1、2022-10-291第七章第七章 关于机械优化设计中的几个问题关于机械优化设计中的几个问题2.2.多目标问题的评价函数多目标问题的评价函数;3.3.离散变量问题的最优化方法离散变量问题的最优化方法.1.1.数学模型的改进处理数学模型的改进处理;2022-10-2927-1 7-1 数学模型的改进处理数学模型的改进处理 目的目的:改善性态改善性态;加快收敛速度加快收敛速度;提高计算稳定性提高计算稳定性.一一.设计变量应取相同的数量级设计变量应取相同的数量级设计变量常存在量级差异设计变量常存在量级差异:模模 数数:1-10 1-10 毫米毫米;齿轮齿数齿轮齿数:12-100:12-100多多;杆
2、杆 长长:几百几百几千毫米几千毫米.这在一维方法中选取初始进退距产生了困难这在一维方法中选取初始进退距产生了困难.改进办法改进办法:将设计变量全部无量纲化和规格化将设计变量全部无量纲化和规格化.2022-10-2931.1.用初始点的各分量进行标度用初始点的各分量进行标度若初始点若初始点 为优化问题的近似解为优化问题的近似解,可可改用改用 作设计变量作设计变量.TnxxxX)0()0(2)0(1)0(.niiiixxx,.,2,1)0(,/新问题的初始点应为新问题的初始点应为:TX1.11)0(求出最优解后再转换成原设计变量求出最优解后再转换成原设计变量:niiiixxx,.,2,1)0(,2
3、.2.通过设计变量的变化范围进行标度通过设计变量的变化范围进行标度当有当有nigiidixxx,.,2,1,作变换作变换nidigidiiixxxxx,.,2,1,这样可使这样可使 的值在的值在(0-1)(0-1)变化变化.ix其反变换公式为其反变换公式为nididigiiixxxxx,.,2,1,)(*也可通过调整单位来达到目的也可通过调整单位来达到目的.2022-10-294二二.各约束函数值应取相同的数量级各约束函数值应取相同的数量级 利用罚函数法解题时利用罚函数法解题时,灵敏度高的先满足灵敏度高的先满足,灵敏度低的灵敏度低的则很难满足则很难满足.1.1.利用系数来调整约束的数量级利用系
4、数来调整约束的数量级0)(Xgu0)(Xgkuu为正数为正数uk2.2.将约束条件规格化将约束条件规格化例例1 1例例2 21)0(bxbabbxaii01)(1bxXgi0)(2babxXgi01)(Xg2022-10-295三三.尽量降低维数和减少约束条件尽量降低维数和减少约束条件1.1.尽可能消去等式约束尽可能消去等式约束2.2.去掉消极约束去掉消极约束3.3.通过变换减少约束通过变换减少约束如如)0,(,babxa可消去上述两约束可消去上述两约束.作代换作代换yabax2sin)(可自动满足可自动满足.因为因为1sin,0sin,22ybxyax时当时当2022-10-296四四.目标
5、函数的尺度变换目标函数的尺度变换 对于二次函数对于二次函数,若若HessionHession矩阵的主对角线元素的矩阵的主对角线元素的大小很悬殊大小很悬殊,则其等值线是一族扁平的椭圆则其等值线是一族扁平的椭圆.利用梯度利用梯度法和共轭方向法求解时有困难法和共轭方向法求解时有困难稍有计算误差稍有计算误差,搜索方搜索方向便有较大的偏离向便有较大的偏离.办法办法:通过变换通过变换,使使HessionHession矩阵的主对角线元素矩阵的主对角线元素 变为相同值变为相同值.2022-10-297HessionHession矩阵的主对角线元素矩阵的主对角线元素*因要用到二阶导数因要用到二阶导数,较麻烦较麻
6、烦.假定假定fexdxcxxbxaxXF21222121)(,2)(212axXFcxXF2)(222作变换作变换,2212111xFxaxx2222222xFxcxx可将可将HessionHession矩阵的主对角线元素全部化为矩阵的主对角线元素全部化为1.1.2022-10-2987-2 7-2 多目标问题的评价函数多目标问题的评价函数常要求实现常要求实现:成本、重量、体积成本、重量、体积利润、产量、承载能力利润、产量、承载能力若兼顾多方面的要求，则成为若兼顾多方面的要求，则成为多目标问题多目标问题。一一.主要目标法主要目标法1.1.线性加权和法线性加权和法 在在m m个目标中选一个最主要
7、的目标做目标函数个目标中选一个最主要的目标做目标函数,其余其余全部转化为约束条件全部转化为约束条件.二二.统一目标法统一目标法miiiXfwXF1)()(-权系数权系数式中式中,21iiiwww-校正权系数校正权系数(反映量级差异反映量级差异)-本征权系数本征权系数(反映相对重要程度反映相对重要程度)2022-10-2992.2.分数法分数法(乘除法乘除法)先将单目标分成两类先将单目标分成两类:(1)(1)越小越好的单目标越小越好的单目标-成本、重量、体积等成本、重量、体积等;(2)(2)越大越好的单目标越大越好的单目标-利润、产量、承载能力等利润、产量、承载能力等;然后如下建立目标函数然后如
8、下建立目标函数:211211)()()(mjjmiiXfwXfwXF越小越好越小越好越大越好越大越好2022-10-29103.3.平方加权和法平方加权和法 若已知各单目标相应有理想的希望值若已知各单目标相应有理想的希望值:,通常如下通常如下建立误差函数建立误差函数:00201,.,mfff210)()(miiiifXfwXF0iiifff 权系数由各单目标允许的宽容值权系数由各单目标允许的宽容值 决定决定:ifif 显然显然,大大,不重要不重要,反之则重要反之则重要.因而可将权系数取为因而可将权系数取为:21iifw故有故有210)()(miiiiffXfXF4.4.极大极小法极大极小法 对
9、于误差问题对于误差问题,可使最大误差达到最小可使最大误差达到最小,因而可如下建立目标因而可如下建立目标函数函数:miiifXfXF,.,2,10,)(max)(2022-10-2911三三.功效函数法功效函数法 对各单目标引入功效函数对各单目标引入功效函数:1.1.功效函数功效函数miiiifDd,.,2,1),(*很满意时很满意时,;,;不能接受时不能接受时,;,;其余其余 if1id10 id0id2.2.建立功效函数的方法建立功效函数的方法 有指数法、折线法、直线法等，仅介绍直线法。有指数法、折线法、直线法等，仅介绍直线法。满意满意不能接受不能接受1不能接受不能接受满意满意13.3.评价
10、函数评价函数mmdddD.21*特点特点:(1)(1)越大越好越大越好;(2)(2)有一个单目标不能接受有一个单目标不能接受,则总方案不能接受则总方案不能接受.满意满意不能接受不能接受1不能接受不能接受2022-10-2912四四.分层序列法分层序列法先将各单目标按重要性进行排队先将各单目标按重要性进行排队,然后依次对各单目标求最优解然后依次对各单目标求最优解.*后者的可行域是在前者最优点附近给出的宽容带与后者的可行域是在前者最优点附近给出的宽容带与D D的交集的交集.1f2fxfoD1f1D1f2fx2022-10-29137-3 7-3 离散变量问题的最优化方法离散变量问题的最优化方法一一
11、.基本概念基本概念*工程设计必须符合本行业的规范和标准工程设计必须符合本行业的规范和标准,某些变量只能取离散值某些变量只能取离散值.1.1.数学模型数学模型CDpiXgXXXXDXFu,.,2,1,0)()(minnRDXDTmDRxxxX.21CTnmmCRxxxX.21(离散子空间离散子空间)(连续子空间连续子空间)*若若 ,为连续型问题为连续型问题;若若 ,为全离散问题为全离散问题.CRDR2022-10-2914(1)(1)离散点单位邻域离散点单位邻域2.2.离散点邻域与离散最优解离散点邻域与离散最优解miiiiiixxxXXU,.,2,1,)(X1x2x1122相邻值间距iix邻域内
12、共有邻域内共有个离散点个离散点.mCCC3131313 (2)(2)离散最优解离散最优解 若若 ,且对于所有的且对于所有的 恒有恒有 ,则称则称 为离散局部为离散局部最优点最优点.DX DXUX)()()(XFXFX2022-10-2915*离散最优点往往有多个离散最优点往往有多个,即使是凸规划也不一定是即使是凸规划也不一定是 唯一的唯一的.凡通过最优点单位邻域的约束均为起作用约束凡通过最优点单位邻域的约束均为起作用约束.2022-10-2916二二.凑整解法凑整解法 先将各变量视为连续量先将各变量视为连续量,求得连续最优点后再比较该点所在离散单求得连续最优点后再比较该点所在离散单元上可行离散
13、点的值而获得最优解元上可行离散点的值而获得最优解.离散最优点离散最优点2X连续最优点连续最优点1X*存在问题存在问题:(1)(1)离散单元上可能无可行点离散单元上可能无可行点;(2)(2)凑整解不一定是离散最优解凑整解不一定是离散最优解;*可改在连续最优点最接近的离散点单位邻域中寻找可改在连续最优点最接近的离散点单位邻域中寻找2022-10-2917三三.退元法退元法(适于混合离散规划适于混合离散规划,且离散变量较少时且离散变量较少时)1.1.基本思路基本思路将问题转化为连续量问题求解将问题转化为连续量问题求解.2.2.计算步骤计算步骤(1)(1)将将 个离散量视为连续量个离散量视为连续量,求
14、出连续最优解求出连续最优解;mTCDXXX,(2)(2)固定固定 ,将将 在其离散单元上离散得在其离散单元上离散得 个离散点个离散点;CXDXmk2CiDiXXX)(ki,.,2,1再分别从这些初选点出发再分别从这些初选点出发,对其连续分量进行优化对其连续分量进行优化.(3)(3)在在k k个解中个解中,比较出问题的最优解比较出问题的最优解.2022-10-2918例例.对图示二维问题对图示二维问题,X1x2xDx11Dx212x1x)1(X)2(XAB-离散量离散量1x-连续量连续量2x4.比较比较 A A 和和 B,B B,B 点为最优点为最优.1.求出连续最优点求出连续最优点X3.以以
15、为变量为变量,从从 出发出发,求求出最优点出最优点A A;以以 为变量为变量,从从 出发出发,求求出最优点出最优点 B B;2x2x)2(X)1(X2.离散离散 ,固定固定 ,得得初选点初选点 ,;1x2x)1(X)2(X2022-10-2919四四.网格法网格法1.1.穷举法穷举法 对以各变量上、下限为界围成的离散空间中的所有的对以各变量上、下限为界围成的离散空间中的所有的离散点依次计算离散点依次计算(需检验可行性需检验可行性,比较函数值大小比较函数值大小),),最终最终得出离散最优点得出离散最优点.适于纯离散变量问题适于纯离散变量问题.*(1)(1)计算稳定、可靠计算稳定、可靠,可获全局最
16、优；可获全局最优；(2)(2)点数过多时点数过多时,计算量很大计算量很大.如如:n=6,J=20.n=6,J=20.需检查需检查20206 6=64000000=64000000个点，假定每个点，假定每点耗时点耗时0.010.01秒秒,共需共需178178小时小时.2022-10-29202.2.分层网络法分层网络法 分分k k轮进行轮进行,第一轮间第一轮间距 为距 为 ,第 二 轮第 二 轮为为 ik)2(2ik)1(22xgx1dx11xdx2gx2需搜索的点数用下式估计需搜索的点数用下式估计:)1)(35(1)21int(11kJNnnniki第一层点数第一层点数以后每以后每层点数层点数层数层数对前例对前例,如取如取k=3,k=3,则需计算点数为则需计算点数为:454172)35(5666N仅需仅需7.577.57分钟分钟.
