1、2021新高考数学二轮总复习课件：专题二-2内容索引必备必备知识知识 精要精要梳理梳理关键关键能力能力 学学案突破案突破必备必备知识知识 精要精要梳理梳理1.函数的导数与单调性的关系函数y=f(x)在(a,b)内可导,(1)若f(x)0在(a,b)内恒成立,则f(x)在(a,b)内单调递增;(2)若f(x)0,右侧f(x)0,则f(x0)为函数f(x)的极大值;若在x0附近左侧f(x)0,则f(x0)为函数f(x)的极小值.(2)设函数y=f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,则f(x)在a,b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.(3)若函数f(x)在a,b上单调递增,则f(a)
2、为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在a,b上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.4.两个常用结论(1)ln xx-1;(2)exx+1.5.构造辅助函数的四种方法(1)移项法:不等式f(x)g(x)(f(x)0(f(x)-g(x)0,讨论函数f(x)=ln x+a(1-a)x2-2(1-a)x的单调性.解 f(x)的定义域是(0,+).单调递增.(2)当a1时,g(x)是二次函数,首先讨论f(x)=0是否有实根,方程g(x)=0对应的=4(a-1)(3a-1).由x1与x2的表达式知x10,可得0 xx2,所以f(x)在(0,x1)和(x2,+)上单
3、调递增;由f(x)0,可得x1x1时,有x1+x20且x1x20,此时x200,可得0 xx1,所以f(x)在(0,x1)上单调递增;由f(x)x1,所以f(x)在(x1,+)上单调递减.解题心得对于含参数的函数的单调性的讨论,常见的分类讨论点按讨论的先后顺序有以下三个:分类讨论点1:求导后,考虑f(x)=0是否有实根,从而引起分类讨论;分类讨论点2:求导后,f(x)=0=有实根,但不清楚f(x)=0的实根是否落在定义域内,从而引起分类讨论;分类讨论点3:求导后,f(x)=0=有实根,f(x)=0的实根也落在定义域内,但不清楚这些实根的大小关系,从而引起分类讨论.【对点训练2】(2020全国,
4、文21)已知函数f(x)=2ln x+1.(1)若f(x)2x+c,求c的取值范围;解 设h(x)=f(x)-2x-c,则h(x)=2ln x-2x+1-c,其定义域为(0,+),h(x)=-2.(1)当0 x0;当x1时,h(x)0.所以h(x)在区间(0,1)单调递增,在区间(1,+)单调递减.从而当x=1时,h(x)取得最大值,最大值为h(1)=-1-c.故当且仅当-1-c0,即c-1时,f(x)2x+c.所以c的取值范围为-1,+).热点二热点二讨论函数极值点的个数讨论函数极值点的个数【例3】设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中aR.讨论函数f(x)极值点的个数,并说明
5、理由.当x(x1,x2)时,g(x)0,则f(x)0,则f(x)0,f(x)单调递增,由g(-1)=10,可得x10,则f(x)0,f(x)单调递增,x(x2,+)时,g(x)0,则f(x)0,f(x)单调递减,因此,当a 时,判断函数f(x)在定义域上的单调性;(2)当b0时,求函数f(x)的极值点.解(1)函数f(x)=x2+bln(x+1)的定义域为(-1,+),为确定两个根是否都在定义域(-1,+)内需要对参数b分类讨论.由f(x)0,可得xx2,由f(x)0,可得-1xx2,所以f(x)在(-1,x2)上单调递减,在(x2,+)上单调递增,热点三热点三求函数的极值、最值求函数的极值、
6、最值【例4】已知函数f(x)=ln x-kx+k(kR),求f(x)在1,2上的最小值.于是f(x)在1,2上的最小值为f(1)=0或f(2)=ln 2-k.()当0ln 2-k,即0kln 2时,f(x)min=f(1)=0.()当0ln 2-k,即kln 2时,f(x)min=f(2)=ln 2-k.综上所述,当k0,若ln a|x|对x(-1,1)恒成立,求a的最大值.方法一(分离参数法)当t=0时,不等式恒成立,定理1:若函数f(x)和g(x)满足条件:(1)f(x)和g(x)在x0的某个去心邻域内可导,且g(x)0.定理2:若函数f(x)和g(x)满足条件:(1)f(x)和g(x)在
7、x0的某个去心邻域内可导,且g(x)0.在定理1和定理2中,将分子、分母分别求导再求极限的方法称为洛比达法则.【对点训练5】(2020广东茂名一模,理20)设函数f(x)=ex-mx+n,曲线y=f(x)在点(ln 2,f(ln 2)处的切线方程为x-y-2ln 2=0.(1)求m,n的值;(2)当x0时,若k为整数,且x+1(k-x)f(x)+x+1,求k的最大值.令h(x)=ex-x-2,x0,h(x)=ex-10.函数h(x)=ex-x-2在(0,+)单调递增.而h(1)0,所以h(x)在(0,+)存在唯一的零点,故g(x)在(0,+)存在唯一的零点,设此零点为,则(1,2).当x(0,)时,g(x)0,g(x)单调递增;所以g(x)在(0,+)的最小值为g(),又由g()=0,可得e=+2,所以g()=+1(2,3),故等价于kg(),故整数k的最大值为2.本本 课课 结结 束束
