1、数学试题（理科） 惠州市 2020 届高三第二次调研考试 惠州市 2020 届高三第二次调研考试 理科数学 理科数学 2019.10 全卷满分 150 分，时间 120 分钟 注意事项： 注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填 写在答题卡上。 2作答选择题时，选出每个小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信 息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。 3非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上， 写在本试卷上无效。 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小
2、题 5 分，共分，共 60 分分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求 在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求. 1集合 Mx | lg x 0，Nx | x2 4，则 M N（ ）. A(-2,0) B1,2) C(1,2 D(0,2 2设复数z满足(1 )1i zi（其中i为虚数单位） ，则z （ ）. Ai Bi C2i D2i 3已知 n S为数列 n a的前n项和，1 nn Sa，则 5 S（ ）. A 31 16 B 31 2 C 1 32 D 31 32 4已知, a b为互相垂直的单位向量，若=cab，则cos, b c（ ）. A 2 2 B 2 2
3、C 3 3 D 3 3 5下列说法正确的是（ ） 从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指 标检测，这样的抽样是分层抽样 某地气象局预报：5 月 9 日本地降水概率为 90%，结果这天没下雨，这表明天气预 报并不科学 在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好 在回归直线方程中，当解释变量 x 每增加 1 个单位时，预报变量增 加 0.1 个单位 A B C D 101 . 0 +=+=xyy 数学试题（理科） 6若 31 cos 23 = ，且 22 ，则sin2的值为（ ）. A 4 2 9 B 2 2 9 C 2 2 9 D 4 2 9
4、7设:p实数, x y满足()() 22 112xy+，:q实数, x y满足 1, 1 1 yx yx y ， 则p是q的（ ）条件. A必要不充分 B充分不必要 C充要 D既不充分也不必要 8我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。哥德巴赫猜想是 “每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 40=3+37在不超过 40 的素数中， 随机选取 2 个不同的数，其和等于 40 的概率是（ ）. A 1 15 B 1 17 C 1 22 D 1 26 【注：如果一个大于 1 的整数除了 1 和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数。 】 9函数 1 ( ) ln1 f
5、 x xx = 的图象大致是（ ）. A. B. C. D. 10我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知 1 F、 2 F是一对相关曲线的焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当 12 60FPF=时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（ ） A3 B 2 C 2 3 3 D2 数学试题（理科） 11已知矩形ABCD，1AB =，3BC =，将ADC 沿对角线AC进行翻折，得到三 棱锥DABC，则在翻折的过程中，有下列结论： 三棱锥DABC的体积最大值为 3 1 ； 三棱锥DABC的外接球体积不变； 三棱锥DABC的体积最大值时，二面角DACB的大小是 60；
6、 异面直线AB与CD所成角的最大值为90 其中正确的是（ ）. A B C D 12设函数 m x xf sin3)(=，若存在)(xf的极值点 0 x满足 2 2 0 2 0 )(mxfx+， 则m的取值范围是（ ）. A(，6)(6，) B(，4)(4，) C(，2)(2，) D(，1)(1，) 二填空题：本题共二填空题：本题共4小题，每小题小题，每小题5分，共分，共20分，其中第分，其中第15题第一空题第一空3分，第二空分，第二空2分。分。 13已知函数 3 ( )lnf xaxx的图象在点(1, (1)f处的切线斜率为 2， 则a的值等于_ 14某工厂为了解产品的生产情况，随机抽取了
7、100 个样本。若样本数据 1 x， 2 x， 100 x的方差为8，则数据 1 21x ， 2 21x ， 100 21x的方差为_ 15设x、y为正数，若 1 2 y x+=，则 12 xy + 的最小值是 ，此时x= 16已知椭圆() 22 22 10 xy ab ab +=的短轴长为 2，上顶点为A，左顶点为B，左、右 焦点分别是 1 F， 2 F，且 1 F AB的面积为 23 2 ，点P为椭圆上的任意一点， 则 12 11 PFPF +的取值范围是 . 数学试题（理科） 三解答题：共三解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第分，解答应写出文字说明，证明过程或演算
8、步骤。第1721题为必考 题，每个考生都必须作答。第 题为必考 题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共（一）必考题：共60分。分。 17 （本小题满分 12 分） 在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,ca b，已知2a，5b =，2BA= （1）求cos A； （2）求c边的值 18（本小题满分 12 分） 在数列 n a中， 1 1a， 2 8 3 a， 1 11 1 nn n n aa n + + =+ ，其中 * nN，为常 数 （1）求的值； （2）设 n n a b n ，求数列 n b的通项公式
9、 19 （本小题满分 12 分） 如图，在底面为矩形的四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD （1）证明：ABPD； （2）若,90PAPDABAPD，设Q为PB中点， 求直线AQ与平面PBC所成角的余弦值 P A B C D 数学试题（理科） 20 （本小题满分 12 分） 已知抛物线 2 :2C yx的焦点为F，直线l与C交于,A B两点，且与x轴交于点 ( ,0)P a （1）若直线l的斜率 3 2 k，且 3 2 FP，求AFBF的值； （2）若0a ，x轴上是否存在点M，总有OMAOMB？ 若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由 数学试题（理科） 数学试题（理科） 21 （本
10、小题满分 12 分） 已知函数 1 2 2 ( )ln x e f xax xx =+ （a为常数）在区间()0,2内有两个极值点 () 1212 ,x xxx （1）求实数a的取值范围； （2）求证：() 12 2 1 lnxxa+ 数学试题（理科） 23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知关于x的不等式20xmx+的解集为 |2x x ，其中0m. （1）求m的值； （2）若正数a、b、c满足abcm+ + =，求证： 222 2 bca abc + . （二）选考题：共（二）选考题：共10分。请考生在第分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第
11、一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。 22（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系xOy中， 圆C的参数方程为 cos 1 sin x y = = + (为参数) 以原 点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系 （1）求圆C的普通方程及其极坐标方程； （2）设直线l的极坐标方程为sin()2 3 +=，射线: 6 OM =与圆C的交点为P （异于极点） ，与直线l的交点为 Q，求线段 PQ 的长 数学试题（理科）答案 第 1 页，共 12
12、 页 惠州市 2020 届高三第二次调研考试 理科数学参考答案与评分细则 惠州市 2020 届高三第二次调研考试 理科数学参考答案与评分细则 一、选择题：一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B D A B A A C B A C C 1 【解析】1 ,| 22Mx xNxx= ，所以(12MN = ，故选 C 2 【解析】(1)z1ii+= ， 2 1(1)2 z 1(1)(1)2 iii i iii = + ，z的共轭复数为zi=，故选 B 3【解析】 11 1 2 1 nn nn Sa n Sa = = 时，两式相减，整理得 11 1 11
13、2, 22 n nn n a aaa a = ， 所以 n a是首项为 1 2 ，公比为 1 2 的等比数列， 5 5 11 1 22 31 1 32 1 2 S = ，故选 D 4【解析】代数法： 2 22 2 ()12 cos, 22 () 2 aa a aa b cbbbb b c b c b b b ,故选 A. 几何法： 5 【解析】属于系统抽样，故错误；概率只说明事件发生的可能性，某次试验中不一定发生，所以 并不能说明天气预报不科学，故错误；正确. 故选 B 6.【解析】 311 cossin,sin,cos 233 2 2 223 = = = ， 12 24 2 sin22sin
14、cos2 339 = = ，故选 A. 7 【解析】如图：，由集合的包含关系可知选 A 8 【解析】不超过 40 的素数：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37，共 12 个数，其中 403 3711 291723= +=+=+，共 3 组数，所以其和等于 40 的概率为： 2 12 31 22C = 故选 C 数学试题（理科）答案 第 2 页，共 12 页 9【解析】解法一：定义域为(0,1)(1,)x+，故排除 A；(100) 0f，排除 C； 1 ()0 100 f， 排除 D；故选 B 解法二：设( )ln1g xxx=，(1)0g=， 1 ( )1g x x
15、= ，当(1,)x+， ( ) 0g x ，( )g x单调增，当 (0,1)x， ( ) 0g x ，( )g x单调减，则( )(1)0g xg= 故 1 ( ) ln1 f x xx = 的定义域为(0,1)(1,)x+，且( )f x在(0,1)x上单调增，(1,)x+上 单调减，( )0f x ，故选 B 解法三： 1 ( ) ln1 f x xx = 定义域为(0,1)(1,)x+，故排除 A； 当0x 时，() 1 ln1,0 ln1 xx xx + ，排除 D； 当x+时， 1 ln10,0 ln1 xx xx ，排除 C；故选 B 10.【解析】设椭圆、双曲线离心率分别为 1
16、2 12 , cc ee aa =，设 12 ,PFx PFy=， 由椭圆、双曲线定义得 112 212 2 , 2 xyaxaa xyayaa +=+ = ，在 12 PFF中，由余弦定理得 ()() () 2222 22 12 0 1212 22 12 24 21 coscos60,3. 222 aac xyc FPFaa xyaa + + = 又 222 121222 122 1,3,3. ccc e ea acace aaa = =故选 A. 11. 【解析】 1 3 D ABCABC VSh =，当平面ADC 平面ABC时，三棱锥DABC的高最大，此时 体积最大值为 1131 13
17、3224 D ABC V = =，错误；设AC的中点为O，则由 ,Rt ABC Rt ADC知，OAOBOCOD=，所以O为三棱锥DABC外接球的球心，其半 径为 1 1 2 AC =，所以外接球体积为 4 3 ，即三棱锥DABC的外接球体积不变，正确；由 的解析过程知，三棱锥DABC的体积最大值时，平面ADC 平面ABC，所以二面角 DACB的大小是 0 90，错误；当ADC沿对角线AC进行翻折到使点D与点B的距离 为2，即2BD =时，在BCD中， 222 BCBDCD=+，所以CDBD，又CDAD，翻 数学试题（理科）答案 第 3 页，共 12 页 折后此垂直关系没有变，所以CD 平面A
18、BD，所以CDAB，即异面直线AB与CD所成角 的最大值为 0 90，正确. 故选 C 12 【解析】当() 2 x kkZ m =+，即 21 2 k xm + =时，( )f x取得极值3。 存在 0 x使 2 2 0 2 0 )(mxfx+成立，亦即存在k使()() 2 21 23120kkm+成立， 因此， 只需()()21 23kk+最小即可， 即0k =或1k = 时不等式成立即可， 所以 2 3120m+， 即 2 4m ，所以()(), 22,m +. 故选 C 二填空题：本题共二填空题：本题共4小题，每小题小题，每小题5分，共分，共20分，其中第分，其中第15题第一空题第一空
19、3分，第二空分，第二空2分。分。 13 3 1 1432 15. 4（3 分分）， 1 2 （2 分分） 1614， 【16 题注】求出的范围区间端点开闭错误不给分。 写成： 12 11 14 PFPF +、|14（集合元素一般形式用题目以外的字母表示）不扣分。 写成以下四种形式不给分：|14xx，|14yy，|14aa，|14bb。 13【解析】( )( ) 2 11 3,1312,. 3 fxaxfaa x =+=+ = = 14【解析】样本数据 1 x， 2 x， 100 x的方差为8，所以数据 1 21x ， 2 21x ， 100 21x 的方差为 2 2832 =. 15【解析】
20、121222 2224 222 yyxyx x xyxyxyxy +=+=+= ，当且仅当 2 2 yx xy =即 1 2 , 2 yx x=时等号成立. 16.【解析】由已知得22b =，故1b = ，1 F AB的面积为 23 2 ， () 123 22 ac b =，23ac =，又()() 222 1acacacb=+=， 2a =，3c =， () 12 2 121211 11 1124 4 4 PFPFa PFPFPF PFPFPF PFPF + += + ， 又 1 2323PF+， 2 11 144PFPF +， 12 11 14 PFPF + 数学试题（理科）答案 第 4
21、页，共 12 页 即 12 11 PFPF +的取值范围为14， 三解答题：共三解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个考生 都必须作答。第 题为必考题，每个考生 都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 17（本小题满分 12 分） 【解析】（1）由正弦定理 sinsin ab AB =.1 分【注】无写出此步骤，本得分点不给分。 得 25 sinsin2AA = .2 分 即 25 sin2sincosAAA = .3 分 因为sin0A，可解得
22、 4 5 cos=A . 4 分 （2）解法一：由余弦定理Abccbacos2 222 += 5 分【注】无写出此步骤，本得分点不给分。 得 () 2 22 5 252 5 4 cc=+ ，整理得0252 2 =+ cc 6 分 解得2=c或 2 1 =c 8 分 当ac= 2时，得CA=， 又因为2BA=，故, 42 ACB =, 9 分 所以 2ba= ，与已知矛盾，所以2=c不满足要求。 10 分 当 1 2 c =时，经检验符合要求. 11 分 综上知： 2 1 =c. .12 分 【注】无检验过程最多只能得 8 分。 解法二：由（1）知 4 5 cos=A ，且1cossin 22
23、=+AA ， 又0A 5 分【注】无写出此步骤，本得分点不给分。 所以 4 11 sin=A 6 分 数学试题（理科）答案 第 5 页，共 12 页 又2BA=，所以 8 3 16 11 16 5 sincos2coscos 22 =AAAB8 分 由余弦定理 Baccabcos2 222 += 9 分【注】无写出此步骤，本得分点不给分。 得 += 8 3 2225 22 cc整理得 0232 2 = cc 10 分 即()()0212=+cc， 又因为0c .11 分【注】无写出此步骤，本得分点不给分。 得 2 1 =c ， 综上知： 2 1 =c. .12 分 18（本小题满分 12 分）
24、 【解析】（1）将1=n代入 n nn n a n a 11 1 1 + + += + ，得 2 2 12 += aa 2 分 由 3 8 , 1 21 =aa，得3=. 4 分 （2）由 n nn n a n a 3 11 1 1 + + += + ，得 n nn n a n a 3 1 1 1 = + + 5 分 即 n nn bb 3 1 1 = + . 6 分 当1n =时，1 1 1 1 = a b，7 分 当2n时，() ()() 111221nnnnn bbbbbbbb =+ 8 分 1221 1111 3333 nn =+ 1 11 1 33 1 1 3 n = 10 分 1
25、11 22 3n = 所以 1 32 1 2 3 = n n b. （2n） 11 分 因为1 1= b也适合上式，所以 1 32 1 2 3 = n n b. 12 分 19（本小题满分 12 分） 【解析】（1）依题意，PADABCD面面，ABAD 1 分 数学试题（理科）答案 第 6 页，共 12 页 ABABCD面，PADABCDAD=面面， 2 分【注】此步骤缺少任 意一个条件，本得分点不给分。 ABPAD面 3 分 又PDPAD面 4 分 ABPD 5 分 （2）解法一：向量法 在PAD中，取AD中点O，PAPD= POADPOABCD面 6 分 以O为坐标原点，分别以OA为x轴，
26、过点O且平行于AB的直线为y轴，OP所在的直线为z轴， 建立如图空间直角坐标系，7 分 设2PA=.90APD=， 2 2AD= ()()()() 22 0,0, 2 ,2,2,0 ,2,2,0 ,2,0,0 ,1, 22 PBCAQ ()() 2,2,2 ,2 2,0,0PBBC= ， 22 , 1, 22 AQ = 8 分 设面PBC法向量为(), ,nx y z= 则 2220 2 20 n PBxyz n BCx =+= = = ，解得()0,1, 2n = 9 分 设直线AQ与平面PBC所成角为，则 2 sincos, 3 AQ n AQ n AQn 10 分 因为0, 2 ， 2
27、23 cos1 sin1 33 11 分 所以直线AQ与平面PBC所成角的余弦值为 3 3 . 12 分 （2）解法二：几何法 过 P 作 POAD 交于点 O，则 O 为 AD 中点， 过 A 作 PO 的平行线，过 P 作 AD 的平行线，交点为 E，连结 BE， 过 A 作 AHBE 交于点 H，连结 QH， 连结 BO，取中点 M，连结 QM，AM7 分【注】文字说明 1 分，作图 1 分。 四边形 AOPE 为矩形，所以 PE面 ABE，所以 PEAH， x y Q O E H M 数学试题（理科）答案 第 7 页，共 12 页 又 BEAH，所以 AH面 PBE， 所以AQH 为线
28、 AQ 与面 PBC 所成的角。8 分 令 AO=a，则 AE=a，AB= 2a，BE=3a，由同一个三角形面积相等可得 AH= 6 3 a， QAM 为直角三角形，由勾股定理可得 AQ=a，9 分 所以 sinAQH= AH AQ = 6 3 ,10 分 又因为AQH 为锐角，所以 cosAQH= 3 3 ,11 分 所以直线AQ与平面PBC所成角的余弦值为 3 3 12 分 20（本小题满分 12 分） 【解析】（1）解法一：依题意，设 3 : 2 l yxa 1 分 联立 2 :2C yx，整理得() 22 918890xaxa+= 2 分 由0，得 2 9 a 3 分 又 1 ,0 2
29、 FPa且 3 2 FP，2a或1a（舍去）4 分 所以式可化为 2 944360xx，设 1122 ( ,), (,)A x yB xy，则 12 44 9 xx 5 分 12 4453 11 99 AFBFxx.6 分 解法二：依题意，设 3 : 2 l yxa 1 分 联立 2 :2C yx，整理得 2 3460yya 2 分 16 720a，即 2 9 a 3 分 又 1 ,0 2 FPa且 3 2 FP，2a或1a（舍去）4 分 所以式可化为 2 34120yy，设 1122 ( ,), (,)A x yB xy，则 12 12 4 3 4 yy yy 5 分 222 121212
30、12 ()253 111 229 yyyyyy AFBFxx.6 分 数学试题（理科）答案 第 8 页，共 12 页 （2）当直线l斜率不存在时，由对称性知，存在点M满足OMAOMB7 分 若直线l存在斜率，设为()0k k 则:()l yk xa，联立 2 :2C yx 整理得 2 220kyyka 2 4 80k a ， 12 12 2 2 yy k yya += = 8 分 设( ,0)M m由OMAOMB易知 MAMB kk即 12 12 0 yy xmxm 9 分 122112 ()0y xyxm yy即 22 21 1212 () 22 yy yym yy 10 分 12 1212
31、 ()() 2 yy yym yy 12 0yy+， 12 2 22 yya ma = 所以(,0)Ma 11 分 综上所述，当0a 时，x轴上存在点(,0)Ma，总有OMAOMB.12 分 21（本小题满分 12 分） 【解析】（1）解法一：由 1 2 2 ( )ln, x e f xax xx =+ ，可得 3 1 )(2( )( x axex xf x = 1 分 由题意(),2 , 0x则0 2 3 x x ，记 1 ( )(0) x h xeaxx =， 1 ( ) x h xea = 由题意，知 21,x x是)(xhy =在()2 , 0上的两个零点. 当0a时，0)( xh，则
32、)(xh在()2 , 0上递增， )(xh至多有一个零点，不合题意；2 分 当0a时，由0)( =xh，得axln1+=3 分 （i）若2ln1+a且0)2(h，即 2 1 e a 时，)(xh在()aln1 , 0 +上递减，()2 ,ln1a+递增； 则0ln)ln1 ()( min =+=aaahxh， 则0 1 )0(, 0)2(= e hh， 从而)(xh在()aln1 , 0 +和()2 ,ln1a+上各有一个零点。 所以 2 1 e a 时，)(xhy =在()2 , 0上存在两个零点. 4 分 数学试题（理科）答案 第 9 页，共 12 页 （ii）若2ln1+a，即ea 时，
33、)(xh在()2 , 0上递减，)(xh至多一个零点，舍去. 5 分 （iii）若2ln1+a且0)2(h，即ea e 2 时，此时)(xh在()aln1 , 0 +上有一个零点， 而在()2 ,ln1a+上没有零点，舍去. 综上可得，实数a的取值范围是1, 2 e .6 分 （1）解法二：由 1 2 2 ( )ln, x e f xax xx =+ ，可得 3 1 )(2( )( x axex xf x = 1 分 由题意(),2 , 0x则0 2 3 x x ，由题意知 21,x x是0, 1 = xaxey x 在()2 , 0上的两个零点. 即：a x e x e axe axe xx
34、 x x = = = 2 1 1 1 2 1 1 1 21 2 1 0 0 又令 x e xg x 1 )( =，2 分 则)()( 21 xgxg=，从而只需直线ay =与函数 x e xg x 1 )( =的图象在内()2 , 0有两个交点. 3 分 由 2 1 ) 1( )( x ex xg x =得 x e xg x 1 )( =在区间内()1 , 0单调递减，在区间()2 , 1内单调递增， 所以1) 1 ()( min = gxg，( )(2) 2 e g xg=，4 分 且+= )(, 1 , 0 11 xg e eex x 5 分 所以实数a的取值范围是1, 2 e 6 分 （
35、2）解法一：令axxahxhxHln10),ln22()()(+=7 分 则0222)ln22()()( 1 2 1 =+=+= aaa e a exahxhxH x x 所以)(xH在()aln1 , 0 +上递增，8 分 从而0)ln1 ()(=+aHxH，即0)ln22()(+xahxh 0)ln22()( 11 +xahxh10 分 而)()( 21 xhxh=，且)(xh在()2 ,ln1a+递增； 数学试题（理科）答案 第 10 页，共 12 页 21 ()(22ln)h xhax+11 分 21 22lnxax+， 12 2(1 ln )xxa+，命题得证。12 分 解法二：由（
36、1）有 1 2 1 11 1 1212 1 22 2 lnln1 2lnln2. lnln1 x x axxaxe ax xxx axxaxe += +=+ += 7 分 则求证式() 1212122 1 1 2 1 lnln001.xxax xx xx x + 8 分 下证式成立： 由 1 0 x axe = 得 1 . x e a x = 令( ) 1x e g x x =，则( )()( ) () 1 12 2 1 ,. x ex g xg xgx x =9 分 易知 12 01xx ，从而式()( ) 221 111 111 .xg xgg xg xxx 10 分 又令( )( ) 1
37、 ,01G xg xgx x = ， 则即证( )0G x 对01x成立. 对( )G x求导，得( ) 1 1 1 2 1 . x x x G xexe x = 设( ) 1 1 1x x h xexe =，则( ) 1 1 1 1 0 x x x h xee x =+ ，11 分 从而( )( )( ) 10,0h xhG x=. ( )( )10.G xG=即01x，( ) 1 g xg x ，即( ) 1 1 1 g xg x 从而式成立。 12 2(1 ln )xxa+，命题得证。12 分 解法三：由（1）有 1 2 1 1 1 2 x x axe axe = = 得() 1221
38、2112 1 221 ,. xxxx a x xea xxee + =7 分 将 21 11 21 xx ee a xx = 代入 12 22 12 xx a x xe + =中， 数学试题（理科）答案 第 11 页，共 12 页 得() () () 1212 2112 12 2 22 2 21 12212 2 11 2 xxxx xxxx xx xxee x xxx aee ee + = + ，8 分 令 21 txx=，为证明 12 2 2 1 xx e a + ，则只需证：当0t 时， 2 2 120. 2 tt tt t eet ee + + 设( ) 2 2 tt m teet =+
39、 ，9 分 则( )( ) 2 ,20. tttt m teet m tee =+ 从而，( )( )( ) 00m tmm t=在区间()0,+内单调递增，10 分 ( )( )00.m tm= 即 2 20 tt eet + ，所以 12 2 2 1 xx e a + ，11 分 12 22xx ea + ，两边取对数化简可得 12 2(1 ln )xxa+，命题得证。12 分 （二）选考题：共（二）选考题：共10分。请考生在第分。请考生在第22、23题中任选一题作答。题中任选一题作答。 22（本小题满分 10 分） 【解析】（1）由 1 xcos ysin = = + 1 xcos ysin = = 1 分【注】无写出此步骤，本得分点不给分。 平方相加可得() 2 2 11xy+= 圆C的普通方程为：() 2 2 11xy+= 2 分 又cos ,sinxy= 3 分【注】无写出此步骤，本得分点不给分。 ()() 22 cossin11+= 4 分 化简得圆C的极坐标方程为：2sin=. 5 分 （2）解法一：把 6 =代入圆的极坐标方程可得：2sin1 6 P = 7 分 把 6 =代入直线l极坐标方程可得：sin2 63 += 2 Q = 9 分
