1、1 合肥市2020 届高三第一次教学质量检测 数学试题(理科) 合肥市2020 届高三第一次教学质量检测 数学试题(理科) (考试时间：120分钟满分：150分)(考试时间：120分钟满分：150分) 第卷第卷(60分) 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. (60分) 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合 2 20Ax xx，210Bxx ，则AB (). A.1，B. 1 1 2 ，C. 1 2 2 ，D. 1 2 ， 2.设
2、复数z满足1izz(i为虚数单位)，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(). A.yx B.yxC. 22 111xyD. 22 111xy 3.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21 世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与 沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济 融合、 文化包容的命运共同体.自2013年以来， “一 带一路”建设成果显著.右图是2013-2017年，我国 对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列 描述错误 的是(). A.这五年，2013年出口额最少 B.这五年，出口总额比进口总额多 C.这五年，出口增速前四年逐年下降 D.这五年，2017年进口增速最快
3、 4.下列不等关系，正确的是(). A. 234 log 3log 4log 5B. 243 log 3log 5log 4 C. 243 log 3log 5log 4D. 234 log 3log 4log 5 5.已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 1 3a ， 47 329aa，则 7 S的值等于(). A.21B.1C.-42D.0 6.若执行右图的程序框图，则输出i的值等于(). A.2B.3C.4D.5 7.函数 22 cos xx y xx 的图象大致为(). 8.若函数 sin2f xx的图象向右平移11 6 个单位得到的图象对应的函数为 g x，则下列说法正确 的是
4、(). A. g x的图象关于 12 x 对称B. g x在0，上有2个零点 2 C. g x在区间 5 36 ，上单调递减D. g x在 0 2 ，上的值域为 3 0 2 ， 9.已知双曲线C： 22 22 1 xy ab (00ab，)的左右焦点分别为 12 FF，圆 2 F与双曲线C的渐近线相 切，M是圆 2 F与双曲线C的一个交点.若 12 =0FM F M ，则双曲线C的离心率等于(). A.5B.2C.3D.2 10.射线测厚技术原理公式为 0 t II e ，其中 0 II，分别为射线穿过被测物前后的强度，e是自然对 数的底数，t为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸收
5、系数.工业上通常用镅 241( 241Am )低能射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8， 钢的密度为7.6， 则这种 射线的吸收系数为(). ( (注注： 半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln20.6931， 结果精确到0.001) ) A.0.110B.0.112C.0.114D.0.116 11.已知正方体 1111 ABCDABC D，过对角线 1 BD作平面交棱 1 AA于点E，交棱 1 CC于点F，则： 平面分正方体所得两部分的体积相等； 四边形 1 BFD E一定是平行四边形； 平面与平面 1 DBB不可能垂直； 四边形 1 BFD E的面
6、积有最大值. 其中所有正确结论的序号为(). A.B.C. D. 12.已知函数 0 1 ln0 x x ex f x xexxx ， ， ，则函数 F xff xef x的零点个数为 () (e是自然对数的底数). A.6B.5C.4D.3 第第卷卷(90(90分分) ) 本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分. .第第1313 题题第第2121 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答. .第第2222题、题、 第第2323题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. . 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共4 4 小题，每小
7、题小题，每小题5 5 分，满分分，满分2020分分. .把答案填在答题卡上的相应位置把答案填在答题卡上的相应位置. . 13.已知向量a (1，1)， 2bm ，且a 2ab ，则m的值等于. 14.直线l经过抛物线C： 2 12yx的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，弦AB的长为16，则 直线l的倾斜角等于. 15.“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容， 立足全体党员、面向全社会的优质学习平台.该平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目.假设在 这些栏目中，某时段更新了2 篇文章和4 个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2 个视频，
8、则这 2篇文章学习顺序不相邻的学法有种. 16.已知三棱锥ABCD的棱长均为6，其内有n个小球，球 1 O与三棱锥ABCD的四个面都相切， 球 2 O与三棱锥ABCD的三个面和球 1 O都相切，如此类推，球 n O与三棱锥ABCD的三个面和球 1n O 都相切(2n ，且nN )，则球 1 O的体积等于，球 n O的表面积等于. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共6 6 小题小题，满分满分7 70 0分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(17.(本小题满分本小题满分1212分分) ) 在ABC中，内角ABC， ，所对的边分别为ab
9、c， ，若2a ，coscos2 cos0aCcAbB. (1)求B； (2)若BC边的中线AM长为5，求ABC的面积. 3 18.(18.(本小题满分本小题满分1212分分) ) “大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风 光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地.为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习 生，在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在 前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下： 研学游类型科技体验游民俗人文游自然风光游 学校数40
10、4020 该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”学校中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替 学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类， 且不受其他学校选择结果 的影响)： (1)若这3 所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选 择的概率； (2)设这3 所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X，求X的分布列与数学期望. 19.(19.(本小题满分本小题满分1212分分) ) 如图，已知三棱柱 111 ABCABC中，平面 11 AAC C 平面ABC， 1 AAAC，ACBC. (1)证明： 1 AC 1 AB；
11、(2)设2ACCB， 1 60A AC ，求二面角 11 CABB的余弦值. 20.(20.(本小题满分本小题满分1212分分) ) 设椭圆:C 22 22 1 xy ab (0ab)的左右顶点为 12 AA， 上下顶点为 12 BB， 菱形 1122 AB A B的内切圆 C 的半径为2，椭圆的离心率为 2 2 . (1)求椭圆C的方程； (2)设MN，是椭圆上关于原点对称的两点， 椭圆上一点P满足PMPN， 试判断直线PMPN，与 圆 C 的位置关系，并证明你的结论. 21.(21.(本小题满分本小题满分1212分分) ) 已知函数 2 1 x x f x e (e为自然对数的底数). (
12、1)求函数 f x的零点 0 x，以及曲线 yf x在 0 xx处的切线方程； (2)设方程 f xm(0m )有两个实数根 1 x， 2 x，求证： 12 1 21 2 xxm e . 请考生在第请考生在第2222、2323题中任选一题作答题中任选一题作答. .注意注意：只能做所选定的题目只能做所选定的题目，如果多做如果多做，则按所做的第一个题则按所做的第一个题 目计分，作答时，请用目计分，作答时，请用2B2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. . 22.(22.(本小题满分本小题满分1010分分) )选修选修4-44-4：坐标系与参数方程：坐
13、标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2 3 2 2 1 2 xt yt (t为参数)，在以坐标原点为极点，x轴正 半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为4cos6sin. 4 (1)求曲线C的直角坐标方程； (2)设曲线C与直线l交于点MN，点A的坐标为(3，1)，求AMAN. 23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数 2f xxmx(mR)，不等式20f x 的解集为 4，. (1)求m的值； (2)若0a ，0b ，3c ，且22abcm，求113abc的最大值. 1 合肥市2020 届高三第一次教学质
14、量检测数学试题(理科)合肥市2020 届高三第一次教学质量检测数学试题(理科) 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共12小题，每小题5 分，共60分. 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5 分，共60分. 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13.-214. 3 或 2 3 15.7216.6， 1 6 4n (第一空2分，第二空3分) 三、解答题：大题共6 小题，满分70分. 17.(本小题满分12分) 三、解答题：大题共6 小题，满分70分. 17.(本小题满分12分) 解：(1)在AB
15、C中， sinsinsin abc ABC ，且coscos2 cos0aCcAbB， sincossincos2sincos0ACCABB， sin12cos0BB， 又sin0B ， 2 cos 2 B . B是三角形的内角， 3 4 B .5分 (2)在ABM中， 3 15 4 BMAMBABc ， 由余弦定理得 2 22 2cosAMcBMc BMB， 2 240cc， 0c ，2c . 在ABC中，2a ，2c ， 3 4 B ， ABC的面积 1 sin1 2 SacB.12分 18.(本小题满分12分)18.(本小题满分12分) (1)依题意，学校选择“科技体验游”的概率为 2
16、5 ，选择“自然风光游”的概率为1 5 ， 若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都有学校选择的 概率为： 22 22 33 211218 5555125 PCC .5 分 (2)X可能取值为0，1，2，3. 则 3 0 3 327 0 5125 P XC ， 2 1 3 2354 1 55125 P XC ， 2 2 3 2336 2 55125 P XC ， 3 3 3 28 3 5125 P XC ， X的分布列为 X 0123 P 27 125 54 125 36 125 8 125 27543686 0123 1251251251255 EX . 1
17、2分 题号123456789101112 答案ABCDDBABACCB 2 或解：随机变量X服从 2 3 5 XB ， 26 3 55 EXnp . 12分 19.(本小题满分12分)19.(本小题满分12分) (1)连结 1 AC. 1 AAAC，四边形 11 AAC C为菱形， 11 ACAC. 平面 11 AAC C 平面ABC，平面 11 AAC C 平面 ABCAC， BC 平面ABC，BC AC， BC 平面 11 AAC C. 又 11 /BCBC， 11 BC 平面 11 AAC C， 111 BCAC. 1111 ACBCC， 1 AC 平面 11 ABC，而 1 AB 平面
18、 11 ABC， 1 AC 1 AB.5分 (2)取 11 AC的中点为M，连结CM. 1 AAAC，四边形 11 AAC C为菱形， 1 60A AC ， 11 CMAC，CMAC. 又CMBC，以C为原点，CACBCM，为正方向建立空间直角坐标系，如图. 设1CB ，22ACCB， 1 AAAC， 1 60A AC ， C(0，0，0)， 1 A(1，0，3)，A(2，0，0)，B(0，1，0)， 1 B(-1，1，3). 由(1)知，平面 11 C AB的一个法向量为 1 1 03CA ，. 设平面 1 ABB的法向量为nxyz ，则 1 nAB nAB ， 1 0 0 n AB n A
19、B . 2 1 0AB ， 1 3 1 3AB ， 20 330 xy xyz . 令1x ，得 1 2 3 yz，即 1 1 2 3 n ， ，. 1 1 1 23 cos 416 2 3 CA n CA n CAn ， 二面角 11 CABB的余弦值为 3 4 .12分 20.(本小题满分12分)20.(本小题满分12分) (1)设椭圆的半焦距为c.由椭圆的离心率为 2 2 知，2bcab，. 设圆 C 的半径为r，则 22 rabab， 2 232bb，解得3b ，6a ， 椭圆C的方程为 22 1 63 xy .5分 (2)MN，关于原点对称，PMPN，OPMN. 设 11 Mxy，
20、22 P xy，. 当直线PM的斜率存在时，设直线PM的方程为ykxm. 由直线和椭圆方程联立得 2 2 26xkxm，即 222 124260kxkmxm， 3 12 2 2 12 2 4 21 26 21 km xx k m x x k . 11 OMxy ， 22 OPxy ， 12121212 OM OPx xy yx xkxmkxm 2 2222 1212 22 264 11 2121 mkm kx xkm xxmkkmm kk 22 2 322 0 21 mk k ， 22 220mk， 22 22mk， 圆 C 的圆心O 到直线PM的距离为 2 2 1 m r k ，直线PM与圆
21、 C 相切. 当直线PM的斜率不存在时，依题意得 11 ,Nxy， 11 ,P xy. 由PMPN得 11 22xy， 22 11 xy，结合 22 11 1 63 xy 得 2 1 2x ， 直线PM到原点O的距离都是2， 直线PM与圆 C 也相切. 同理可得，直线PN与圆 C 也相切. 直线PM、PN与圆 C 相切.12分 21.(本小题满分12分)21.(本小题满分12分) (1)由 2 1 0 x x f x e ，得1x ，函数的零点 0 1x . 2 21 x xx fx e ， 12fe ，10f . 曲线 yf x在1x 处的切线方程为21ye x. 2 1f e ， 10f，
22、 曲线 yf x在1x 处的切线方程为 2 1yx e .5分 (2) 2 21 x xx fx e . 当 1212 x ，时， 0fx；当 12 12x，时， 0fx. f x的单调递增区间为 12 12 ，单调递减区间为 12 12，. 由(1)知，当1x 或1x 时， 0f x ；当11x 时， 0f x . 下面证明：当1 1x ，时， 21e xfx. 当1 1x ，时， 2 1 11 212100 2 x x xx e xfxe xe e . 易知， 1 1 2 x x g xe 在1 1x ，上单调递增， 而10g ， 10g xg对1 1x ，恒成立， 当1 1x ，时， 2
23、1e xf x. 由 21ye x ym 得1 2 m x e .记 1 1 2 m x e . 4 不妨设 12 xx，则 12 1121xx ， 1212212 1 2 m xxxxxxx e . 要证 12 1 21 2 xxm e ，只要证 2 1 121 22 m xm ee ，即证 2 1xm . 又 2 2 2 1 x x m e ，只要证 2 2 2 2 1 1 x x x e ，即 2 22 110 x xex. 2 12 1x ，即证 2 2 10 x ex. 令 11 xx xexxe，. 当 12, 0x时， 0x， x为单调递减函数； 当0,1x时， 0x， x为单调
24、递增函数. 00x， 2 2 10 x ex， 12 1 21 2 xxm e .12分 22.(本小题满分10分)22.(本小题满分10分) (1)曲线C的方程4cos6sin， 2 4 cos6 sin， 22 46xyxy， 即曲线C的直角坐标方程为： 22 2313xy.5 分 (2)把直线 2 3 2 : 2 1 2 xt l yt 代入曲线C得 2 2 22 1213 22 tt ， 整理得， 2 3 280tt. 2 3 2320 ，设 12 tt，为方程的两个实数根，则 12 3 2tt， 1 2 8t t ， 12 tt，为异号， 又点A(3，1)在直线l上， 2 1212121 2 4505 2AMANttttttt t. 10分 23.(本小题满分10分)23.(本小题满分10分) 解：(1) 2f xxmx，220f xxmx的解集为 4， 2xmx，解得28m，即6m .5分 (2)6m ，212abc. 又0a ，0b ，3c ， 1223 113 2 abc abc 3 33 12231121 12 32 232323 abcabc ， 当且仅当1223abc ，结合212abc解得3a ，1b ，7c 时，等号成立， 113abc的最大值为32.10分
