1、一、基础知识图表基础知识图表单调性单调性定义定义 判定方法判定方法 应用应用定义法定义法 复合函数法复合函数法已知函数单已知函数单调性调性图象法图象法奇偶性奇偶性定义定义 判定方法判定方法应用应用定义法定义法变通法变通法图象法图象法图象性质图象性质函数性质函数性质函数的单调性和奇偶性函数的单调性和奇偶性二、函数的单调性二、函数的单调性 1、如果对于属于定义域如果对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量内某个区间上的任意两个自变量的值的值x1，x2，当当x1x2，都有，都有f(x1)f(x2)，那么就说那么就说f(x)在这个在这个区间上是区间上是增函数增函数.2、如果对于属于定义域、如果对于
2、属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量内某个区间上的任意两个自变量的值的值x1，x2，当当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说那么就说f(x)在这在这个区间上是个区间上是减函数减函数.3、如果函数、如果函数f(x)在在某个区间某个区间是增函数或减函数，那么就说是增函数或减函数，那么就说f(x)在这一区间具有在这一区间具有单调性单调性，这一区间叫做，这一区间叫做f(x)的的单调区间单调区间.函数图像能直观地显示函数的单调性函数图像能直观地显示函数的单调性.在单调区间上的增函在单调区间上的增函数，它的图像是沿数，它的图像是沿x轴正方向逐渐上升的；在单调区间上的减轴正方向逐渐上升
3、的；在单调区间上的减函数，它的图像是沿函数，它的图像是沿x轴正方向逐渐下降的轴正方向逐渐下降的.例例1、画出函数画出函数y-x2+2x+3的图像，的图像，并指出函数的单调区间并指出函数的单调区间.评析评析：函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上.y0 x-11解：解：函数图像如下图所示，当x0时，y-x2+2x+3-(x-1)2+4；当x0时，y-x2-2x+3-(x+1)2+4.在(-，-1和0，1上，函数是增函数.在-1，0和1，+）上，函数是减函数.拓展：拓展：已知函数f(x)x2+2(a-1)x+2在区间(-，4上是减函数，
4、求实数a的取值范围.评析评析这是涉及逆向思维的问题，即已知函数的单调性，求字母参数范围，要注意利用数形结合.解：解：f(x)x2+2(a-1)x+2x+(a-1)-(a-1)2+2，此二次函数的对称轴是x1-a.因为在区间(-，1-a上f(x)是单调递减的，若使f(x)在(-，4上单调递减，对称轴x1-a必须在x=4的右侧或与其重合，即1-a4，a-3.分析分析要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征.变式：在（变式：在（2,4）上单调呢？不单调呢？）上单调呢？不单调呢？探究1.如果分段函数为定义域上的减函数，那么在每个分段区间内的单调性是怎样的？探究2.要保证分段函数在整个定义域内单调
5、递减，需要满足什么条件？解析由x1时，f(x)x22ax2a是减函数，得a1；由x1时，函数f(x)ax1是减函数，得a0.分段点x1处的值应满足122a12a1a1，解得a2.所以2a0.答案B规律总结在应用分段函数整体的单调性求解参数的取值范围时，不仅要保证分段函数的每一段上的函数是单调的，而且还要求函数的特殊点分段点处的值，也要结合函数的单调性比较大小，如本例中的分段点x1，即需要在此处列出满足题意的关系式，求出a的限制条件例例3：函数函数f(x)是定义在（是定义在（0，+）上的增函数，满足：）上的增函数，满足：f(xy)=f(x)+f(y)，f(8)=3，解不等式，解不等式f(x)+f
6、(x-2)34，+）注：利用函数的单调性解不等式时，必须考虑条件和定义域注：利用函数的单调性解不等式时，必须考虑条件和定义域例例4:4:已知函数已知函数f(x)f(x)在在R R上是增函数，上是增函数，g(x)g(x)在在a,ba,b上是减函数，上是减函数，求证：求证：fg(x)fg(x)在在a,ba,b上是减函数上是减函数.设设x1,x2a,b,x1,x2a,b,且且x1x2x1g(x2),g(x1)g(x2),又又f(x)f(x)在在R R上递增，上递增，而而g(x1)Rg(x1)R，g(x2)Rg(x2)R，fg(x1)fg(x2),fg(x1)fg(x2),fg(x)fg(x)在在a,
7、ba,b上是减函数上是减函数.证明：证明：复合函数的单调性：复合函数的单调性：已知函数已知函数y=f(u)和和u=g(x)，u=g(x)在区间在区间（a，b）上具有单调性，当）上具有单调性，当x（a，b）时）时u（m，n）且）且 y=f(u)在（在（m，n）上也上也具有单调性，则复合函数具有单调性，则复合函数（a，b）上具有单调性，）上具有单调性，规律如下：规律如下：y=f(u)增增 减减u=g(x)增增 减减增增 减减 y=fg(x)增增减减 减减 增增 注：注：1、复合函数、复合函数y=fg(x)的单调区间必须是其定义域的的单调区间必须是其定义域的子集子集2、对于复合函数、对于复合函数y=
8、fg(x)的单调性是由函数的单调性是由函数y=f(u)及及u=g(x)的单调性确定的且规律是的单调性确定的且规律是“同增，异减同增，异减”例例6：求函数求函数y=f(x)在在R上是减函数，上是减函数，求求y=f（|1-x|）的单调递增区间。）的单调递增区间。单调递增区间是（单调递增区间是（-，1例例5：2322 xx求函数求函数y=的单调区间的单调区间单减区间是（单减区间是（-，-，单增区间是，单增区间是2，+）12三、函数的奇偶性1、如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)-f(x)，那么f(x)叫做奇函数.如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)f(x)，那
9、么f(x)叫做偶函数.2、奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y轴对称.如例1中的函数的图象关于y轴对称，故其为偶函数。另一方面，由定义f(-x)-（-x）2+2-x+3=-x2+2x+3=f(x)，故其为偶函数。3、函数按是否具有奇偶性可分为四类：奇函数，偶函数，既奇且偶函数(既是奇函数又是偶函数)，非奇非偶函数(既不是奇函数也不是偶函数例7、判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)(2)f(x)(3)f(x)=(x-1).(4)f(x)=22)1()1(xxxx112211xxxxx212注意：注意：由于函数解析式中的绝对值使得所给函数不像具有奇偶性，若不作深入思考，便会作出其非奇非偶的
10、判断.但隐含条件(定义域)被揭示之后，函数的奇偶性就非常明显了.这样看来，解题中先确定函数的定义域不仅可以避免错误，而且有时还可以避开讨论，简化解题过程.)0)(1)()(xfxfxf评析评析用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下：(1)求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称.(2)计算f(-x)，并与f(x)比较，判断f(-x)f(x)或f(-x)-f(x)之一是否成立.f(-x)与-f(x)的关系并不明确时，可考查其等价形式f(-x)f(x)0或是否成立，从而判断函数的奇偶性.(2011浙江)若函数f(x)x2|xa|为偶函数，则实数a_.答案0分析逆用偶函数的定义求a.解析显然xR
11、，由已知得f(x)(x)2|xa|x2|xa|，又f(x)为偶函数，所以f(x)f(x)，即x2|xa|x2|xa|，即|xa|xa|，又xR，所以a0.例例9：已知函数：已知函数 （1）判断它的奇偶性。）判断它的奇偶性。（2）求证它是单调递增函数。）求证它是单调递增函数。1010()1010 xxxxf x分析：根据定义讨论(或证明)函数的单调性的一般步骤是：(1)设x1、x2是给定区间内任意两个值，且x1x2；(2)作差f(x1)-f(x2)，并将此差式变形；(3)判断f(x1)-f(x2)的正负，从而确定函数的单调性.例例10：已知：已知f(x)是是R上的奇函数，当上的奇函数，当x0时，时，f(x)=x2-2x,求求f(x)的解析式。的解析式。函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明；(3)如果f(4)1，f(3x1)3，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围解析(1)令x1x21，得f(11)f(1)f(1)，解得f(1)0.
