1、高三数学试题（理科）答案 第 1 页（共 4 页） 合肥市2019 年高三第一次教学质量检测 数学试题（理科）参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共12小题，每小题小题，每小题5分分. 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共4小题，每小题小题，每小题5分分. 13.1 6 ， 14.1 15. 13 3 2 ， 16. 22 24 33 n n 三、解答题：三、解答题： 17.(本小题满分本小题满分12分分) (I) 3131 cos2sin2cos2sin2cos2sin 2 22226 f xxxxxx
2、x ， 函数 f x的最小正周期为T. 5分 (II)由 1 3 f 可得 1 sin 2 63 . 0, 2 ， 7 2 666 ，. 又 11 0sin(2), 632 2 +, 62 2 2 cos 2 63 ， 12 6 cos2cos2cos 2cossin 2sin 6666666 . 12分 18.(本小题满分本小题满分12分分) (I)取CD的中点M，连结EM，BM. 由已知得BCD为等边三角形，BMCD. 2,2 3ADABBD， 30 ,ADBABD 90 ,ADC /BMAD. 又BM平面PAD，AD 平面PAD， BM平面PAD
3、. E为PC的中点，M为CD中点，EMPD. 又EM 平面PAD，PD 平面PAD. EM平面PAD. EMBMM，平面BEM平面PAD， 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C C D A D D D C C B A 高三数学试题（理科）答案 第 2 页（共 4 页） BE 平面BEM， BE平面PAD. 5分 (II)连结AC，交BD于点O，连结PO. 由对称性知，O为BD中点，且ACBD，BDPO 平面PBD 平面ABCD,POBD， PO 平面A
4、BCD，1POAO，3CO . 以O为坐标原点，OC的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz. 则D(0，3，0)，C(3，0，0)，P(0，0，1). 易知平面PBD的一个法向量为 1 1,0,0n . 设平面PCD的法向量为 2 nxyz ， ， 则DCn 2 ,DPn 2 ， 0 0 2 2 DPn DCn . )0 , 3, 3(DC，) 1 , 3, 0(DP， 03 033 zy yx . 令3y，得3, 1zx， ) 3, 3, 1( 2 n 13 13 13 1 ,cos 21 21 21 nn nn nn 设二面角BPDC的大小为，则 13 cos 13 .
5、;12分 19.(本小题满分本小题满分12分分) (I)0.06 340.18 380.20 420.28 460.16 500.10 540.02 5844.7245x ； 5分 (II)由题意知，39.2 50.8，39.250.80.6826Pt ， 所以估计该人群中一周睡眠时间在区间39.2 50.8，的人数约为10000 0.68266826(人)； 12分 20.(本小题满分本小题满分12分分) (I)设椭圆的半焦距为c， 由椭圆的离心率为 2 2 知，2bc ab， 则椭圆方程为 22 22 1 2 xy bb . 易求得 2 0A，则点 2 2，在椭圆上，所以 22 22 1
6、2bb ， 解得 2 2 6 3 a b ，所以椭圆方程为 22 1 63 xy . 5分 (II)当过点P且与圆O相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为2x ，由（1）知， 2 22 2MN， ， 2 2 2 2 0OMONOM ON ， ， OMON. 当过点P且与圆O相切的切线斜率存在时，可设切线方程为y kxm ， 高三数学试题（理科）答案 第 3 页（共 4 页） 1122 MxyN xy， ， 则 2 2 1 m k ，即 22 21mk. 联立直线和椭圆的方程得 2 2 26xkxm，
7、222 124260kxkmxm，得 12 2 2 12 2 0 4 21 26 21 km xx k m x x k . 1122 OMxyONxy ， 12121212 OM ONx xy yx xkxmkxm 2 2222 1212 22 264 11 2121 mkm kx xkm xxmkkmm kk 22222222 22 222 1264213 2266 366 0 212121 kmk mmkkk mk kkk ， OMON. 综上所述，圆O上任意点P处的切线交椭圆C于点MN，都有OMON. 在Rt OMN中，由OMP与NOP相似，可得 2 2OPPMPN为定值.
8、 12分 21.(本小题满分本小题满分12分分) (I)易知1x ，且 1 1 x fxe x . 令 1 1 x h xe x ， 则 2 1 0 1 x hxe x ， 函数 1 1 x h xe x 在1x ，上单调递增，且 000hf. 可知，当1 0x ，时， 0h xfx， ln1 x f xex单调递减； 当0x，时， 0h xfx， ln1 x f xex单调递增. 函数 f x的单调递减区间是1 0， 单调递增区间是0 ，. 5分 (II) ln1 x g xf xaxexax ， gxfxa. 由(I)知， gx 在 1x ， 上单调递增， 当1x 时， gx
9、 ；当x 时， gx ，则 0gx有唯一解 0 x. 可知，当 0 1xx ，时， 0gx， ln1 x g xexax单调递减； 当 0 xx，时， 0gx， ln1 x g xexax单调递增， 函数 g x在 0 xx处取得极小值 0 000 ln1 x g xexax，且 0 x满足 0 0 1 1 x ea x . 0 000 0 1 1ln11 1 x g xxex x . 高三数学试题（理科）答案 第 4 页（共 4 页） max 23S 23 12 令 1 1ln11 1 x xx ex x ，则 2 1 1 x xx e x . 可知，当1 0x ，时， 0x，
10、x单调递增； 当0x，时， 0x， x单调递减， max 01x. 函数 g x极小值的最大值为1. 12分 22.(本小题满分本小题满分10分分) (I) 22 1: 1Cxy， 2: =2cosC，则 2=2 cos ， 22 2xyx. 联立方程组得 22 22 1 2 xy xyx ，解得 1 1 1 2 3 2 x y ， 2 2 1 2 3 2 x y ， 所求交点的坐标为 13 22 ， ， 13 22 ， . 5分 (II)设B，则=2cos, AOB的面
11、积 11 sin4 sin4cossin 2233 SOA OBAOB 2cos 23 6 ， 当 时， 10分 23.(本小题满分本小题满分10分分) (I) 22f xx，即1 22xx 1010 122122 xx xxxx 或 1 3 x 实数x的取值范围是 1 3 ，. 5分 (II) 1a， 1 1 a ， (1)21 1 (1)1 1 12 axx g xa xx a axx a ， ，- ， ， ， ， ， 易 知 函 数 g x在 1 x a ，时 单 调 递 减 ， 在 1 x a ，时 单 调 递 增 ， 则 min 11 1g xg aa . 11 1 2a ，解得2a . 10分
