1、 2.4 幂函数与二次函数幂函数与二次函数 最新考纲 考情考向分析 1.了解幂函数的概念 2.结合函数 yx，yx2，yx3，y1 x，y 1 2 x 的图象，了解它们的变化情况 3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质 4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解 决简单问题. 以幂函数的图象与性质的应用为主，常与 指数函数、对数函数交汇命题；以二次函 数的图象与性质的应用为主，常与方程、 不等式等知识交汇命题，着重考查函数与 方程、转化与化归及数形结合思想，题型 一般为选择、填空题，中档难度. 1幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如 yx(R)的函数称为幂函数，其中 x 是自变量， 是常
2、数 (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数 yx yx2 yx3 y 1 2 x yx 1 图象 性 质 定义域 R R R x|x0 x|x0 值域 R y|y0 R y|y0 y|y0 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在 R 上单 调递增 在(， 0上单调 递减； 在(0， ) 上单调递增 在 R 上单 调递增 在0，)上 单调递增 在(，0) 和(0，) 上单调递减 公共点 (1,1) 2二次函数的图象和性质 解析式 f(x)ax2bxc(a0) f(x)ax2bxc(a0 且 0. 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)
3、(1)二次函数 yax2bxc(a0)，xa，b的最值一定是4acb 2 4a .( ) (2)在 yax2bxc(a0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大 小( ) (3)函数 y2 1 2 x是幂函数( ) (4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点( ) (5)当 n0)， 若 f(m)”“ 解析 f(x)x2xa 图象的对称轴为直线 x1 2，且 f(1)0，f(0)0，而 f(m)cba Babcd Cdcab Dabdc 答案 B 解析 由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近 x 轴，由题图知 abcd，故选 B. 3已知
4、幂函数 f(x) 2 23 (22) nn nnx (nZ)的图象关于 y 轴对称，且在(0，)上是减函 数，则 n 的值为( ) A3 B1 C2 D1 或 2 答案 B 解析 由于 f(x)为幂函数，所以 n22n21，解得 n1 或 n3，经检验只有 n1 符合 题意，故选 B. 4(2018 阜新模拟)若 1 3 (1)a 1 3 (32 )a ，则实数 a 的取值范围是_ 答案 (，1) 2 3， 3 2 解析 不等式 1 3 (1)a 32a0或32a0，从而 b 2a1 2， 22a，a1 2. 命题点 4 二次函数中的恒成立问题 例 5 (1)已知二次函数 f(x)满足 f(x
5、1)f(x)2x，且 f(0)1，若不等式 f(x)2xm 在区间 1,1上恒成立，则实数 m 的取值范围为_ 答案 (，1) 解析 设 f(x)ax2bxc(a0)，由 f(0)1，得 c1，又 f(x1)f(x)2x，得 2axab 2x，所以 a1，b1，所以 f(x)x2x1.f(x)2xm 在区间1,1上恒成立，即 x2 3x1m0 在1,1上恒成立，令 g(x)x23x1m x3 2 25 4m，x1,1，g(x) 在1,1上单调递减，所以 g(x)ming(1)131m0，所以 m1)， 若在区间1,1上 f(x)8 恒成立， 则 a 的最大值为_ 答案 2 解析 令 axt，
6、因为 a1， x1,1， 所以1 ata， 原函数化为 g(t)t 23t2， t 1 a，a ， 显然 g(t)在 1 a，a 上单调递增，所以 f(x)8 恒成立，即 g(t)maxg(a)8 恒成立，所以有 a 2 3a28，解得5a2，又 a1，所以 a 的最大值为 2. 思维升华 解决二次函数图象与性质问题时要注意： (1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论； (2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草 图)，再“定量”(看图求解) (3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 解题思路：一是分离参数；二是不分离
7、参数两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值 域 跟踪训练 2 (1)函数 yx2bxc(x0，)是单调函数的充要条件是( ) Ab0 Bb0 Cb0 Db2 x 2 x2对 10， 0， 120a 1 20. 5 函数 f(x)(x2)(axb)为偶函数， 且在(0， )上单调递增， 则 f(2x)0 的解集为( ) Ax|20 的解集为x|2x2 或 2xf(x) 解析 分别作出 f(x)，g(x)，h(x)的图象如图所示， 可知 h(x)g(x)f(x) 8已知二次函数 yf(x)的顶点坐标为 3 2，49 ，且方程 f(x)0 的两个实根之差的绝对值等 于 7，则此二次函数的解析式是_
8、 答案 f(x)4x212x40 解析 设 f(x)a x3 2 249(a0)， 方程 a x3 2 2490 的两个实根分别为 x 1，x2， 则|x1x2|249 a 7， 所以 a4，所以 f(x)4x212x40. 9 已知函数f(x)x2(a1)x5在区间 1 2，1 上为增函数， 那么f(2)的取值范围是_ 答案 7，) 解析 函数 f(x)x2(a1)x5 在区间 1 2，1 上为增函数，由于其图象(抛物线)开口向上， 所以其对称轴xa1 2 或与直线x1 2重合或位于直线x 1 2的左侧， 即应有 a1 2 1 2， 解得a2， 所以 f(2)4(a1)257，即 f(2)7
9、. 10设函数 f(x)2x24x 在区间m，n上的值域是6，2，则 mn 的取值范围是 _ 答案 0,4 解析 令 f(x)6，得 x1 或 x3；令 f(x)2，得 x1.又 f(x)在1,1上单调递增，在 1,3上单调递减，当 m1，n1 时，mn 取得最小值 0；当 m1，n3 时，mn 取 得最大值 4. 11 (2018 河南南阳一中月考)已知函数 f(x)x2mx1， 若对于任意 xm， m1， 都有 f(x)4ac，正确； 对称轴为 x1，即 b 2a1,2ab0，错误； 结合图象，当 x1 时，y0， 即 abc0，错误； 由对称轴为 x1 知，b2a.又函数图象开口向下，所
10、以 a0，所以 5a2a，即 5ab，正 确 14当 x(1,2)时，不等式 x2mx40 恒成立，求 m 的取值范围 解 方法一 不等式 x2mx40 对 x(1,2)恒成立， mxx24 对 x(1,2)恒成立， 即 m x4 x 对 x(1,2)恒成立， 令 yx4 x，x(1,2)， 则函数 yx4 x在 x(1,2)上是减函数 4y5，5 x4 x 4， m5. 方法二 设 f(x)x2mx4，当 x(1,2)时， 由 f(x)0 恒成立，得 f10， f20， 解得 m5， m4， 即 m5. 15若函数 (x)x2m|x1|在0，)上单调递增，则实数 m 的取值范围是_ 答案 2
11、,0 解析 当 0x1 时，(x)x2mxm，此时 (x)单调递增，则m 20，即 m0； 当 x1 时，(x)x2mxm，此时 (x)单调递增，则m 21，即 m2. 综上，实数 m 的取值范围是2,0 16 是否存在实数 a2,1， 使函数 f(x)x22axa 的定义域为1,1时， 值域为2,2？ 若存在，求 a 的值；若不存在，请说明理由 解 f(x)(xa)2aa2， 当2a1 时，f(x)在1,1上为增函数， 由 f12， f12， 得 a1(舍去)； 当1a0 时，由 fa2， f12， 得 a1； 当 0a1 时，由 fa2， f12， 得 a 不存在； 综上可得，存在实数 a 满足题目条件，a1.
