1、路径轨迹问题考点解读 路径轨迹问题在近年的中考中都占据了重要地路径轨迹问题在近年的中考中都占据了重要地位，都是在大题中结合题目的几何背景进行综合考查，位，都是在大题中结合题目的几何背景进行综合考查，重在考查学生对知识的应用能力考查的基本类型有：重在考查学生对知识的应用能力考查的基本类型有：利用轨迹求最值、判断轨迹并求轨迹的长，这些问题利用轨迹求最值、判断轨迹并求轨迹的长，这些问题大都利用数形结合、转化思想，将几何问题转化为代大都利用数形结合、转化思想，将几何问题转化为代数问题进行求解数问题进行求解.方法提炼1.轨迹问题分类轨迹问题分类(预测轨迹预测轨迹)(1)直线型直线型(2)圆弧型圆弧型2破
2、解轨迹问题的方法：路径虽是破解轨迹问题的方法：路径虽是“隐形隐形”的，但可用的，但可用“三点三点”显显其形其形(即起点、过程点和终点三点确定其形状即起点、过程点和终点三点确定其形状)，分五步解决问，分五步解决问题题具体五步是：具体五步是：一画：画出动点的起点、过程点和终点一画：画出动点的起点、过程点和终点二看：观察三点是否在一直线上二看：观察三点是否在一直线上三猜想：在一直线上是线段，不在一直线上是圆弧三猜想：在一直线上是线段，不在一直线上是圆弧四验证：线段型常用中位线或垂直平分线等知识解决；圆弧型常四验证：线段型常用中位线或垂直平分线等知识解决；圆弧型常利用利用“对称性对称性”和和“90的圆
3、周角所对弦是直径的圆周角所对弦是直径”等知识确定圆心和等知识确定圆心和半径半径五计算：常用勾股定理、相似三角形等知识进行求解五计算：常用勾股定理、相似三角形等知识进行求解.课堂精讲例例1问题情境：问题情境：如图如图1，P是是 O外的一点，直线外的一点，直线PO分别交分别交 O于点于点A，B，则，则PA是点是点P到到 O上的点的最短距上的点的最短距离离(1)探究：探究：请你结合图请你结合图2给予证明给予证明(2)归纳：归纳：圆外一点到圆上各点的最短距离是：这点到连圆外一点到圆上各点的最短距离是：这点到连接这点与圆心连线与圆交点之间的距离接这点与圆心连线与圆交点之间的距离(3)图中有圆，直接运用：
4、图中有圆，直接运用：如图如图3，在，在RtABC中，中，ACB90，ACBC2，以，以BC为直径的半圆交为直径的半圆交AB于点于点D，P是上的一个动点，连接是上的一个动点，连接AP，则，则AP的最小值是的最小值是_图图 1图图 2图图 3课堂精讲 (4)图中无圆，构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD中，A60，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将AMN沿MN所在的直线翻折得到AMN，连接AC，请求出AC长度的最小值 【解】由折叠知AMAM，又因M是AD的中点，可得MAMAMD，故点A在以AD为直径的圆上如图5，以点M为圆心，MA为半径画 M，过M作MHCD，垂足为H.(请继续完成下列
5、解题过程)_ _课堂精讲(5)迁移拓展，深化运用：如图6，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AEDF.连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是_图4 图5 图6课堂精讲 【分析】(1)在 O上任取一点C(不为点A，B)，连接PC，OC，证得PAPC即可得到PA是点P到 O上的点的最短距离；(3)找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P2，在半圆上取P1，连接AP1，EP1，可见，AP1EP1AE，即AP2是AP的最小值，再根据勾股定理求出AE的长，然后减去半径即可；(4)根据题意得出A的位置，进而利用锐角三角函数关系求出AC的长即可；课
6、堂精讲(5)根据正方形的性质可得 ABADCD，BADCDA，ADGCDG，然后利用“边角边”证明ABE和DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得ABEFCD，利用“SAS”证明ADG 和CDG 全等，根据全等三角形对应角相等可得FCDGAD，从而得到ABEGAD，然后求出AHB90，取 AB 的中点 O，连接 OH，OD，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得 OH12AB1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当 O，D，H 三点共线时，DH 的长度最小 课堂精讲【解】(1)证明：如图 2，在O 上任取一点 C(不为点 A，B)，连接 PC，OC.POPCOC，
7、POPAOA，OAOC，PAPC.PA 是点 P 到O 上的点的最短距离(3)51 课堂精讲(4)MA是定值，AC 长度取最小值时，即点A在 MC 上 菱形 ABCD 边长为 2，A60，M 为 AD 中点，2MDADCD2，HDM60.HMD30.HD12MD12.HC52.HMDMcos 3032.MC HM2CH2 7.ACMCMA 71.(5)51 课堂精讲 例2如图，O的直径AB的长为12，长度为4的弦DF在半圆上滑动，DEAB于点E，OCDF于点C，连接CE，AF，则sinAEC的值是_，当CE的长取得最大值时，AF的长是_课堂精讲【解析】如图1，连接 OD，DO12AB6.OCD
8、F，OCD90，CDCF12DF2.在 RtOCD 中，根据勾股定理得，OC OD2CD24 2，sinODCOCOD4 262 23.DEAB，DEO90OCD.点 O，C，D，E 在以 OD 为直径的圆上 AECODC.sinAECsinODC2 23.图 1课堂精讲如图 2，CD 是以 OD 为直径的圆中的弦，CE 要最大，即 CE 是以 OD 为直径的圆的直径，CEOD6，COE90.OCDOED90，四边形 OCDE 是矩形DFAB.过点 F 作 FGAB 于 G，易知，四边形 OCFG 是矩形，OGCF2，FGOC4 2.AGOAOG4.在 RtAFG 中，根据勾股定理得，AF A
9、G2FG24 3.图 2课后精练1 1如图，半径为 4 的O 中，CD 为直径，弦 ABCD且过半径 OD 的中点，点 E 为O 上一动点，CFAE 于点F.当点 E 从点 B 出发顺时针运动到点D 时，点 F 所经过的路径长为()第 1 题图 A.3 B.32 C.2 33 D.33 C课后精练2 2如图，在矩形 ABCD 中，AB2，AD 3，点 E 为AB 的中点，F 为 AD 边上从点A 到点 D 运动的一个动点，连接 EF，将AEF 沿 EF 折叠，点 A 落在点 G 处，在运动的过程中，点 G 运动的路径长为()A.23 B.3 C.3 D1 第2题图A课后精练【解析】如图，点 G
10、 的运动轨迹是 .在 RtAED 中，tanAEDADAE 3，DEADEG60.AG的长为120118023.故答案为：A.答案图课后精练 3如图，在平面直角坐标系中，O的半径为4，弦AB的长为3，过O作OCAB于点C，则OC的长度是_；O内一点D的坐标为(2，1)，当弦AB绕O点顺时针旋转时，点D到AB距离的最小值是_第3题图课后精练 4如图，在RtABC中，ACB90，将ABC绕顶点C逆时针旋转得到ABC，M是BC的中点，P是AB的中点，连接PM.若BC2，BAC30，则线段PM的最大值是 第4题图3【提示】如图，连接PC.PMPCCM.答案图课后精练 5如图，在矩形纸片ABCD中，AB
11、2，AD3，E是AB的中点，F是AD边上的一个动点，将AEF沿EF所在直线翻折，得到AEF，则AC的长的最小值是 第5题图【提示】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点A在线段CE上时，AC的长取最小值，如图答案图课后精练 6如图，正三角形ABC的边长为2，D，E分别是边AC，BC上的动点，且ADCE，连接BD，AE交于点G，则CG的最小值为_2第6题图课后精练 7如图，矩形ABCD，AB12，BC6，点E在AD边上，AE1，点F在AB边上运动，作一个矩形EFGH，使点H落在CD边上，过点G作GIBC，垂足为I，则GI的最大值为_第7题图课后精练8 8 如图，等腰ABC 中，ACBC
12、2 3.ACB120，以 AB 为直径在ABC 另一侧作半圆，圆心为 O，点 D 为半圆上的动点，将半圆沿 AD 所在直线翻折，翻折后的弧AD与直径 AB 交点为 F，当弧 AD 与 BC 边相切时，AF 的长为_ 第 8 题图 课后精练【解析】如图，作点O关于AD的对称点O，连接OA，ACBC2 3，ACB120，AB6.OAOA3.延长 BC 交O 于点 E，AB 是O 的直径，E90.设O与 BC 相切于点 G，则OGB90，EOGB.AEOG.ABC30，AB6，AEOG3.四边形 OAEG 为平行四边形 AOBE.OABABC30.作 OMAF 于 M，OA3，OAB30，AMMF3
13、 32.AF2AM3 3.故答案为：3 3.答案图课后精练 9如图，点E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿BEEDDC运动到点C停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1 cm/s点P，Q同时开始运动，设运动时间为t(s)，BPQ的面积为y(cm2)，已知y与t之间的函数图象如图2所示，给出下列结论：当0t10时，BPQ是等腰三角形；SABE24 cm2；当14t22时，y1006t；在运动过程中，使得ABP是等腰三角形的P点一共3个；当BPQ与BEA相似时，t14.5.其中正确结论的序号是_ 图1 图2 第 9 题 图课后精练10如图1，在ABC中，AB ，B
14、45，BC7.(1)求边AC的长；(2)D为边AC的中点，过点D作DEAB交边BC于点E，将CDE绕C点顺时针旋转，得到对应的三角形CDE，连接AD，BE，AD与BE交于M，连接MC.求证：ACDBCE；ADC30时，求MC的长；(3)在CDE旋转的过程中，ADE的面积是否存在最大值，若存在，请直接写出ADE最大面积，若不存在，请说明理由图1 图2课后精练解：(1)过 A 作 AHBC，垂足为 H，如图 1.在 RtABH 中，A45，AB4 2，AHBH4.在 RtACH 中，AH4，CHBCBH3，由勾股定理，得 AC AH2CH25.图 1 课后精练(2)证明：D 为 AC 的中点，DE
15、AB，DE 为CAB 的中位线 点 E 为 BC 的中点 CDE 旋转得到CDE，DCDECE，CDCD，CECE.ACCDBCCE12.ACDBCE.课后精练过 C 作 CNAD，垂足为 N，如图 2，ADC30，CN12CD12CD54.ACDBCE，ADCBEC30.点 M，C，D，E四点共圆 MEDMCD180.DECDEC45，MEDDECMEC75.MCD105.MCN45.MC 2CN5 24.(3)5 272 图2课后精练 11如图，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，BC上，连接EF，将BEF沿直线EF翻折得到HEF，AB8，BC6，AE EB3 1.(1)如图1，当BEF4
16、5时，EH的延长线交DC于点M，求HM的长；(2)如图2，当FH的延长线经过点D时，求tanFEH的值；(3)如图3，连接AH，HC，当点F在线段BC上运动时，试探究四边形AHCD的面积是否存在最小值？若存在，求出四边形AHCD的面积的最小值；若不存在，请说明理由 图1 图2 图3课后精练解：(1)当BEF45时，易知四边形EBFH是正方形，AB8，AE EB3 1，AE6，EB2.CEBCBEM90，四边形EBCM是矩形EMBC6.EHBE2.HM624.课后精练(2)如图 1，连接 DE.在 RtEAD 中，A90，ADAE6，DE6 2.在 RtEDH 中，DH DE2EH22 17，设
17、 BFFHx，则 DFx2 17，FC6x，在 RtDFC 中，DF2DC2CF2，(2 17x)282(6x)2，解得 x 173.tanFEHFHEH1732.图 1课后精练(3)如图 2，连接 AC，作 EMAC 于 M.EAMBAC，AMEB90，AMEABC.AEACEMBC，即626282EM6.EM185.S四边形 AHCDSACHSADC，SACD126824，当ACH 的面积最小时，四边形 AHCD 的面积最小 当 EH 与 EM 重合时，点 H 到直线 AC 的距离最小，最小值185285，ACH 的面积的最小值1210858.四边形 AHCD 的面积存在最小值，且面积的最小值为 82432.图 2学习了本课后，你有哪些收获和感想？学习了本课后，你有哪些收获和感想？告诉大家好吗？告诉大家好吗？
