1、第第 1 页页 不等式中不等式中级级水平必水平必备备 一、一、幂幂平均不等式平均不等式 1、 、幂幂平均函数平均函数： ：设设， ，则则幂幂平均函数平均函数定定义为义为： ： ,., 12n xxx0 ； ； ( ). n 12n M 0x xx ( )1 . ( ) 1 rrr r 12n xxx M r n ( )2 这这两个式子称两个式子称为为幂幂平均函数平均函数. ( )1 ( )2 2、 、幂幂平均不等式平均不等式： ：幂幂平均函数平均函数在在实实数空数空间间是是连续连续且且单调递单调递增的增的. 利用其增减性得到的不等式称利用其增减性得到的不等式称为为幂幂
2、平均不等式平均不等式. 3、在、在点的点的证证明：明：设设函数函数 r0 . ( )ln rrr 12n xxx f r n 则则： ： lnln.ln '( ) . rrr 1122nn rrr 12n xxxxxx fr xxx 于是：于是： lnln.lnln(.) '( )ln. . 000 1122nn12n n 12n 000 12n xxxxxxx xx f0x xx n xxx 即：即： ln. '( ) . n 12n x xx f0 n 12n eex xx 而：而： . ( ) 1 rrr r 12n xxx M r n 则则： ：
3、.( ) ln( )ln rrr 12n xxx1f r M r rnr 故：故： ( )( )( ) ln( )lim ln( )limlim'( ) r0r0r0 f rf rf 0 M 0M rf0 rr0 则则： ： '( ) ( ) f0 M 0e 将将代入代入得：得：. 式式证毕证毕. ( ). n 12n M 0x xx ( )1 二、二、幂幂平均不等式的推平均不等式的推论论 第第 2 页页 1、在、在点：点：由由式得：式得： r1 ( )2 . () . 1 111 12n n 111 12n xxxn M1H n xxx ( )3 故
4、故的的幂幂平均平均值值是是调调和平均和平均值值. r1 2、在、在点：点：由已由已证证明明过过的的式：式： r0 ( )1( ). n 12nn M 0x xxG ( )4 故故的的幂幂平均平均值值是是几何平均几何平均值值. r0 3、在、在点：点：由由式得：式得： r1 ( )2 ( ) 1 111 1 12n12n n xxxxxx M 1A nn ( )5 故故的的幂幂平均平均值值是是算算术术平均平均值值. r1 4、在、在点：点：由由式得：式得： r2 ( )2 ( ) 1 222222 2 12n12n n n xxxxxx M 2Q nn ( )6 故故的的幂幂平均平均
5、值值是是平方平均平方平均值值. r2 5、推、推论论： ：根据根据幂幂平均函数平均函数在在实实数空数空间间是是连续连续且且单调递单调递增，增， 由由可得：可得： r1012 nnnn HGAQ ( )7 当且当且仅仅当当时时取等号取等号. . 12n xxx 以上是由以上是由幂幂平均不等式平均不等式推推导导的的均均值值定理定理，在，在处处理更高次方理更高次方时时，即，即时时， ，式仍适式仍适r2 ( )2 用用. 三、加三、加权权不等式不等式 1、 、加加权权不等式不等式： ：若若，且，且， ，则则就是就是权权重，重， 12n 0 1,., , . 12n 1 i 当当（ （） ）时时，恒有：
6、，恒有： k a0 , ,.,k1 2n n12 1 12 2n n12n aaaaaa ( )8 成立成立. 第第 3 页页 式就是式就是加加权权不等式不等式. ( )8 2、 、对对时时： ：此此时时式式为为： ： n2 ( )8 12 1 12 212 aaaa 取取，上式，上式变为变为： ： 12 1 2 12 1 2 aa a a 2 这这是二元的是二元的均均值值不等式不等式. 3、 、对对时时： ：此此时时式式为为： ： n3 ( )8 312 1 12 23 3123 aaaaaa 取取，上式，上式变为变为： ： 123 1 3 123 3 1 2 3 aaa a a
7、 a 3 这这是三元的是三元的均均值值不等式不等式. 4、 、评评价：价：此此加加权权不等式不等式为为均均值值加加权权，由于，由于权权重重的灵活配置，的灵活配置，加加权权不等式不等式比比均均值值不等式不等式 更加灵活，也更加高效更加灵活，也更加高效. 四、加四、加权权琴生不等式琴生不等式 1、 、琴生不等式琴生不等式： ：对对于于向下凸函数向下凸函数，函数的均，函数的均值值不小于均不小于均值值的函数的函数值值.用数学式子表达用数学式子表达为为： ： ()().(). () 12n12n f xf xf xxxx f nn ( )9 左左边边是函数的平均是函数的平均值值，右，右边边是
8、平均是平均值值的函数的函数值值. 对对于于向上凸函数向上凸函数，只需在函数前面加一个，只需在函数前面加一个负负号就可以直接采用号就可以直接采用式式. ( )9 2、 、加加权权琴生不等式琴生不等式： ：若函数若函数在在区区间连续间连续，且在，且在区区间为间为向下凸向下凸(,.,) 12n f xxx , a b( , )a b 函数函数，若，若，且，且， ，对对于一切于一切， ， 12n 0 1,., , . 12n 1 ,.,( , ) 12n xxxa b 则则： ： ().()(.) 11nn11nn f xf xfxx ()10 当当时时， ，式就化式就化为为式式. . 1
9、2n 1 n ()10( )9 因此，因此，式是更普遍的式是更普遍的琴生不等式琴生不等式. ()10 3、推、推论论： ：设设函数函数，在区，在区间间时时， ，是一个是一个连续连续函数，函数，则则： ： f , a bR f 对对一切一切，恒有：，恒有： , , x ya b ( )( )() 11xy f xf yf 222 ()11 第第 4 页页 对对一切一切， ，恒有：，恒有： , , x ya b ( , )0 1 ( )() ( )() )f x1f yfx1y ()12 4、向下凸函数判据：、向下凸函数判据：设设函数函数，在区，在区间间时时， ，是一个是一个连续连续函
10、数函数. f , a bR f 如果如果成立，成立，则则为为向下凸函数向下凸函数. ( )( ) () f xf yxy f 22 f 如果如果， ，则则为为向下凸函数向下凸函数. ''( )fx0 f 五、柯西不等式五、柯西不等式 1、 、柯西不等式柯西不等式： ：设设为实为实数，数，则则： ： ,.,., 12n12n aaab bb 22222 1n1n1 1n n aabba ba b(.)(.)(.) ()13 这这就是著名的就是著名的柯西不等式柯西不等式. 2、推、推论论 1： ：设设， ， ，则则： ： ,., 12n aaa0 ,., 12n b b
11、b0 (.)(.). 12n12n1 12 2n n aaabbba ba ba b ()14 3、推、推论论 2： ：设设， ， ，则则： ： ,., 12n aaa0 ,., 12n b bb0 (.) . . 2222 n12n12 12n12n aaaaaa bbbbbb ()15 式被称式被称为为权权方和不等式方和不等式. ()15 4、推、推论论 3： ：设设， ， ，则则： ： ,., 12n aaa0 ,., 12n b bb0 .(.) . 2nn1212 222 12n12n 12n aaaaaa1 aaabbb bbb ()16 5、推、推论论 4： ：设设， ， ，则则
12、： ： ,., 12n aaa0 ,., 12n b bb0 (.) . . 2 n12n12 12n1 12 2n n aaaaaa bbba ba ba b ()17 六、伯努利不等式六、伯努利不等式 1、 、伯努利不等式伯努利不等式： ：设设， ，则则： ： ,., 12n xxx1 ()().(). 12n12n 1x1x1x1xxx ()18 2、当、当时时： ： ,., 12n xxxx 第第 5 页页 ()n1x1nx ()19 可可见见， ，式是式是式的特例，式的特例，式更普遍式更普遍. ()19()18()18 七、切七、切线线法不等式法不等式 即：即：设设限法限
13、法 1、 、切切线线法法： ：设设为实值为实值向下凸函数，向下凸函数， ， ，直，直线线与与相切相切( )f x,m nR (, )xm n yaxb f 于于，假，假设设：在：在区区间间，始，始终终有：有： (, )m n(, )xm n ( )f xaxb ()20 则则： ：式就称式就称为为切切线线不等式不等式. ()20 当当时时，前面加，前面加负负号就可以采用号就可以采用式式 ( )f xaxb ()20 2、 、指数不等式指数不等式： ： （ （） ） x ex1 x1 函数函数为为： ：， ，为为向下凸函数向下凸函数. ( ) x f xe 则则： ：， ， ， 0 f0e1&#
14、39;( ) 0 f 0e1( ) 在在处处的切的切线线方程方程为为： ： x0 yf0x0f 0x1'( )()( ) 故：在故：在区区间间，由，由式得：式得：，即：，即： x1 ()20f xx1( ) x ex1 21() 式就是式就是指数不等式指数不等式. 21() 3、 、对对数不等式数不等式： ： （ （） ） xx1ln x0 函数函数为为： ：， ，为为向上凸函数向上凸函数. f xx( )ln 设设， ，则则为为向下凸函数向下凸函数. g xf xx( )( )ln g x( ) 则则： ：， ， ， x 1 1 g 11 x '( ) x 1 g
15、 1x0( )ln 在在处处的切的切线线方程方程为为： ： x1 yg 1 x1g 1x1'( )()( )() 故：在故：在区区间间，由，由式得：式得：， ， x0 ()20g xx1( )() 即：即：，即：，即： xx1ln() xx1ln 22() 式就是式就是对对数不等式数不等式. 22() 八、定八、定义义符号符号 第第 6 页页 对对于于 3 个个对对称称变变量的不等式，量的不等式，为为了了简简化化书书写，便于写，便于计计算，我算，我们们定定义义两个两个简简化求和符号化求和符号. 定定义义： ：为单轮换为单轮换求和：展开求和：展开项项数数为为. cyc 3 (
16、 , , )( , , )( , , )( , , ) cyc P x y zP x y zP y z xP z x y ()23 式式为单轮换为单轮换求和定求和定义义式式. ()23 根据定根据定义义： ： 单单个求和个求和： ：； ； cyc xxyz ； ； 2222 cyc xxyz . 3333 cyc xxyz 双双积积求和求和： ：； ； cyc xyxyyzzx ； ； 2222 cyc x yx yy zz x ； ； 3333 cyc x yx yy zz x . 32323232 cyc x yx yy zz x 三三积积求和求和： ：； ； cyc xyzxyzyzxz
17、xy3xyz ； ； 2222 cyccyc x yzx yzy zxz xyxyz xyzxyzx() ； ； 22222222 cyccyc x y zx y zy z xz x yxyz xyyzzxxyzxy() . 33332222 cyccyc x yzx yzy zxz xyxyz xyzxyzx() 定定义义： ：为为双双轮换轮换求和：展开求和：展开项项数数为为. sym 6 ( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )( , , ) sym P x y zP x y zP y z xP z x yP x z yP z y xP y x
18、z ( , , )( , , ) cyccyc P x y zP x z y ()24 式式为为双双轮换轮换求和定求和定义义式式. ()24 根据定根据定义义： ： 单单个求和个求和： ：； ； symcyccyccyc xxy2 xyz2x() ； ； 2222222 symcyccyccyc xxy2 xyz2x() 第第 7 页页 . 3333333 symcyccyccyc xxy2 xyz2x() 双双积积求和求和： ：； ； symcyccyccyc xyxyxz2 xyyzzx2xy() ； ； 22222222 symcyccyc x yx yx zy zy xz xz yxy
19、zxy xy()() 3333333 sym x yx yx zy zy xz xz y . 32233 cyccyccyc xyzxy xyx yz()()() 三三积积求和求和： ：. sym xyz6xyz ； ； 2222222 symcyc x yzx yzx zyy zxy xzz xyz yx2xyzx ； ； 22222222222222 symcyc x y zx y zx z yy z xy x zz x yz y x2xyzxy 和的平方和的平方： ： ()() 2222 xyzxyz2 xyyzzx 简简写写为为： ： 2 2 cyccyccyc xx2xy 和的立方和
20、的立方： ： ()() 3333222222 xyzxyz3 x yy zz xxyyzzx6xyz 简简写写为为： ：； ； () 3 3232 cyccycsymcycsym xx3x y6xyzx3x yxyz 九、舒九、舒尔尔不等式不等式 1、 、舒舒尔尔不等式不等式： ：设设， ，对对任何任何，恒有：，恒有： x y z0, , r0 rrr xxyxzyyzyxzzx zy0()()()()()() 简简写写为为： ： r cyc xxyxz0()() ()25 式式这这就是就是舒舒尔尔不等式不等式. ()25 2、 、对对的特例：的特例： r1 333
21、2 sym xyz3xyzx y 简简写写为为： ：，或，或 32 cycsym x3xyzx y 32 cycsym xxyzx y （）()26 第第 8 页页 由于：由于： 322 x xyxzxx yx zxyz()() 所以：所以： 32 cyccyccyccyc x xyxzxxyzxyz()()() 32 cycsym xxyz3xyz() 代入代入式得式得式式. ()25()26 yzx zxyxyzxyz()()() ()27 由于：由于： yzx zxyxyz()()() 22 zxyzxyxyzzxyxyz()()()() () 2232 zxy
22、xyxyzz xy()() ()() 2222322 z xz yxyxyzz x2xyy()()() 223223322 z xz yxx yy xyzz x2xyy()() 32 cycsym xx y2xyz 所以所以式式为为： ： ()27 32 cycsym xx y2xyzxyz 即：即：， ，这这正是正是式式. 32 cycsym x3xyzx y ()26 3 4 xyzxyyzzxxyz9xyz()()() 简简写写为为： ： 3 cyccyccyc 4xxyx9xyz()()() ()28 不等式左不等式左边边： ： 4 xyzxyyzzx()()
23、 222222 4 x yxyzzxxyy zxyzxyzyzz x() 2 sym 4x y3xyz 不等式右不等式右边边： ： 332 cycsym xyz9xyzx3x y15xyz() 代入代入式得：式得： ()28 232 symcycsym 4x y3xyzx3x y15xyz 即：即：，即：，即：， ，这这正是正是式式. 23 symcyc x yx3xyz 32 cycsym x3xyzx y ()26 222 9xyz 2 xyyzzxxyz xyz ()() ()29 第第 9 页页 简简写写为为： ： 2 cyccyc cyc 9xyx 2xyx x 由由得
24、左得左边为边为： ： 222 xyz 2 xyyzzxxyz9xyz() ()() 222 2 xyzxyyzzxxyzxyz()()()() 232 symcycsym 2x y3xyzxx y 移移项项合并得：合并得：， ，这这正是正是式式. 32 cycsym x3xyzx y ()26 222222 3 xyz3 x y z2 xyyzzx() 简简写写为为： ： 222 23 cycsym x3 x y zxy ()30 由由代入代入式得：式得： 3 xyz3 xyz ()29 ()() 222222 3 3 9xyz9xyz 2 xyyzzxxyz3 x
25、y z xyz3 xyz 即：即：. 222222 3 xyz3 x y z2 xyyzzx() 对对于于时时，与此，与此类类似推似推导导. r1 十、十、缪尔缪尔海德不等式海德不等式 1、 、缪尔缪尔海德不等式海德不等式： ：设设为实为实数，且数，且， ， ， 123123 aaab bb, 123 aaa0 123 bbb0 ， ， ，； ； 11 ab 1212 aabb 123123 aaabbb 设设， ，则则有：有： x y z0, , 333333121212121212 aaaaaaaaaaaaaaaaaa xyzx zyyxzy zxzxyzyx 33333312121212
26、1212 babbbbbbbbbbbbbbbb xy zx zyy x zy zxz xyzyx 简简写写为为： ： 331212 abaabb symsym xyzxy z ()31 这这就是就是缪尔缪尔海德定理海德定理. 2、推广、推广为为一般式：一般式： nn1212 abaabb 12n12n symsym xxxxxx ()32 十一、赫十一、赫尔尔德不等式德不等式 1、 、赫赫尔尔德不等式德不等式： ：设设， ， ，为为正正实实数，数，则则有：有： , 123 aaa, 123 b bb, 123 ccc 第第 10 页页 ()()()() 333333
27、3333 1231231231 1 12 2 23 3 3 aaabbbccca b ca b ca b c 简简写写为为： ： 3 3333 333 iiii i i i 1i 1i 1i 1 abca b c ()33 2、推广、推广为为一般式：一般式： i i nmmn ijij i 1j 1j 1i 1 aa ()34 3、推、推论论： ： ()().()(.)n n 12n1 2n 1a1a1a1a aa ()35 十二、排序不等式十二、排序不等式 1、 、正序和正序和： ：前面前面缪尔缪尔海德不等式海德不等式的前提就是一个数列的
28、有序化，即数是按从大到小、或的前提就是一个数列的有序化，即数是按从大到小、或 者从小到大排列，者从小到大排列，这这种按一定增减性排列的数就是有序数种按一定增减性排列的数就是有序数. 当有序数列当有序数列和和 n a n b 的增减性相同的增减性相同时时： ： . n1 12 2n n Sa ba ba b 称称为为正序和正序和. 2、 、反序和反序和： ：当有序数列当有序数列是从小到大排列，是从小到大排列，是从大到小排列是从大到小排列时时： ： n a n b . n1 12 2n n Sa ba ba b 称称为为反序和反序和. 当然，若当然，若时时从大到小排列，从大到小排列，是从小到大排列
29、是从小到大排列时时， ，也是也是反序反序 n a n b n S 和和. 3、 、乱序和乱序和： ：当数列当数列无序排列，或者无序排列，或者无序排列，或者两者都无序排列无序排列，或者两者都无序排列时时： ： n a n b . n1 12 2n n Sa ba ba b 称称为为乱序和乱序和. 4、 、排序不等式排序不等式： ： 正序和正序和乱序和乱序和反序和反序和 ()36 式称式称为为排序不等式排序不等式. ()36 十三、切比雪夫不等式十三、切比雪夫不等式 1、 、切比雪夫不等式切比雪夫不等式： ：设设和和为为任意两任意两组实组实数，若数，若与与的升的升,., 12n xx
30、x,., 12n yyy n x n y 降同序降同序.即：即： 第第 11 页页 若若， ，则则； ； . 12n xxx . 12n yyy 若若， ，则则. . 12n xxx . 12n yyy 则则： ： nnn iiii i 1i 1i 1 111 x yxy nnn ()37 式称式称为为切比雪夫不等式切比雪夫不等式. ()37 练习练习 练习练习 1 设设是一个三角形的三是一个三角形的三边长边长，求，求证证： ：. a b c, , abc 2 bccaab 练习练习 2 设设，求，求证证： ：. a b c0, , abc3 bccaab2 练习练习 3 设设，
31、且，且，求，求证证： ：. x y z1, , 111 2 xyz xyzx1y1z1 练习练习 4 设设为为任意任意实实数，数，证证明不等式：明不等式： 12n xxx,., . n12 22222 1121n xxx n 1x1xx1xx . . 练习练习 5 设设，且，且，求，求证证： ：. x y0, xy2 2222 x yxy2() 练习练习 6 设设，且，且，求，求证证： ：. a b0, ab1 22 ab1 a1b13 练习练习 7 设设，且，且，求，求证证： ：. a b c0, , abc1 111 1 ab1bc1ca1 练习练习 8 设设，且，且，求，求证证： ： x
32、 y z0, , xyz1 . ()()()()()() 333 xyz3 1y 1z1z 1x1x 1y4 练习练习 9 设设，求，求证证： ：. , ,a b c0 222 abc3 3 2 1a1b1c 练习练习 10 已知已知，求，求证证： ：. , x y1 () y 1 xxyxy1 练习练习 11 对实对实数数，求，求的最小的最小值值. ,., 12n xxx. 12n xxxxxx 练习练习 12 若函数若函数在在实实数区数区间间为为向下凸函数，向下凸函数，求，求证证： ： ( , , )f x y z , a b, , , x y za b 第第 12 页页 ( )( )(
33、)()()()() xyzxyyzzx f xf yf z3 f2 f2 f2 f 3222 练习练习 13 设设为为正系数的多正系数的多项项式，且式，且，求，求证证： ： ( ). nn 1 nn 110 P xa xaxa xa n i i 0 a1 . ()( ) 1 PP x x 参考解答：参考解答： 练习练习 1 设设是一个三角形的三是一个三角形的三边长边长，求，求证证： ： a b c, , abc 2 bccaab 解析：解析：采用采用“设设限法限法”. 对对于三角形有：两于三角形有：两边边之和大于第三遍，即：之和大于第三遍，即：，即：，即： bca bca 22 即：即：，即：
34、，即： bcbcabc 2222 1 bcabc 2 () 于是：于是： aa 1 bc abc 2 () 同理：同理：；. bb 1 ca abc 2 () cc 1 ab abc 2 () 上面三式相加得：上面三式相加得： abcabc 2 111 bccaab abcabcabc 222 ()()() 证毕证毕. 本本题题的的式就是式就是对对某个量某个量设设限，即将限，即将限制在某个范限制在某个范围围内，以此得解内，以此得解. a bc 练习练习 2 设设，求，求证证： ：. a b c0, , abc3 bccaab2 解析：解析：采用采用“柯西不等式柯西不等式”. 由由
35、柯西不等式柯西不等式得：得： 第第 13 页页 2 111 bccaab1119 bccaab ()()()() 即：即： 111 2 abc9 bccaab () 即：即：，即：，即： abcabcabc9 bccaab2 abc9 111 bccaab2 即：即：. abc3 bccaab2 证毕证毕. 练习练习 3 设设，且，且，求，求证证： ： x y z1, , 111 2 xyz xyzx1y1z1 解析：解析：采用采用“柯西不等式柯西不等式”. 由由得：得：， ，即：即： 111 2 xyz 111 31 xyz () x1y1z1 1 xyz 由由柯西不等式柯西不等式得：得： 2 x1y1z1 xyzxyzx1y1z1 xyz ()()() 即：即： 2 xyzx1y1z1() 即：即：. xyzx1y1z1 证毕证毕. 练习练习 4 设设为为任意任意实实数，数，证证明不等式：明不等式： 12n xxx,., n12 22222 1121n xxx n 1x1xx1xx . . 解析：解析：采用采用“柯西不等式柯西不等式”. 设设 ， ，则设则设分母分母为为： ：（ （
