1、第1课时导数与不等式高考专题突破一高考中的导数应用问题证明不等式题型一多维探究命题点1构造函数法例1(2020赣州模拟)已知函数 若曲线yf(x)与曲线yg(x)的一个公共点是A(1,1)，且在点A处的切线互相垂直.(1)求a，b的值；因为曲线yf(x)与曲线yg(x)的一个公共点是A(1,1)，且在点A处的切线互相垂直，所以g(1)1，且f(1)g(1)1，所以g(1)a1b1，g(1)a1b1，解得a1，b1.所以h(x)在1，)上单调递增，所以当x1时，h(x)h(1)0，命题点2分拆函数法例2(2019福州期末)已知函数 f(x)eln xax(aR).(1)讨论 f(x)的单调性；若
2、a0，则f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增；所以当0 x1时，g(x)1时，g(x)0，g(x)单调递增，所以g(x)ming(1)e，综上，当x0时，f(x)g(x)，证明因为x0，当ae时，由(1)知，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减.所以f(x)maxf(1)e，(2)当ae时，证明：xf(x)ex2ex0.(1)利用导数证明不等式的基本思路是依据函数的单调性，求得函数的最值，然后由 f(x)f(x)max或 f(x)f(x)min证得不等式.(2)证明f(x)g(x)，可以构造函数h(x)f(x)g(x)，然后利用h(x)的最值证明不等式.(3)若直接求导比较
3、复杂或无从下手时，可将待证式进行变形分拆，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目的.思维升华SI WEI SHENG HUA跟踪训练1(1)设函数 f(x)ln xx1.讨论 f(x)的单调性；解由题设知，f(x)的定义域为(0，)，当0 x0，f(x)单调递增；当x1时，f(x)0，f(x)单调递减.证明由知，f(x)在x1处取得极大值也为最大值，最大值为f(1)0.所以当x1时，ln x0；当x(1，)时，h(x)0时，g(x)h(x)，即f(x)1.不等式恒成立或有解问题题型二师生共研解函数的定义域为(0，)，令f(x)0，得x1.当x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调
4、递增；当x(1，)时，f(x)0，所以g(x)为单调增函数，所以g(x)g(1)2，故k2，即实数k的取值范围是(，2.引申探究本例中(2)若改为：x1，e，使不等式 f(x)成立，求实数k的取值范围.由本例(2)解题知，g(x)为单调增函数，利用导数解决不等式的恒成立或有解问题的策略(1)构造函数，利用导数求出最值，进而求出参数的取值范围.(2)分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.思维升华SI WEI SHENG HUA跟踪训练2已知函数 f(x)ex1xax2.(1)当a0时，求证：f(x)0；证明当a0时，f(x)ex1x，f(x)ex1.当x(，0)时，f(x)0.故f
5、(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，f(x)minf(0)0，f(x)0.(2)当x0时，若不等式 f(x)0恒成立，求实数a的取值范围.解f(x)ex12ax，令h(x)ex12ax，则h(x)ex2a.当2a1，即a 时，在0，)上，h(x)0，h(x)单调递增，h(x)h(0)，即f(x)f(0)0，f(x)在0，)上为增函数，f(x)f(0)0，当a 时满足条件.当2a1，即a 时，令h(x)0，解得xln(2a)，在0，ln(2a)上，h(x)0，h(x)单调递减，当x(0，ln(2a)时，有h(x)h(0)0，即f(x)f(0)0，f(x)在区间(0，ln(2a)上为
6、减函数，f(x)2.f(x)在(0，)上是增函数，在(0，x0)上f(x)单调递减，在(x0，)上f(x)单调递增，f(x)在xx0处有极小值，也是最小值.故f(x)2，即exln x2.二、分离ln x与ex例2(2019长沙三校统考)已知函数 f(x)ax2xln x.(1)若函数 f(x)在(0，)上单调递增，求实数a的取值范围；解由题意知，f(x)2axln x1.因为函数f(x)在(0，)上单调递增，易知g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，则g(x)maxg(1)1，再令(x)exex，则(x)eex，易知(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，则(x)
7、max(1)0，所以exex0.故原不等式成立.三、借助exx1和ln xx1进行放缩例3(2019长春质检)已知函数 f(x)exa.(1)若函数 f(x)的图象与直线l：yx1相切，求a的值；解f(x)ex，因为函数f(x)的图象与直线yx1相切，所以令f(x)1，即ex1，得x0，即f(0)1，解得a2.(2)若 f(x)ln x0恒成立，求整数a的最大值.解先证明exx1，设F(x)exx1，则F(x)ex1，令F(x)0，则x0，当x(0，)时，F(x)0，当x(，0)时，F(x)ln x，当a2时，ln x0恒成立.当a3时，存在x1，使exaln x不恒成立.综上，整数a的最大值
8、为2.基础保分练1.已知函数 f(x)ln xx，g(x)xex1，求证：f(x)g(x).12345课时精练证明令F(x)f(x)g(x)ln xxxex1(x0)，12345当x(0，x0)时，G(x)0，F(x)0，F(x)为增函数；当x(x0，)时，G(x)0，F(x)ln 21时，g(x)的最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R内单调递增.于是当aln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0).又g(0)0，从而对任意x(0，)，g(x)0.即exx22ax10，故exx22ax1.(2)求证：当aln 21且x0时，exx
9、22ax1.3.(2017全国)已知函数 f(x)ln xax2(2a1)x.(1)讨论 f(x)的单调性；解f(x)的定义域为(0，)，若a0，则当x(0，)时，f(x)0，故 f(x)在(0，)上单调递增.123451234512345当x(0,1)时，g(x)0；12345当x(1，)时，g(x)0时，g(x)0.12345技能提升练4.已知函数 f(x)aln x ，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y2.(1)求a，b的值；由曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y2，可得f(1)2b2，f(1)ab0，解得ab1.1234512345可得g(x)在(0，)上单调递增，12345123455.已知函数f(x)为偶函数，当x0时，f(x)2ex，若存在实数m，对任意的x1，k(k1)，都有f(xm)2ex，求整数k的最小值.拓展冲刺练12345解因为f(x)为偶函数，且当x0时，f(x)2ex，所以f(x)2e|x|，对于x1，k，由f(xm)2ex得2e|xm|2ex，两边取以e为底的对数得|xm|ln x1，所以xln x1mxln x1在1，k上恒成立，设g(x)xln x1(x1，k)，所以g(x)在1，k上单调递减，所以g(x)ming(k)kln k1，
