中点E，过点，过点E作作EFBC交交DC的延长的延长线于点线于点F，连接，连接AF并延长交并延长交BC的延长线于点的延长线于点G.第2题图求证：求证：(1)FCFG；(2)AB2BCBG.证明：证明：(1)如解图，如解图，EFBC，ABBG，EFAD.又又E是是AD的中点，的中点，FAFD，FADD.(2分分)又又GBAB，GABGD190.1G.而而12，2G.FCFG；(4分分)第2题解图(2)如解图，连接如解图，连接AC.ABBG，AC是是O的直径的直径(5分分)又又FD是是O的切线，切点为的切线，切点为C，ACDF.1490.(6分
31、分)又又3490，13.而由而由(1)可知可知1G.3G.ABCGBA.(7分分)故故AB2BCBG.(8分分)3.(2014陕西陕西23题题8分分)如图，如图，O的半径为的半径为4，B是是 O外一点，连接外一点，连接OB，且，且OB6.过点过点B作作 O的切线的切线BD，切点为，切点为D，延长，延长BO交交 O于点于点A，过点，过点A作切线作切线BD的垂线，的垂线，垂足为垂足为C.第3题图(2)求求AC的长的长(1)求证：求证：AD平分平分BAC；第3题解图(1)证明：证明：如解图，连接如解图，连接OD，BD是是O的切线，的切线，D为切点，为切点，OD为为O的半径，的半径，ODBC，(1分分
32、)ACBD，ODAC，32，又又ODOA，13，(3分分)12，AD平分平分BAC.(4分分)4.(2019陕西副题陕西副题23题题8分分)如图，如图，O的半径的半径OA6，过点，过点A作作O的切线的切线AP，且，且AP8，连接，连接PO并延长，与并延长，与O交于点交于点B、D，过点，过点B作作BCOA，并与，并与O交于交于点点C，连接，连接AC、CD.第4题图(1)求证：求证：DCAP；(2)求求AC的长的长(1)证明证明：AP是是O的切线，的切线，OAP90.(1分分)BD是是O的直径，的直径，BCD90.(2分分)OACB，AOPDBC，BDCAPO，DCAP；(3分分)(2)解解：AO
33、BC，ODOB，如解图，延长如解图，延长AO交交DC于点于点E，则则AEDC，OE BC，CE CD.在在RtAOP中，中，OP 10.由由(1)知，知，AOPCBD，第4题解图5.(2015陕西陕西23题题8分分)如图，如图，AB是是O的直径，的直径，AC是是O的弦，过点的弦，过点B作作O的切线的切线DE，与，与AC的延长线交于点的延长线交于点D，作，作AEAC交交DE于点于点E.第5题图(2)若若 O的半径为的半径为5，AC8，求，求BE的长的长(1)求证：求证：BADE；(1)证明：证明：O与与DE相切于点相切于点B，AB为为O直径，直径，ABE90.(1分分)BAEE90.又又DAE9
34、0，BADBAE90.BADE.(3分分)(2)解：解：如解图，连接如解图，连接BC.AB为为O的直径，的直径，ACB90，AC8，AB2510.第5题解图6.(2016陕西副题陕西副题23题题8分分)如图，已知如图，已知O的半径为的半径为5，ABC是是O的内接三角形，的内接三角形，AB8.过点过点B作作O的切线的切线BD，过点，过点A作作ADBD，垂足为，垂足为D.第6题图(1)求证：求证：BADC90；(2)求线段求线段AD的长的长(1)证明：证明：如解图，连接如解图，连接BO并延长交并延长交O于点于点E，连接，连接AE.BD切切O于点于点B，BEBD.(1分分)又又ADBD，ADBE.B
35、AD1.(2分分)又又BE是是O的直径，的直径，1E90.BADE90.(3分分)又又EC，BADC90；(4分分)第6题解图类型二与锐角三角函数结合类型二与锐角三角函数结合(10年年3考考)7.(2011陕西陕西23题题8分分)如图，在如图，在ABC中，中，B60，O是是ABC的外接圆，过的外接圆，过点点A作作O的切线，交的切线，交CO的延长线于点的延长线于点P，CP交交O于点于点D.第7题图(1)求证：求证：APAC；(2)若若AC3，求，求PC的长的长第7题解图(1)证明：证明：如解图，连接如解图，连接AO，则，则AOPA，(1分分)AOC2B120，AOP180AOC60，P90AOP
36、30，(2分分)又又OAOC，ACP AOP30，PACP，APAC；(4分分)(2)解：解：在在RtPAO中，中，P30，APAC3，OAAPtan30 ，PO2OA2 ，(6分分)又又OCOA ，PCPOOC2 3 .(8分分)8.(2013陕西陕西23题题8分分)如图，直线如图，直线l与与 O相切于点相切于点D，过圆心，过圆心O作作EFl交交 O于于E、F两两点，点点，点A是是 O上一点，连接上一点，连接AE、AF，并分别延长交直线，并分别延长交直线l于于B、C两点两点第8题图(1)求证：求证：ABCACB90；(2)当当 O的半径的半径R5，BD12时，求时，求tanACB的值的值(1
37、)证明：证明：EF是是O的直径，的直径，A90，在在ABC中，中，A90，ABCACB90；(3分分)(2)解：解：如解图，连接如解图，连接OD，BD与与O相切于点相切于点D，ODBD，(4分分)过点过点E作作EHBC，垂足为点，垂足为点H，EHOD，第8题解图EFBC，OEOD，四边形四边形EODH是正方形，是正方形，(6分分)EHHDOD5，又又BD12，BHBDHD7，在在RtBEH中，中，tanBEH ，ABCBEH90，ABCACB90，ACBBEH，tanACBtanBEH .(8分分)9.(2017陕西陕西23题题8分分)如图，已知如图，已知O的半径为的半径为5，PA是是O的一条
38、切线，切点为的一条切线，切点为A，连，连接接PO并延长，交并延长，交O于点于点B，过点，过点A作作ACPB交交O于点于点C、交、交PB于点于点D，连接，连接BC.当当P30时时第9题图(1)求弦求弦AC的长；的长；第9题解图(1)解：解：如解图，连接如解图，连接OA，PA是是O的切线，切点为的切线，切点为A，PAO90，P30，AOD60，(2分分)ACPB，PB过圆心，过圆心，ADDC，在在RtODA中，中，ADOAsin60 ，AC2AD5 ；(4分分)(2)求证：求证：BCPA.(2)证明：证明：如解图，连接如解图，连接AB，ACPB，P30，PAC60，BABC，AOD90P60，AB
39、CAOD60，ABC是等边三角形，是等边三角形，(6分分)ACB60PAC.BCPA.(8分分)第9题解图类型三与全等三角形结合类型三与全等三角形结合(2012.23)10.(2012陕西陕西23题题8分分)如图，如图，PA、PB分别与分别与O相切于点相切于点A、B，点，点M在在PB上，且上，且OMAP，MNAP，垂足为，垂足为N.第10题图(1)求证：求证：OMAN；第10题解图(1)证明：证明：如解图，连接如解图，连接OA，则，则OAAP，(1分分)MNAP，MNOA，(2分分)又又OMAP，四边形四边形ANMO是矩形，是矩形，OMAN；(3分分)(2)若若 O的半径为的半径为3，PA9，
40、求，求OM的长的长第10题解图(2)解：解：如解图，连接如解图，连接OB，则，则OBBP，OAMN，OAOB，OMAP，OBMN，OMBNPM，又又OBMMNP90，RtOBMRtMNP(AAS)，(5分分)OMMP，设设OMx，则，则NP9x，(6分分)MNOB3，MPOMx，则则x232(9x)2，解得解得x5，即，即OM5.(8分分)类型四其他类型四其他(2018.23)11.(2018陕西陕西23题题8分分)如图，在如图，在RtABC中，中，ACB90，以斜边，以斜边AB上的中线上的中线CD为直径作为直径作O，分别与，分别与AC、BC相交于点相交于点M、N.第11题图(1)过点过点N作
41、作O的切线的切线NE与与AB相交于点相交于点E，求证：，求证：NEAB；第11题解图证明：证明：(1)如解图，连接如解图，连接ON，NE为为O的切线，的切线，ONNE，D为为AB的中点，的中点，ACB90，ADBDCD，BDCB,(2分分)OCON，ONCOCNB，ONAB，ONNE，NEAB;(4分分)(2)连接连接MD，求证：，求证：MDNB.第11题解图(2)如解图，连接如解图，连接ND，CD为为O 的直径，的直径，DMCDNC90，由由(1)得得BDCD，CNNB，ACB90，四边形四边形CMDN是矩形是矩形,(6分分)MDCN，MDNB.(8分分)12.(2017陕西副题陕西副题23
42、题题8分分)如图，如图，ABC为为O的内接三角形，的内接三角形，ABC的平分线交的平分线交O于点于点D，过点，过点D作作DEAC交交BC的延长线于点的延长线于点E.第12题图(1)求证：求证：DE为为O的切线；的切线；第12题解图(1)证明：证明：如解图，连接如解图，连接OA、OC、OD，其中，其中OD与与AC交于点交于点N.DB平分平分ABC，ABDDBC，AODDOC.ODAC.(3分分)又又DEAC，ODDE.OD为为O半径，半径，DE为为O的切线的切线(5分分)(2)若若DE AC，求，求ACB的大小的大小21(2)解：解：由由(1)知知CN AC.当当DE AC时，时，DE CN.(
43、7分分)四边形四边形NDEC为平行四边形为平行四边形又又ODAC，平行四边形平行四边形NDEC为矩形为矩形ACB90.(8分分)考点特训营考点特训营【教材链接】北师：九下第三章【教材链接】北师：九下第三章P89P96；人教：九上第二十四章人教：九上第二十四章P92P104.与圆有关的位置关系切线的性质与判定切线长定理三角形的内切圆直线与圆的位置关系（设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d）点与圆的位置关系点在圆外点在圆上点在圆内相离相切相交性质判定定理判定方法圆心性质角度关系考点精讲考点精讲(设圆的半径为设圆的半径为r，平面内任，平面内任一点到圆心的距离为一点到圆心的距离为d)点与点与圆的圆的位
44、置位置关系关系点在圆外点在圆外 d r,如右图中点如右图中点A点在圆上点在圆上 d r,如右图中点如右图中点B点点在圆内在圆内 d r,如右图中点如右图中点C返回思维导图返回思维导图直线与直线与圆的位圆的位置关系置关系（设圆（设圆的半径的半径为为r,圆圆心到直心到直线的距线的距离为离为d）位置关系位置关系相离相离相切相切相交相交d与r的关系drdrdr示意图 交点的个数没有公共点有且只有一个公共点有两个公共点数量关系：圆心到切线的距离等于半径数量关系：圆心到切线的距离等于半径位置关系：切线位置关系：切线 于过切点的半径于过切点的半径切线的切线的性质性质垂直垂直返回思维导图返回思维导图直线与圆有
45、公共点，连半径，证垂直直线与圆有公共点，连半径，证垂直直线与圆无公共点，作垂线，证半径直线与圆无公共点，作垂线，证半径切线切线的判的判定定*切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心 的连线平分两条切线的夹角的连线平分两条切线的夹角 如图，过如图，过 O外一点外一点P可引两条切线可引两条切线PA、PB，则，则PA=PB，PO平分平分 APB返回思维导图返回思维导图三角形三角形的内切的内切圆圆定义：与三角形各边都相切的圆定义：与三角形各边都相切的圆示意图：示意图：圆心圆心O:内心内心(三角形的内
46、切圆圆心或三角形三个内角的三角形的内切圆圆心或三角形三个内角的_线的交点线的交点)（尺规作图常用）（尺规作图常用）性质性质:三角形的内心到三角形的三角形的内心到三角形的 的距离相等的距离相等角度关系：角度关系：BOC=90+A21【知识拓展】直角三角形内切圆的半径：【知识拓展】直角三角形内切圆的半径：r=（其中（其中a、b分别为两分别为两直角边长，直角边长，c为斜边长）为斜边长）2abc+-+-角平分角平分三条边三条边返回思维导图返回思维导图重难点突破重难点突破与切线有关的证明与计算与切线有关的证明与计算突破设问一证明线段间的数量关系突破设问一证明线段间的数量关系例例1如图，如图，AB是是O的
47、直径，点的直径，点C在在O上，上，AD平分平分CAB，BD是是O的切线，的切线，AD与与BC相交于点相交于点E.求证：求证：BDBE.【思维教练】【思维教练】要证要证BDBE，根据等边对等角，只需证，根据等边对等角，只需证BEDBDE.已知已知AD平分平分CAB，BD是是O的切线以及的切线以及AB是是O的直径，通过等角的余角相等即可得证的直径，通过等角的余角相等即可得证【自主解答】【自主解答】例1题图证明：证明：BD是是O的切线，的切线，ABD90，DABD90，AB是是O的直径，的直径，ACB90，CAECEA90，AD平分平分CAB，CAEDAB，CEAD，CEADEB，DDEB，BDBE
48、.例例2如图，以如图，以AB为直径的为直径的O外接于外接于ABC，过，过A点的切线点的切线AP与与BC的延长线交于点的延长线交于点P，APB的平分线分别交的平分线分别交AB，AC于点于点D，E.求证：求证：PABDPBAE.【思维教练】【思维教练】要证要证PABDPBAE，可想到利用相似三角形的性质证明，已知，可想到利用相似三角形的性质证明，已知PD是是APB的平分线，可知的平分线，可知APDBPD，已知，已知AB为为O的直径，根据圆周角定理的推的直径，根据圆周角定理的推论，再结合切线的性质进行角的等量代换可知论，再结合切线的性质进行角的等量代换可知PACB，则有，则有PAEPBD.【自主解答
49、】【自主解答】例2题图证明：证明：AP与与O相切，相切，DAP90，即即DAEEAP90，AB是是O直径，直径，ACB90，即即BDAE90，BEAP，又又PD平分平分APB，APDBPD，PAEPBD，PABDPBAE.满分技法满分技法1.证明两线段相等的方法：证明两线段相等的方法：(1)若所证两线段相连不共线，则可以考虑将两条线段放到一个三角形中，利用等腰或若所证两线段相连不共线，则可以考虑将两条线段放到一个三角形中，利用等腰或等边三角形等角对等边来证明；等边三角形等角对等边来证明；(2)若所证两线段相连共线，则可以考虑等腰三角形三线合一或直角三角形斜边上的中若所证两线段相连共线，则可以考
50、虑等腰三角形三线合一或直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来证明；线等于斜边的一半来证明；(3)若所证两线段平行，则可以考虑特殊四边形对边相等来证明若所证两线段平行，则可以考虑特殊四边形对边相等来证明2.遇到证线段间比例关系常考虑证两三角形相似，列比例关系式得出相关结论遇到证线段间比例关系常考虑证两三角形相似，列比例关系式得出相关结论突破设问二证明线段间的位置关系突破设问二证明线段间的位置关系例例3如图，在如图，在ABC中，中，C90，点，点O在在CB上，上，O经过点经过点C，且与，且与AB相切于点相切于点D，与，与CB的另一个交点为的另一个交点为E，连接，连接AO，DE.求证：求证：DEAO
