1、专项二 解答题专项十一、几何综合探究题(针对陕西中考第25题)中考解读：中考解读：几何综合探究题为陕西中考解答题的必考题，题位为第25题，分值为12分。题目综合性强，多涉及类比的思想，设问方式多样，要求学生逐步突破。涉及的图形有等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆。涉及的图形变换为平移变换、对称变换、旋转变换。涉及的知识点有全等和相似的性质和判定、勾股定理、一元二次方程、二次函数的最值、圆的有关性质等。主要考查的类型有(1)探究线段长度的最值问题；(2)探究图形面积的最值问题；(3)探究图形面积的分割问题；(4)探究符合条件的点的问题。解答题专项类型1 探究线段长度的极值
2、和定值问题核心素养及解题思想和方法核心素养及解题思想和方法1.核心素养：数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象。2.数学思想方法:数形结合思想、分类讨论思想、转化思想。3.常用解题方法：代数法和几何法。解答题专项(一一)单动点问题单动点问题常见模型一、利用三角形的三边关系解决最值问题常见模型一、利用三角形的三边关系解决最值问题【问题情境】1.如图，直线l表示河岸，河两岸有A,B两村,现在要在河岸边建一座水塔以解决两村的用水问题,那么水塔修在何处,它到A，B两村的距离和最短?2.如图，直线l表示河岸，河岸同侧有A，B两村,现在要在河岸边建一座水塔以解决两村的用水问题,那么水塔修在何处,它到A，B
3、两村的距离差最长?【通解通法】知识必备：(1)三角形的两边之和大于第三边；(2)三角形的两边之差小于第三边。解答题专项【问题解决】三角形的两边之和大于第三边三角形的两边之和大于第三边(1)找点。如图，连接AB交直线l于点P,点P即为所求。(2)说理。如图，在直线上另取一点P。在APB中，AP+PBAB，当A，P，B三点共线时，AP+PB=AB,此时AP+PB最短。【反思】此模型实际上是线段公理的证明和有效说理。三角形的两边之差小于第三边三角形的两边之差小于第三边(1)找点。如图，延长AB交直线l于点P,则|PA-PB|最大。(2)说理。如图，在直线l上找一点P,连接PB，PA。在APB中，|P
4、A-PB|AB,当A,B,P三点共线时，|PA-PB|=AB，故此时PA-PB最大。解答题专项常见模型二、垂线段最短常见模型二、垂线段最短【问题情境】1.如图，P为线段BC上一动点，当点P运动到何处时，AP最短？【通解通法】知识必备：垂线段最短。【问题解决】垂线段最短(1)找点。如图，过点A作APBC交BC于点P,点P即为所求。(2)说理。垂线段最短。解答题专项(二二)双动点问题双动点问题常见模型三、轴对称的性质、垂线段最短常见模型三、轴对称的性质、垂线段最短【问题情境】1.如图，在直线l1和l2上分别找两点B，C,使ABC的周长最小？2.如图，在ABC中，AB=2,BAC=45，AD平分BA
5、C,M，N分别为AD,AB上的两个动点，怎样确定点M,N能使BM+MN的值最小？【通解通法】知识必备：(1)轴对称的性质；(2)垂线段最短。解答题专项【问题解决】轴对称的性质轴对称的性质(1)找点。如图，分别找出点A关于直线l1和l2的对称点A1和A2,连接A1A2分别交直线l1和l2于点B,C,此时ABC的周长最小。(2)说理。由对称性可知，AB=A1B,AC=A2C,故ABC的周长为AB+AC+BC=A1B+A2C+BC=A1A2。根据“两点之间，线段最短”可知，此时ABC的周长最小。垂线段最短垂线段最短(1)找点。如图，找出点B关于AD的对称点B,过点B作BNAB分别交AD于点M,交AB
6、于点N。M，N即为所求。(2)说理。AD平分BAC,点B关于AD的对称点B在线段AC上，BM=BM。又BNAB于点N,BM+MN=BM+MN=BN。由垂线段最短可知，此时BM+MN的值最小。解答题专项常见模型四、平移常见模型四、平移+将军饮马将军饮马【问题情境】1.如图11，在直线l上找出两个动点P，Q(P，Q两动点之间的距离为定值)，使AP+PQ+BQ的值最小。【通解通法】知识必备：(1)平移的性质；(2)轴对称的性质。【问题解决】(1)找点。如图12,将点A沿过点A且与直线l平行的直线平移PQ长度得到定点A,作定点A关于直线l的对称点A,连接AB,交直线l于点Q，将点Q沿直线l向左平移PQ
7、长度，得到点P，连接AP，则AP+PQ+BQ的值最小。(2)说理。请自己完成证明过程。解答题专项常见模型五、动点定值模型常见模型五、动点定值模型“平行定位”法【问题情境】1.如图13，在ABC中，BC=a，M是BC上一动点，连接AM,取AM的中点P，随着点M从点B运动到点C,求动点P的路径长。【通解通法】知识必备：(1)三角形中位线；(2)平行线间的距离处处相等。【问题解决】(1)如图14，过点P作直线EFBC分别交AB，AC于点E，F。点P运动的轨迹在线段EF上。解答题专项(2)说理。由动点M找动点P的运动轨迹，过点P，点A分别作BC的垂线交BC于点G，H(如图)，则PGAH。P为AM的中点
8、，PG=AH。又AH为BC边上的高线，点P到BC的距离为定值。在ABC中，EF=BC=a，故动点P的路径长为 a。“夹角定位”法(又称“旋转+直线型”)理论依据：平面内，过定点并且与定直线的夹角为定值的点在直线上运动。如图15，已知直线l与定点A，若直线BA与直线l的夹角确定，则动点B始终在直线AB上。如图16，在ABC中，AB=AC,BAC=90，点P为BC上一动点，AP=AD,PAD=90，线段BC长为定值，在点P从点B向点C运动的过程中，动点D运动的路线是什么，长度等于多少？12121212解答题专项【问题解决】易证ABPACD，故动点D的运动轨迹是一条线段，该线段所在直线垂直于BC，且
9、点D运动的路线的长度为BC长。此类问题分三步进行思考：(1)找准主动点、从动点以及绕哪一定点运动；(2)由旋转不变性可知，主动点的轨迹和从动点的轨迹相同，位置不同。分析从动点、主动点与定点之间的数量关系(比值)，从而由一个动点确定另一个动点的运动轨迹的长度；(3)整体捆绑，画出图形，解决问题。解答题专项例例1 1(2018陕西中考)【问题提出】(1)如图，在ABC中，A=120，AB=AC=5，则ABC的外接圆的半径R的值为 。【问题探究】(2)如图，O的半径为13，弦AB=24，M是AB的中点，P是O上一动点，求PM的最大值。【问题解决】(3)如图，AB，AC，是某新区的三条规划路，其中AB
10、=6 km，AC=3 km，BAC=60，所对的圆心角为60。新区管委会想在 路边建物资总站点P，在AB，AC路边分别建物资分站点E，F，也就是，分别在 ，线段AB和AC上选取点P，E，F。由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按PEFP的路径进行运输，因此要在各物资站点之间规划道路PE，EF和FP。为了快捷、环保和节约成本，要使线段PE，EF，FP之和最短，试求PE+EF+FP的最小值。(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计)解答题专项解答题专项解答题专项类型2 探究图形面积的最值问题核心素养及解题思想和方法核心素养及解题思想和方法1.核心素养：数学抽象、数学建模、数学运算、
11、直观想象。2.数学思想方法：数形结合思想、分类讨论思想、转化思想。3.常用解题方法：代数法和几何法。常见模型一常见模型一【问题情境】1.如图，在ABC中，BC=a,A=，那么ABC的面积和周长是否有最值？【通解通法】知识必备：(1)三角形的面积公式;(2)同弧所对的圆周角相等。【问题解决】如图，BC确定，BC边所对的角确定，故点A在ABC的外接圆的 上。因为BC为定值，所以当BC边上的高最大时ABC的面积最大，而当点A在 的中点A时,ABC为等腰三角形(BC为底边)，此时BC边上的高最大，则ABC的面积最大。解答题专项如图，延长BA到点C,使AC=AC,连接CC,取BC的中点O,以O为圆心，O
12、B长为半径作O，延长BO交O于点D,连接DC，则D=C,B，C，C，D四点共圆。因为BD为直径，所以当点A在点O时，ABC为等腰三角形(BC为底边)，此时ABC的周长最大。结论：定边对定角，等腰时面积最大，周长最大。常见模型二常见模型二【问题情境】如图,在ABC中，BAC=45，高AD=4，则线段BC的最小值为多少，ABC的面积的最小值是多少？【通解通法】知识必备：(1)三角形的面积公式；(2)同弧所对的圆周角相等；(3)同弧所对的圆心角是圆周角的2倍；(4)垂径定理。解答题专项【问题解决】如图，作ABC的外接圆O,连接OA，OB，OC,过点O作OEBC交BC于点E。设BC=2x,则在RtBO
13、E中，BE=OE=x，OB=OA=x。OA+OEAD,即 x+x4,解得x4(-1)，即BCmin=8(-1)。高AD为定值，ABC的面积的最小值为16(-1)，此时AB=AC,ABC为等腰三角形，此时，易证ABC的周长也最小。结论：定角夹定高，等腰时面积最小，周长最小。常见模型三常见模型三【问题情境】如图，在ABC中，AB=c，BC=a,B=，高AD=h,求SABC的定值和最值。【通解通法】知识必备：解直角三角形及锐角三角函数。【问题解决】如图，在RtABD中，h=csin，所以SABC=ah=acsin。所以SABC的定值为 acsin，最大值为 ac。注：sin 1,当sin=1时，=9
14、0。2222212121212解答题专项常见模型四常见模型四【问题情境】如图，在四边形ABCD中，对角线AC=m,BD=n,AOB=，求四边形ABCD的面积的最大值。【通解通法】知识必备：(1)解直角三角形；(2)斜大于直。【问题解决】如图，分别过点A，C作AFBD,CGBD,垂足分别为F，G，则S四边形ABCD=SABD+SBCD。在RtAOF和RtCOG中，AF=OAsin,CG=OCsin,S四边形ABCD=BDAF+BDCG=n(AF+CG)=(OA+OC)n sin=mn sin。四边形ABCD的面积的最大值为 mn。121212121212解答题专项注：sin 1,当sin=1时，
15、=90。面积定值或最值问题常见其他考点：面积与图形变换(旋转、平移、对称、位似)相结合；面积与函数相结合等等。知识必备：(1)相似三角形的相似比等于对应高的比；解答题专项例例2 2(2016陕西中考)【问题提出】(1)如图，已知ABC，请画出ABC关于直线AC对称的三角形。【问题探究】(2)如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC，CD上分别存在点G，H，使四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它的周长的最小值；若不存在，请说明理由。【问题解决】(3)如图，有一矩形板材ABCD，AB=3 m，AD=6 m。现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部
16、件，使EFG=90，EF=FG=m，EHG=45。经研究，只有当点E，F，G分别在边AD，AB，BC上，且AFBF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件。试问：能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由。55解答题专项解答题专项解答题专项解答题专项类型3 探究图形面积的分割问题核心素养及解题思想和方法核心素养及解题思想和方法1.核心素养：数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象。2.数学思想：数形结合思想、分类讨论思想、转化思想。3.解题方法：代数法和几何法。(一)过定点的三角形面积等分线常见模型一
17、常见模型一1.如图，在ABC中，过点A作一条直线，将三角形的面积平分。【通法通解】(1)理论依据：等底同高的三角形的面积相等。(2)作法：如图，找出BC边的中点D，过AD作一条直线即可平分ABC的面积。解答题专项常见模型二常见模型二三角形等积变换三角形等积变换(又称又称“蝴蝶型蝴蝶型”)如图，已知ABC，求作DBC，使SABC=SDBC。理论依据：同底等高的三角形的面积相等。作法：如图，过点A作线段BC的平行线l,直线l上(点A除外)的任何一点满足题目要求。易证SBOD=SAOC。模型拓展模型拓展中线中线+蝴蝶型蝴蝶型1如图，在ABC中，D为BC上一点，过点D作一条直线，把ABC的面积平分。解
18、答题专项【通法通解】(1)理论依据：等底同高的三角形的面积相等；同底等高的三角形的面积相等。(2)作法：找出边BC上的中线AE，连接AD，过点E作EFAD,连接DF，DF即为所求。(3)说理:运用转化思想，找出BC的中点E,则SABE=SACE。由EFAD，得SDEF=SAEF，故SFDC=SACE。即直线DF即为所求。模型拓展模型拓展中线+蝴蝶型2如图，在四边形ABCD中，过点A作一条直线，把四边形ABCD的面积平分。(1)理论依据：同上例。(2)作法：连接AC,过点D作DEAC交BC的延长线于点E，连接AE，作ABE的边BE上的中线AF，直线AF即为所求。【结论】三角形的中线将三角形的面积
19、平分，对于多边形来说，经过特定点的一条直线将面积平分等问题往往是“中线+蝴蝶型”的应用，它是平面图形面积平分的有效方法之一。解答题专项(二二)中心对称图形的面积等分线中心对称图形的面积等分线如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O,过点O作一条直线，将四边形ABCD的面积平分。【通法通解】(1)理论依据：中心对称图形的性质；全等三角形的面积相等。(2)作法:过点O任作一条直线，即可将其面积平分。(3)说理：易证SAOE=SCOF，SDOE=SBOF，SAOB=SDOC,故EF平分平行四边形的面积。【结论】平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，过对角线交点的任何一
20、条直线，都可以将平行四边形的面积平分。矩形、菱形、正方形等特殊的平行四边形，同样可以采用此法将其面积平分。模型拓展模型拓展组合图形面积平分解答题专项【通法通解】(1)理论依据：中心对称图形的性质。(2)作法：对于组合图形，只要我们把它分割成两个常见基本图形，如图，可分割成两个平行四边形，分别找出每个图形的对称中心，然后过两个对称中心作直线，该直线即可将组合图形的面积平分。(三三)轴对称图形的面积等分线轴对称图形的面积等分线常见模型三常见模型三如图，正五边形的对称轴将正五边形的面积平分。【通法通解】(1)理论依据：轴对称图形的性质。(2)作法:根据图形的特点，画出它的对称轴。轴对称图形的对称轴是
21、它的面积平分线。解答题专项【模型特例】等分积周线轴对称图形：它的对称轴既平分它的面积又平分它的周长；中心对称图形：过对称中心的任何一条直线既平分它的面积又平分它的周长。这样的线叫做这个图形的等分积周线。以三角形为例：一般三角形，是否有等分积周线？如图，作ABC的BC边上的中线AD,由模型一可知，AD平分ABC的面积。又ABAC，BD=DC,ABD与ACD的周长不相等。过定点不存在这样的线。解答题专项分类讨论思想：如图，假设存在这样一条直线EF,与边BC，AB分别交于E，F两点，并且平分ABC的周长，作FGBC，AHBC。设ABC的面积为S，AB=c，BC=a，AC=b，则周长C=a+b+c。E
22、F平分ABC的周长,BF+BE=,AH=。设BE=x，则BF=。易证BGFBHA,则 ,即 ，FG=,当SBFE=SABC时，建立方程,即 。若有解，则EF为等分积周线。若无解，则AB，AC上不存在等分积周线。同理在AB，AC；AC，BC边上分别寻找满足条件的直线。其他两种情况，请同学们自己完成求解过程。2a b c 2Sa2a b c FGBFAHBA22a b cxFGSca(2)S a b cxac 12解答题专项例例3 3(2017陕西中考)【问题提出】(1)如图，ABC是等边三角形，AB=12，若点O是ABC的内心，则OA的长为 。【问题探究】(2)如图，在矩形ABCD中，AB=12
23、，AD=18，如果P是AD边上一点，且AP=3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由。【问题解决】(3)某城市街角有一草坪，草坪是由ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图。管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头解答题专项来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水。于是，他让喷灌龙头的转角正好等于AMB(即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，再转回，这样往复喷灌)，同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了。如图，已测出AB=24 m，
24、MB=10 m，AMB的面积为96 m2；过弦AB的中点D作DEAB交 于点E，又测得DE=8 m。请你根据以上提供的信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？(结果保留根号或精确到0.01 m)解答题专项解答题专项解答题专项类型4 探究符合条件的点的问题核心素养及解题思想和方法核心素养及解题思想和方法1.核心素养：数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象。2.数学思想方法：数形结合思想、分类讨论思想、转化思想。3.解题方法：代数法和几何法。(一一)图形中符合条件的点的问题图形中符合条件的点的问题常见模型一常见模型一1.满足最大张角满足最大张角(视野视野)的点的问
25、题的点的问题(米勒张角米勒张角)1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了一个有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆最长？即在什么部位，视角最大？最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题中的第一个极值问题。因为德国数学家米勒曾提出这个问题，所以最大视角问题又称为“米勒问题”，更一般的米勒问题如下：如图，已知点A，B是MON的边ON上的两个定点，在OM边上求作一点P，使得APB最大。解答题专项【通法通解】(1)知识必备：射影定理；圆的切线判定；圆中同弧所对圆内角、圆周角、圆外角的关系。(2)找点：如图，以OB的长为直径作圆;过点A作ON的垂线交前圆于点D；连接OD，以点O为圆心，以
26、OB的长为半径画弧，OM于点P;连接PA，PB，则点P就是所要求作的点。(3)说理：以P，A，B为三点作圆，连接BD，则ODB=90。又DAOB,易证OADODB,OD2=OAOB。又OD=OP,OP2=OAOB，得 。又POA=BOP,OPAOBP,OPA=PBO,OP为O的切线，P为切点，根据同弧所对圆周角大于圆外角，故APB最大。【反思】最大视角问题在近几年中考中频频亮相，常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查，若能从题设中挖掘出其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈，大大减少运算量，降低思维难度，缩短解题长度，从而使问题顺利解决。否则,这类问题会成为
27、学生的一道难题甚至一筹莫展，即使求得结果也费时费力，在此，我们继续强化数学建模思想在压轴题中的运用。OP OBOA OP解答题专项常见模型二常见模型二2.图中符合条件的定角问题图中符合条件的定角问题在矩形ABCD中，以AB为一边，AB=a,ADa,在其他三边上是否存在点P,使APB=45，若存在，请找出点P，若不存在，请说明理由。【通法通解】(1)知识必备：圆中圆心角与圆周角的关系。(2)找点：如图，以AB为斜边作等腰直角三角形ABO,使AOB=90;过点A以点O为圆心，以OA的长为半径画弧，分别交AD,DC,BC于点P;连接PA,PB，则点P就是所要求作的点。(3)说理:(分类讨论)AB=a
28、，AD=BCa,故以点O为圆心，OA(或OB)为半径的圆与AD,BC必有交点。当aAD 时，与BC边有两个交点P;当AD=时，与DC边有一个交点;当AD 时，与DC没有交点。122a122a122a解答题专项【反思】“数无形时难直观，形缺数时难入微”，根据条件运用基本知识点借助“隐圆”找点，再通过相关数据准确地判断满足条件的点的个数，达到数形结合万般好的效果，实现逢河架桥、逢山开路之境界！隐形圆的判定：1.到定点距离等于定长的点共圆；2.一组对角互补的四边形共圆；3.一个外角等于和它不相邻的内对角的四边形共圆；4.蝴蝶型对应角相等；5.定边对定角、定高对定角必有隐形圆。(二二)平面中符合条件的
29、其他图形的点的存在性问题平面中符合条件的其他图形的点的存在性问题符合条件的图形的点及解的问题处理策略：等腰三角形：利用“两圆一线”法找点，建立坐标系或用方程解决问题；直角三角形：“两线一圆”法找点，利用勾股定理或相似解决问题；平行四边形：“平行线构造”法或“对角线互相平分”法找点，利用平移规律、中点坐标公式、全等解决问题。以上模型，前文已有详细讲解，此处不再赘述。解答题专项【小技巧】(1)60角考虑等边三角形或特殊直角三角形，探究点的问题，常见“隐圆”常做脚手架；(2)当出现90角的问题，常与“隐圆”、相似、三角函数转移角结合；(3)点的特殊性决定角或边的情况，分类讨论是灵魂。相似三角形中的几
30、个重要结论和模型：1.如图，普通母子型,结论：AC2=ADAB。2.如图，射影定理(特殊母子型)结论：AC2=ADAB;BC2=BDAB;CD2=BDAD。3.一线三等角如图，三垂直(C=ABE=D),ACBBDE。如图，三个60(B=ADE=C),ABDDCE。如图，三等角(B=ACE=D),ABCCDE。解答题专项例例4 4【问题探究】(1)如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,如果BC边上存在点P，使APD为直角三角形，那么请画出满足条件的一个直角三角形，并求出此时AP的长；(2)如图，在四边形ABCD中，ABCD,B=90,AD=10,AB=7,CD=1,点P在边BC上，且APD
31、=90，求BP的长。【问题解决】(3)如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C分别是某单位的门房及两个仓库，其中OA=100 m，AB=200 m，OC=300 m，单位负责人想选一点P安装监控装置，用来监控AB,使APB的面积最大，且APB=2ACB,是否存在满足条件的点P？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。解答题专项2022-10-25精选最新中小学教学课件编后语 常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。
32、那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？一、释疑难 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。二、补笔记 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。三、课后“静思2分钟”大有学问 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的课后复习30分钟。2022-10-25精选最新中小学教学课件thank you!
