1、河北衡水中学河北衡水中学 2018 年高考押题试卷年高考押题试卷 文数（一）文数（一） 第卷（共 60 分）第卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1已知集合，则=（ ） N| 24Axx 1 |24 2 x BxABI A B C D | 12xx 1,0,1,21,20,1,2 2已知 为虚数单位，若复数在复平面内对应的点在第四象限，则 的取值范围为（ ） i 1i 1 i
2、t z t A B C D 1,1( 1,1)(, 1) (1,) 3下列函数中，与函数的单调性和奇偶性一致的函数是（ ） 3 yx A. B C. D yxtanyx 1 yx x ee xx y 4已知双曲线：与双曲线：，给出下列说法，其中错误的是（ ） 1 C 22 1 43 xy 2 C 22 1 43 xy A.它们的焦距相等 B它们的焦点在同一个圆上 C.它们的渐近线方程相同 D它们的离心率相等 5某学校上午安排上四节课，每节课时间为 40 分钟，第一节课上课时间为，课间休息 10 分8:00 8:40 钟.某学生因故迟到，若他在之间到达教室，则他听第二节课的时间不少于 10 分钟
3、的概率为9:10 10:00 （ ） A B C D 1 5 3 10 2 5 4 5 6若倾斜角为的直线 与曲线相切于点，则的值为（ ） l 4 yx1,1 2 cossin2 A B1 C D 1 2 3 5 7 17 7在等比数列中，“，是方程的两根”是“”的（ ） n a 4 a 12 a 2 310xx 8 1a A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 8执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ） S A.1009 B-1009 C.-1007 D1008 9已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C D 1 63 1 12 1
4、 123 1 43 10已知函数的部分图象如图所示，则函数( )sin()f xAx(0,0,|)A 图象的一个对称中心可能为（ ） ( )cos()g xAx A B C. D 5 (,0) 2 1 ( ,0) 6 1 (,0) 2 11 (,0) 6 11几何原本卷 2 的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依 据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示 图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的FOCABOFABACaBCb 无字证明为（ ） A. B 2 ab ab (0,0)ab 22
5、2abab(0,0)ab C. D 2ab ab ab (0,0)ab 22 22 abab (0,0)ab 12已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，OABCD ，点在线段上，且，过点作圆的截面，则所得截面圆面积的3BC 2 3AB EBD3BDBEEO 取值范围是（ ） A B C D ,42 ,43 ,40,4 第卷（共 90 分）第卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13已知，若向量与共线，则 (1, )a r (2,1)b r 2ab rr
6、(8,6)c r a r 14已知实数，满足不等式组目标函数，则的最大值xy 20, 250, 20, xy xy y 42 2loglogzyxz 为 15在中，角，的对边分别为，是与的等差中项且ABCABCabc cos c B cos b Bcos a A ，的面积为，则的值为 8a ABC4 3bc 16已知抛物线：的焦点是，直线：交抛物线于，两点，分别从，两点C 2 4yxF 1 l1yxABAB 向直线：作垂线，垂足是，则四边形的周长为 2 l2x DCABCD 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 三、解答题 （本大题共 6 小题
7、，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 已知函数（） ， 数列的前项和为， 点在图象上， 且 2 1 2 f xxmx0m n an n S, n n S f x f x 的最小值为. 1 8 （1）求数列的通项公式； n a （2）数列满足，记数列的前项和为，求证：. n b 1 2 (21)(21) n nn a n aa b n bn n T1 n T 18如图，点在以为直径的圆上，垂直与圆所在平面，为的垂心. CABOPAOGAOC （1）求证：平面平面； OPG PAC （2）若，点在线段上，且，求三棱锥的体积. 22PAABACQPA2PQQAPQGC 192
8、017 高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专 题训练卷（文、理科试卷满分均为 100 分），并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽 取了 50 名学生的成绩，按照成绩为，分成了 5 组，制成了如图所示的频50,6060,7090,100 率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于 50 分）. （1）求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的 50 名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据x 用该组区间的中点值代表）； （2）若高三年级共有 2000 名学生，试估计高三学生中这次测试成绩不低于 70 分的人数； （3）若利用分层抽样
9、的方法从样本中成绩不低于 70 分的三组学生中抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽取 3 人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有 1 人被抽到的概率. 20已知椭圆：的长轴长为，且椭圆与圆：的公共C 22 22 1(0) xy ab ab 2 2CM 22 1 (1) 2 xy 弦长为. 2 （1）求椭圆的方程. C （2）经过原点作直线 （不与坐标轴重合）交椭圆于，两点，轴于点，点在椭圆上，lABADxDEC 且，求证：，三点共线 0ABEBDBAD uu u ruuruuu ruuu r BDE 21已知函数，（，为自然对数的底数）. 2lnf xmxx 2 3e3 x g x x
10、 Rme （1）试讨论函数的极值情况； f x （2）证明：当且时，总有. 1m 0x 30g xfx 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22已知直线 的参数方程为（ 为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建l 2 4, 2 2 2 xt yt tx 立极坐标系，圆的极坐标方程为，直线 与圆交于，两点. C4coslCAB （1）求圆的直角坐标方程及弦的长； CAB （2）动点在圆上（不与，重合），试求的面积的最大值. PCABABP 23.选修 4-5：不等式选讲. 已知函
11、数. ( ) |21|1|f xxx （1）求函数的值域； ( )f xM （2）若，试比较，的大小. aM|1|1|aa 3 2a 7 2 2 a 一、选择题一、选择题 1-5:DBDDA 6-10:DDBCC 11、12：DB 二、填空题二、填空题 13 141 15 16 24 5184 2 三、解答题三、解答题 17（1）解：， 2 21 22 m f xxm 故的最小值为. f x 2 1 28 m 又，所以，即. 0m 1 2 m 2 11 22 n Snn 所以当时，； 2n 1nnn aSSn 当时，也适合上式， 1n 1 1a 所以数列的通项公式为. n a n an （2）
12、证明：由（1）知， 1 2 (21)(21) n n nn b 1 11 2121 nn 所以， 1 11111 1 3372121 n nn T L 1 1 1 21 n 所以. 1 n T 18（1）证明：（1）如图，延长交于点. OGACM 因为为的重心，所以为的中点. GAOCMAC 因为为的中点，所以. OAB/ /OMBC 因为是圆的直径，所以，所以. ABOBCACOMAC 因为平面，平面，所以. PA ABCOM ABCPAOM 又平面，平面，所以平面. PAPACAC PACPAACAIOM PAC 即平面，又平面， OG PACOG OPG 所以平面平面. OPG PAC
13、（2）解：由（1）知平面， OM PAC 所以就是点到平面的距离. GMGPAC 由已知可得， 1OAOCAC 所以为正三角形， AOCV 所以.又点为的重心， 3 2 OM GAOCV 所以. 13 36 GMOM 故点到平面的距离为. GPQC 3 6 所以. 1 3 P QGCG PQCPQC VVS V 12 33 PAC GMSGM V 21 2 1 92 33 627 19解：（1）由频率分布直方图可得第 4 组的频率为， 1 0.1 0.30.30.10.2 故. 0.02x 故可估计所抽取的 50 名学生成绩的平均数为 （分）. 55 0.01 65 0.0375 0.0385
14、 0.0295 0.011074 由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，故中位数在第 3 组中. 0.10.30.40.10.30.30.7 设中位数为 分， t 则有，所以， 700.030.1t 1 73 3 t 即所求的中位数为分. 1 73 3 （2）由（1）可知，50 名学生中成绩不低于 70 分的频率为， 0.30.20.10.6 由以上样本的频率，可以估计高三年级 2000 名学生中成绩不低于 70 分的人数为. 2000 0.61200 （3） 由 （1） 可知， 后三组中的人数分别为 15,10,5， 故这三组中所抽取的人数分别为 3,2,1.记成绩在70,80 这组的
15、 3 名学生分别为，成绩在这组的 2 名学生分别为，成绩在这组的abc80,90de90,100 1 名学生为， 则从中任抽取 3 人的所有可能结果为，f, ,a b c, ,a b d, ,a b e, ,a b f, ,a c d ，, ,a c e, ,a c f, ,a d e, ,a d f, ,a e f, ,b c d, ,b c e, ,b c f, ,b d e ，共 20 种. , ,b d f, ,b e f, ,c d e, ,c d f, ,c e f, ,d e f 其中后两组中没有人被抽到的可能结果为，只有 1 种， , ,a b c 故后两组中至少有 1 人被抽
16、到的概率为. 119 1 2020 P 20（1）解：由题意得，则. 22 2a 2a 由椭圆与圆：的公共弦长为， CM 2 2 1 1 2 xy2 其长度等于圆的直径， M 可得椭圆经过点， C 2 1, 2 所以，解得. 2 1 1 2 1 2b 1b 所以椭圆的方程为. C 2 2 1 2 x y （2）证明：设，则，. 11 ,A x y 22 ,E xy 11 ,Bxy 1,0 D x 因为点，都在椭圆上，所以 AEC 22 11 22 22 22, 22, xy xy 所以， 1212 xxxx 1212 20yyyy 即. 1212 1212 2 yyxx xxyy 又， ABE
17、BDBAD uu u ruuruuu ruuu r 0AE AB uu u r uu u r 所以， 1 ABAE kk 即， 112 112 1 yyy xxx 所以 112 112 1 2 yxx xyy 所以 12 1 112 2 yyy xxx 又， 121 121 2 BEBD yyy kk xxx 1212 1212 0 yyyy xxxx 所以， BEBD kk 所以，三点共线. BDE 21（1）解：的定义域为， f x0, . 2 1 m fx x 2xm x 当时，故在内单调递减，无极值； 0m 0fx f x0, f x 当时，令，得； 0m 0fx02xm 令，得. 0
18、fx2xm 故在处取得极大值，且极大值为，无极小值. f x2xm22ln 22fmmmm f x （2）当时，. 0x 30g xfx 2 3e36 30 x m xx 2 3e3630 x xmx 设函数， 2 3e3 x u xx63mx 则.记， 3 e22 x uxxm e22 x v xxm 则. e2 x vx 当变化时，的变化情况如下表： x vx v x 由上表可知， ln2v xv 而， ln2 ln3e2ln22vm22ln22m2ln2 1m 由，知， 1m ln2 1m 所以， ln20v 所以，即. 0v x 0ux 所以在内为单调递增函数. u x0, 所以当时，
19、. 0x 00u xu 即当且时，. 1m 0x 2 3e3 x x630mx 所以当且时，总有. 1m 0x 30g xfx 22解：（1）由得， 4cos 2 4 cos 所以， 22 40xyx 所以圆的直角坐标方程为. C 22 (2)4xy 将直线 的参数方程代入圆，并整理得， l:C 22 (2)4xy 2 2 20tt 解得，. 1 0t 2 2 2t 所以直线 被圆截得的弦长为. lC 12 | 2 2tt （2）直线 的普通方程为. l40xy 圆的参数方程为（为参数）， C 22cos , 2sin , x y 可设圆上的动点， C(22cos ,2sin )P 则点到直线
20、 的距离. Pl |22cos2sin4| 2 d |2cos()2 | 4 当时，取最大值，且的最大值为， cos()1 4 dd22 所以， 1 2 2 2 ABP S(22)22 2 即的面积的最大值为. ABP22 23. 解：（1） 3 ,1, 1 ( )2, 1, 2 1 3 ,. 2 x x f xxx x x 根据函数的单调性可知， ( )f x 当时，. 1 2 x min 13 ( )( ) 22 f xf 所以函数的值域. ( )f x 3 ,) 2 M （2）因为，所以，所以. aM 3 2 a 3 01 2a 又， |1|1|1aaa123aa 所以 3 |1|1| 2 aa a 37 2 22 a a 2 473 2 aa a 143 2 aa a 由，知， 3 2 a 10a 430a 所以， (1)(43) 0 2 aa a 所以， 37 2 22 a a 所以. |1|1|aa 37 2 22 a a
