1、高考数学复习：等差数列与等比数列高考数学复习：等差数列与等比数列高考定位1.等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以选择题、填空题的形式出现；2.数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第(1)问出现，难度中档以下.真 题 感 悟1.(2019全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和.已知S40，a55，则()答案AA.2n1 B.221nC.22n1 D.21n1答案B4.(2019全国卷)已知数列an和bn满足a11，b10，4an13anbn4，4bn13bnan4.(1)证明：anbn是等比数列，anbn是等差数列；(2)求an和bn的通项公式.(1)证明由题设得4(an1bn
2、1)2(anbn)，由题设得4(an1bn1)4(anbn)8，即an1bn1anbn2.又因为a1b11，所以anbn是首项为1，公差为2的等差数列.考 点 整 合1.等差数列2.等比数列热点一等差、等比数列的基本运算【例1】(1)(2020全国卷)数列an中，a12，amnaman.若ak1ak2ak1021525，则k()A.2 B.3 C.4 D.5答案C(2)(2019北京卷)设an是等差数列，a110，且a210，a38，a46成等比数列.求an的通项公式；记an的前n项和为Sn，求Sn的最小值.解设an的公差为d.因为a110，所以a210d，a3102d，a4103d.因为a2
3、10，a38，a46成等比数列，所以(a38)2(a210)(a46).所以(22d)2d(43d).解得d2.所以ana1(n1)d2n12.法一由知，an2n12.则当n7时，an0；当n6时，an0；当n6时，an0；所以Sn的最小值为S5S630.当n5或n6时，Sn的最小值S5S630.探究提高1.等差(比)数列基本运算的解题途径：(1)设基本量a1和公差d(公比q).(2)列、解方程组：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量.2.第(2)题求出基本量a1与公差d，进而由等差数列前n项和公式将结论表示成“n”的函数，求出最小值.【训练1】(1
4、)(2020河北省一联)若等比数列an的前n项和为Sn，已知a2a53a3，且a4与9a7的等差中项为2，则S5()(1)解析设等比数列an的公比为q，由已知得a2a5a3a43a3，因为a30，所以a43，即a1q33.因为a4与9a7的等差中项为2，所以a49a7a4(19q3)4，(2)解设数列an的公差为d，d0.a1，a2，a7成等比数列，又d0，d4a1，由于a4a13d26，an28(n1)8n6.bn(1)n1an(1)n1(8n6).T511b1b2b51121018264 0664 0744 082(210)(1826)(4 0664 074)4 08282554 0822
5、 042.A.38 B.20 C.10 D.9(2)(2020长沙检测)已知正项等比数列an的前n项和为Sn，且S82S45，则a9a10a11a12的最小值为()A.25 B.20 C.15 D.10解析(1)在数列an中，因为2an1anan2，所以an2an1an1an，所以数列an为等差数列.即(2n1)238，解得n10.(2)在正项等比数列an中，Sn0.因为S82S45，则S8S45S4，易知S4，S8S4，S12S8是等比数列，所以(S8S4)2S4(S12S8)，故a9a10a11a12的最小值为20.答案(1)C(2)B探究提高1.利用等差(比)性质求解的关键是抓住项与项之
6、间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解.2.活用函数性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题.A.Sn的最大值是S8 B.Sn的最小值是S8C.Sn的最大值是S7 D.Sn的最小值是S7(2)已知数列an的各项都为正数，对任意的m，nN*，amanamn恒成立，且a3a5a472，则log2a1log2a2log2a7_.整理得an0，知Sn10，Sn12Sn0，故Sn12Sn.(2)解由(1)知，Sn12Sn，当n2时，Sn2Sn1，两式相减，an12an(n2，nN*)，所以数列an从第二项起成等比数列，且公比q2
7、.又S22S1，即a2a12a1，a2a110，得1.若数列an是等比数列，则a212a12.1，经验证得1时，数列an是等比数列.【训练3】(2020安徽六校联考)已知数列an的前n项和为Sn，且2Sn3an3n13(nN*).(1)证明由已知2Sn3an3n13(nN*)，n2时，2Sn13an13n3，得：2an3an3an123nan3an123n，故数列bn是以2为首项，2为公差的等差数列，bn22(n1)2nan2n3n.(2)解由(1)，得cn23n2n热点四等差、等比数列的综合问题【例4】(2020北京西城区二模)从前n项和Snn2p(pR)；anan13；a611且2an1a
8、nan2这三个条件中任选一个，填至横线上，并完成解答.在数列an中，a11，_，其中nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)若a1，an，am成等比数列，其中m，nN*，且mn1，求m的最小值.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)解选择：(1)当n1时，由S1a11，得p0.当n2时，由题意，得Sn1(n1)2，所以anSnSn12n1(n2).经检验，a11符合上式，所以an2n1(nN*)因为m，n是大于1的正整数，且mn，所以当n2时，m有最小值5.选择：(1)因为anan13，所以an1an3，所以数列an是公差d3的等差数列，所以ana1(n1)d3n2(nN*).因
9、为m，n是大于1的正整数，且mn，所以当n2时，m取到最小值6.选择：(1)因为2an1anan2，所以数列an是等差数列.设数列an的公差为d.因为a11，a6a15d11，所以d2.所以ana1(n1)d2n1(nN*).因为m，n是大于1的正整数，且mn，所以当n2时，m有最小值5.探究提高1.等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便.2.数列的通项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题.【训练4】(2020海南诊断)已知an是公比为q的无穷等比数列，其前n项和为Sn，满足a312，_.是否存在正整数k，使得Sk2 020？若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由.解选择：存在满足条件的正整数k.求解过程如下：选择：不存在满足条件的正整数k.理由如下：选择：存在满足条件的正整数k.求解过程如下：令Sk2 020，则1(2)k2 020，整理得(2)k2 019.所以使Sk2 020的正整数k的最小值为11.
