1、栏目索引第三节导数与函数的极值与最值栏目索引总纲目录教材研读1.函数的极值与导数考点突破2.函数的最值与导数考点二利用导数研究函数的最值考点二利用导数研究函数的最值考点一运用导数研究函数的极值考点三函数的极值与最值的综合问题考点三函数的极值与最值的综合问题栏目索引1.函数的极值与导数函数的极值与导数(1)函数的极小值函数的极小值若函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f(x)0,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.(2)函数的极大值函数的极大值若函数y=f(x)在点x=b处
2、的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值教材研读教材研读栏目索引都大,f(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值,极大值和极小值统称为极值.2.函数的最值与导数函数的最值与导数(1)函数函数f(x)在在a,b上有最值的条件上有最值的条件:一般地,如果在区间a,b上,函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)求函数求函数y=f(x)在在a,b上的最大值与最小值的步骤上的最大值与最小值的步骤:(i)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;(ii)将函数y=f(
3、x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.栏目索引1.函数f(x)的定义域为R,导函数y=f(x)的图象如图所示,则函数f(x)()A.无极大值点、有四个极小值点B.有三个极大值点、一个极小值点C.有两个极大值点、两个极小值点D.有四个极大值点、无极小值点C栏目索引答案答案C设f(x)的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1、x2、x3、x4.当x0,f(x)为增函数,当x1xx2时,f(x)-1时,y0;当x-1时,y0.当x=-1时函数取得最小值,且ymin=-.故选C.1eC栏目索引3.(2017北京海淀期中)已知函数y=f(
4、x)的导函数有且仅有两个零点,其图象如图所示,则函数y=f(x)在x=处取得极值.答案答案-1解析解析由题图知,x-1时,f(x)-1时,f(x)0,所以函数y=f(x)在x=-1处取得极值.-1栏目索引4.(2015北京顺义一模)已知函数f(x)=x3-6x2+9x,则f(x)在闭区间-1,5上的最小值为,最大值为.答案答案-16;20解析解析f(x)=3x2-12x+9,令f(x)=0,即x2-4x+3=0,得x=1或x=3,当-1x1或3x0,f(x)在(-1,1),(3,5)上为增函数,当1x3时,f(x)0,f(x)在(1,3)上为减函数,f(-1)=-16,f(3)=0,f(1)=
5、4,f(5)=20,故f(x)在闭区间-1,5上的最小值为-16,最大值为20.栏目索引考点突破考点一运用导数研究函数的极值考点一运用导数研究函数的极值考点突破考点突破典例典例1(2016北京海淀期末)已知函数f(x)=+klnx,其中k0.(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间和极值;(2)若关于x的方程f(x)=k有解,求实数k的取值范围.1x栏目索引考点突破解析解析函数f(x)=+klnx的定义域为(0,+),f(x)=-+.(1)当k=1时,f(x)=-+=,令f(x)=0,得x=1.f(x),f(x)随x的变化情况如下表:1x21xkx21x1x21xxx(0,1)1(1,+)f
6、(x)-0+f(x)极小值栏目索引考点突破所以f(x)在x=1处取得极小值,极小值为f(1)=1,无极大值.f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+).(2)因为关于x的方程f(x)=k有解,所以可令g(x)=f(x)-k=+klnx-k,则问题转化为函数g(x)在(0,+)内存在零点.g(x)=-+=.令g(x)=0,得x=.当k0时,g(x)0,g()=+k-k=-1-10时,g(x),g(x)随x的变化情况如下表:所以函数g(x)的最小值为g=k-k+kln=-klnk,当g0,即0k0,所以函数g(x)存在零点.综上,实数k的取值范围是k1,且方程f(x)=a-x在区
7、间-a,0上恰有两个不相等的实数根,求实数a的最小值.栏目索引考点突破解析解析(1)因为f(x)=3(x2-a),所以f(0)=-3a,因为f(0)=0,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=-3ax.(2)因为f(x)=3(x2-a),所以当a0时,f(x)0在R上恒成立,所以f(x)在R上单调递增,f(x)没有极值点,不符合题意;当a0时,令f(x)=0得x=,当x变化时,f(x)与f(x)的变化情况如下表所示:ax(-,-)-(-,)(,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值aaaaaa因为函数f(x)在区间(-1,2)上仅有一个极值点,所以所以1a1,令h(x)=
8、0,得x=,所以所以13a(0)0,()0,10,3hhaha3230,320,11(1 3)0,33aaaaaaaa 栏目索引考点突破所以因为a1,所以-a0恒成立,所以a2,所以实数a的最小值为2.0,12,2120.33aaaaaa或223a13a 栏目索引考点突破考点二利用导数研究函数的最值考点二利用导数研究函数的最值典例典例2(2017北京,20,13分)已知函数f(x)=excosx-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.0,2栏目索引考点突破解析解析本题考查导数的几何意义,考查利用导数研究函数的单调性、最值.(1
9、)因为f(x)=excosx-x,所以f(x)=ex(cosx-sinx)-1,f(0)=0.又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=1.(2)设h(x)=ex(cosx-sinx)-1,则h(x)=ex(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2exsinx.当x时,h(x)0,所以h(x)在区间上单调递减.所以对任意x有h(x)h(0)=0,即f(x)0.0,20,20,2所以函数f(x)在区间上单调递减.因此f(x)在区间上的最大值为f(0)=1,最小值为f=-.0,20,222栏目索引考点突破方法技巧方法技巧求函数f(x)在a,b上的最大值和最小
10、值的步骤(1)求函数在(a,b)内的极值.(2)求函数在区间端点的函数值f(a),f(b).(3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.栏目索引考点突破2-1(2017北京海淀期中)已知函数f(x)=.(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)当a0,解得x2,令f(x)2,f(x)在(-,2)上递增,在(2,+)上递减.(2)由f(x)=得f(x)=,x0,1,令f(x)=0,解得x=1+1(a0),当1+0,即-1a0时,f(x)0在x0,1上恒成立,f(x)在0,1上递增,f(x)min=f(0)=-1;1exx2exx 1ex
11、ax1exaxa1a1a栏目索引考点突破x1+f(x)-0+f(x)极小值10,1a1a11,1a当01+1,即a-1时,f(x),f(x)在0,1上的情况如下:1af(x)min=f=.综上,-1a0时,f(x)min=-1,a0,故f(x)在(-,-2)上为增函数;当x(-2,2)时,f(x)0,故f(x)在(2,+)上为增函数.由此可知f(x)在x=-2处取得极大值f(-2)=16+c,f(x)在x=2处取得极小值f(2)=c-16.由题设条件知16+c=28,得c=12.此时f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,f(2)=-16+c=-4,因此f(x)在-3,3上的最小值为
12、f(2)=-4.编后语 常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？一、释疑难 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。二、补笔记 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留
13、下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。三、课后“静思2分钟”大有学问 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的课后复习30分钟。2022-10-25精选最新中小学教学课件thank you!2022-10-25精选最新中小学教学课件
