1、2020年中考数学复习专题训练：平行四边形存在性问题(含解析)题型解读存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题,这类问题的知识覆盖面较广,综合性较强,题意构思非常精巧,解题方法灵活,对学生分析问题和解决问题的能力要求较高,是近几年各地中考的“热点”.解这类题目的一般思路是:假设存在推理论证得出结论.若能导出合理的结果,就做出“存在”的判断;若导出矛盾,就做出不存在的判断.例例1 如图Z9-1,在平面直角坐标系中,已知点A(-3,4),B(-6,-2),C(6,-2),若以点A,B,C为顶点作一个平行四边形,试写出第四个顶点D的坐标,你的答案唯一吗?【分层分析】(1)符合条件的点D有几
2、个?(2)如何进行分类?|类型一|已知三定点,探究第四个点,使之构成平行四边形图Z9-1解:答案不唯一,有三种情况:若AB为平行四边形的对角线,则点D的坐标为(-15,4);若BC为平行四边形的对角线,则点D的坐标为(3,-8);若AC为平行四边形的对角 线,则点D的坐标为(9,4).【方法点析】已知三定点,探求第四个点,使之构成平行四边形,可以按对角线进行分类,求出点的坐标,再验证是否符合限制条件.例例2 如图Z9-2,抛物线y=x2-2x-3与x轴的负半轴交于A点,与y轴交于C点,顶点是M,经过C,M两点作直线与x轴交于点N.(1)直接写出点A,C,N的坐标.(2)在抛物线上是否存在这样的
3、点P,使以点P,A,C,N为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.图Z9-2【分层分析】(1)根据抛物线的函数表达式即可求得A,C和顶点M的坐标,然后求出直线CM的函数表达式便可求得点N的坐标.解:(1)A(-1,0),C(0,-3),N(-3,0).例例2 如图Z9-2,抛物线y=x2-2x-3与x轴的负半轴交于A点,与y轴交于C点,顶点是M,经过C,M两点作直线与x轴交于点N.(2)在抛物线上是否存在这样的点P,使以点P,A,C,N为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.图Z9-2【分层分析】(2)根据例1的方法,先求出使
4、得以点P,A,C,N为顶点的四边形为平行四边形的点P的坐标,然后逐一代入抛物线的函数表达式验证可得符合条件的点P.解:(2)存在.若AC为平行四边形的对角线,则点P的坐标为(2,-3);若AN为平行四边形的对角线,则点P的坐标为(-4,3);若CN为平行四边形的对角线,则点P的坐标为(-2,-3).把这三个点的坐标分别代入y=x2-2x-3验证,得点P(2,-3)在该抛物线上,因此存在符合条件的点P,点P的坐标为(2,-3).|类型二|已知两个定点,探索限定条件下的另两个动点,使之构成平行四边形图Z9-3 例例3 2019甘肃节选 如图Z9-3,已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点
5、A(1,0),B(3,0),与y轴交于点C.(1)求二次函数的解析式;(2)若点P为抛物线上的一点,点F为对称轴上的一点,且以点A,B,P,F为顶点的四边形为平行四边形,求点P的坐标.【分层分析】(1)直接根据题意设出二次函数的交点式求解,也可以将A,B两点坐标代入列方程组求解;解:(1)二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0),B(3,0),且x2的系数为1,二次函数的解析式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3,即y=x2-4x+3.图Z9-3 例例3 2019甘肃节选 如图Z9-3,已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0),B(3,0),与y轴交于
6、点C.(2)若点P为抛物线上的一点,点F为对称轴上的一点,且以点A,B,P,F为顶点的四边形为平行四边形,求点P的坐标.【分层分析】(2)分两种情况:AB为平行四边形一条边;AB为平行四边形的一条对角线,分别求解即可.解:(2)当AB为平行四边形一条边时,如图,则AB=PF=2,则点P的坐标为(4,3),根据对称性,当点P在对称轴左侧时,即点C的位置,点A,B,P,F为顶点的四边形为平行四边形,点P(4,3)或(0,3);图Z9-4【分层分析】(1)先求出A点的坐标,再用待定系数法求L1对应的函数表达式即可;图Z9-4【方法点析】对于两个定点、两个动点的问题,一般思路是先用一个未知数假设一个相
7、对较简单的动点坐标,然后把这三点看成定点,用该未知数表示另一个动点的坐标,最后再根据动点应满足的条件,求出相应点的坐标.|题型精练|1.2019宜宾节选 如图Z9-5,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2-2x+c与直线y=kx+b都经过A(0,-3),B(3,0)两点,该抛物线的顶点为C.(1)求此抛物线和直线AB的解析式.(2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E,在射线EB上是否存在一点M,过M作x轴的垂线交抛物线于点N,使点M,N,C,E是平行四边形的四个顶点?若存在,求点M的坐标;若不存在,请说明理由.图Z9-5分析(1)将A(0,-3),B(3,0)两点坐标分别代入二次函
8、数的解析式和一次函数解析式即可求解;1.2019宜宾节选 如图Z9-5,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2-2x+c与直线y=kx+b都经过A(0,-3),B(3,0)两点,该抛物线的顶点为C.(2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E,在射线EB上是否存在一点M,过M作x轴的垂线交抛物线于点N,使点M,N,C,E是平行四边形的四个顶点?若存在,求点M的坐标;若不存在,请说明理由.图Z9-5分析(2)先求出C点坐标和E点坐标,可得CE=2,分两种情况讨论:若点M在x轴下方,四边形CEMN为平行四边形,则CE=MN,若点M在x轴上方,四边形CENM为平行四边形,同得CE=MN,设M,
9、N点坐标,可分别得到方程求出点M的坐标.图Z9-63.2019广安 如图Z9-7,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点N,过A点的直线l:y=kx+n与y轴交于点C,与抛物线y=-x2+bx+c的另一个交点为D,已知A(-1,0),D(5,-6),P点为抛物线y=-x2+bx+c上一动点(不与A,D重合).图Z9-7(1)求抛物线和直线l的解析式.(2)当点P在直线l上方的抛物线上时,过P点作PEx轴交直线l于点E,作PFy轴交直线l于点F,求PE+PF的最大值.(3)设M为直线l上的点,探究是否存在点M,使得以点N,C,M,P为顶点的四边形为平行四边形
10、.若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.图Z9-7分析(1)将点A,D的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式,即可求解;3.2019广安 如图Z9-7,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点N,过A点的直线l:y=kx+n与y轴交于点C,与抛物线y=-x2+bx+c的另一个交点为D,已知A(-1,0),D(5,-6),P点为抛物线y=-x2+bx+c上一动点(不与A,D重合).(2)当点P在直线l上方的抛物线上时,过P点作PEx轴交直线l于点E,作PFy轴交直线l于点F,求PE+PF的最大值.图Z9-7分析(2)设出P点坐标,用参数表示PE,PF
11、的长,利用二次函数求最值的方法求解;3.2019广安 如图Z9-7,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点N,过A点的直线l:y=kx+n与y轴交于点C,与抛物线y=-x2+bx+c的另一个交点为D,已知A(-1,0),D(5,-6),P点为抛物线y=-x2+bx+c上一动点(不与A,D重合).(3)设M为直线l上的点,探究是否存在点M,使得以点N,C,M,P为顶点的四边形为平行四边形.若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.图Z9-7分析(3)分NC是平行四边形的一条边或NC是平行四边形的对角线两种情况,分别求解即可.图Z9-8(1)当m=3时,求
12、点A的坐标.(2)DE=,设点D的坐标为(x,y),求y关于x的函数关系式和自变量x的取值范围.(3)连结BD,过点A作BD的平行线,与(2)中的函数图象交于点F,当m为何值时,以A,B,D,F为顶点的四边形是平行四边形?图Z9-8图Z9-8图Z9-8图Z8-8(3)在(2)的条件下,动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动,同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动,到达点D时立即原速返回,当动点Q返回到点A时,P,Q两点同时停止运动,设运动时间为t秒(t0).过点P向x轴作垂线,交抛物线于点E,交直线AC于点F,问:以A,E,F,Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形?若能,请求出t的值;若不能,请说明理由.图Z8-8图Z8-8图Z8-8(3)在(2)的条件下,动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动,同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动,到达点D时立即原速返回,当动点Q返回到点A时,P,Q两点同时停止运动,设运动时间为t秒(t0).过点P向x轴作垂线,交抛物线于点E,交直线AC于点F,问:以A,E,F,Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形?若能,请求出t的值;若不能,请说明理由.
