1、北京市人大附中 2019 届高考数学模拟预测考试一 数学试题（文）数学试题（文） 考试时间：120 分钟；试卷分值：150 分 第一部分（选择题共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项。 1若集合，则（ ） | 11Axx |02BxxAB I A B | 11xx | 12xx C D |02xx|01xx 2设复数（是虚数单位） ，则在复平面内，复数对应的点的坐标为12iz 2 z （ ） A B C D 3,45,43,23,4 3若向量，则（ ） 1, 1,2a2,1, 3bab A B C3 D 72 2
2、10 4.九章算术中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几 何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为 5 步和 12 步，问其内切 圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随意投一粒豆子，则豆子落在其内 切圆外的概率是 A； B； C； D 15 2 20 3 15 2 1 20 3 1 5.若函数与的对称轴完全相同， 则( )2sin()(0) 4 f xx ( )2cos(2) 4 g xx 函数在哪个区间上单调递增 ( )2sin()(0) 4 f xx A B C D 0, 8 0, 4 , 8 , 4 6.若函数的最小值为，则实数 的取值范围 |2| 2 2 2 2,
3、2 ( ) log (),2 3 x x f x a xaxx (2)fa 为 A或； B或； 33a 3 3a 33a 3 3a C或； D或； 33a 2 6a 33a 2 6a 7“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵 爽创制了一幅 “勾股圆方图” 用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明 如 图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小 正方形拼成一个边长为 2 的大正方形， 若直角三角形中较小的锐 角， 现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落 6 在小正方形内的概率是（ ） A BC D 4 3 2 3 2 32 4 34 8已知直线与
4、双曲线的斜率为正的渐近线交于点by20, 01 2 2 2 2 ba b y a x ，曲线的左、右焦点分别为，若，则双曲线的离心率A 21 FF、15tan 12 FAF 为（ ） A 或 B CD 4 11 16 11 16 24 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 9已知函数，则2. 2,2 2,6 )2( x xx xf x )2(f 10某校高三科创班共 48 人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按 1 至 48 的学号用系统抽样方法抽取 8 人进行调查，若抽到的最大学号为 48，则抽 到的最小学号为 6 11已知实数
5、，满足约束条件，则的最大值_2_ y 0 1 0 xy xy x 2zxy 12如果，是抛物线：上的点，它们的横坐标依次为 1 P 2 P 10 PC 2 4yx ，是 抛 物 线C的 焦 点 ， 若， 则 1 x 2 x 10 x 1210 10xxxL _20_ 1210 PFP FP FL 13已知的内角，的对边分别为， ， ，若，ABCABC 1 cos 4 B 4b ，则的面积为_ sin2sinACABC15 14已知四棱椎中，底面是边长为 2 的菱形，且，则PABCDABCDPAPD 四棱锥体积的最大值为_ PABCD 4 3 三、解答题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字
6、说明，演算步骤或证明过程。 15已知数列 n a是等差数列，首项，且是与的等比中1 1 a1 3 a1 2 a2 4 a 项 （1）求数列 n a的通项公式； （2）设，求数列 n b的前n项和 n S 1 2 nn n aa b 解：(1)设数列的公差为d，a11，且是与的等比中 n a1 3 a1 2 a2 4 a 项 ， 211 42 2 3 aaaddd33222 2 或1,d 2d 当时，是与的等比中项矛盾，舍去. 1d01 3 a1 3 a1 2 a2 4 a 数列的通项公式为 n a12 nan (2) 12 1 12 1 1212 22 1 nnnnaa b nn n 1212
7、 2 75 2 53 2 31 2 nn Sn 12 1 12 1 7 1 5 1 5 1 3 1 3 1 1 nn 12 2 12 1 1 n n n 16.已知函数 2 2cos2 3sin sin 2 f xxxx （1）求的最小正周期； f xT （2）在中，内角所对的边分别是若，ABCABC、 、abc、 、3 2 A f 且面积，求的值 222 1 4 Sacb b a 解：（1） 1 cos23sin2f xxx 12sin 2 6 x T （2）由已知得 3 A 又 222 11 cos 42 acbacB 即 1 sin 2 SacBsincosBB 4 B sin6 sin
8、3 bB aA 17某大学生参加社会实践活动，对某公司 1 月份至 6 月份销售某种配件的销售 量及销售单价进行了调查，销售单价和销售量之间的一组数据如下表所示： xy 月份 i1 2 3 4 5 6 销售单价（元） i x 9 9.5 10 10.5 11 8 销售量（件） i y 11 10 8 6 5 14.2 （1）根据 1 至 5 月份的数据，求出关于的回归直线方程； yx （2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过 0.5 元， 则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方 程是否理想？ （3）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从
9、（1）中的关系，若该种 机器配件的成本是 2.5 元/件， 那么该配件的销售单价应定为多少元才能获 得最大利润？（注：利润=销售收入-成本） 参考公式：回归直线方程，其中，参考数据： ybxa 2 1 2 1 xnx yxnyx b n i i n i ii ,392 5 1 i iiy x 5 . 502 5 1 2 i i x 解：（1）解析：（1）因为， 11 995 10 105 1110,11 108658 55 xy 8)5681011( 5 1 y 所以，则， 2 3925 10 8 32 50255 10 b 8321040a 于是关于的回归直线方程为； yx3240yx （2
10、）当时， ，则 8x 32 84014 4 y 5 . 02 . 0 2 . 144 .14 yy 所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的； （3）令销售利润为，则W ， 2 2532403248100(25125)Wxxxxx 因为， 2 15 32151003210080 2 xx Wxx 当且仅当，即时， 取最大值 15xx 7 5x W 所以该产品的销售单价定为 75 元/件时，获得的利润最大 18.如图，在四棱锥PABCD中，/AD BC， 22ABADBC，PBPD， 3PA . （）求证：PABD； （）若PAAB，2 2BD ，E为PA的中 点 （i）过点C作一直线l与BE平
11、行，在图中画出 直线l并说明理由； （ii）求平面BEC将三棱锥PACD分成的两部分体积的比 证明：(1)取中点,连接, BDOAOPO ,为中点 ABADQOBD AOBD 又,为中点 PBPDOBD POBD 又 AOPOOI 面 BDPAO 又面 PAPAO PABD (2)(i)取中点,连接,则，即为所作直线 PDFCFEF/CF BECFl 理由如下: 在中、分别为、中点 QPADEFPAPD ,且 /EFAD 1 1 2 EFAD 又, /AD BCQ 1 1 2 BCAD E A D B P C O F E A D B P C 且 /EF BC=EF BC 四边形为平行四边形.
12、BCFE /CF BE (ii), PAABQPABDABBDBI 面 PAABD 又在中, ABD2ABAD2 2BD 222 ABADBD ABAD 又, PAABPAADAI 面 ABPAD 方法一： 112 3 223 323 P ACD V 1133 (12)2 3222 CAEFD V 2 333 = 326 P ECF V 3 1 6 = 33 2 P ECF CAEFD V V 方法二：在中，为中位线 QPADEF 1 4 PEF PAD S S 1 1 3 1 4 3 PEF C PEF C PAD PAD SAB V V SAB 1 = 3 P ECF CAEFD V V
13、方法三： 1 2 EF AD Q 1 1 3 1 4 3 PEC FPEC D PAC PAC SEF V V SAD 1 = 3 P ECF CAEFD V V 19.19. 已知函数 f(x)(3x)ex，g(x)xa(aR R)(e 是自然对数的底数，e 2.718) (1) 求函数 f(x)的极值； (2) 若函数 yf(x)g(x)在区间1，2上单调递增，求实数 a 的取值范围； (3) 若函数 h(x)在区间(0，)上既存在极大值又存在 f（x）g（x） x 极小值，并且函数 h(x)的极大值小于整数 b，求 b 的最小值 (1) f(x)(3x)ex，f(x)(2x)ex， 令
14、f(x)0，解得 x2，列表如下： 所以当 x2 时，函数 f(x)取得极大值，极大值 f(2)e2，无极小值 (2) 由 yf(x)g(x)(3x)(xa)ex， 得yexx2(3a)x3a2x(3a)exx2(1a)x2a3 因为 ex0，令 m(x)x2(1a)x2a3， 所以函数 yf(x)g(x)在区间1，2上单调递增等价于对任意的 x1，2， 函数 m(x)0 恒成立， 所以解得 a3， m（1） 0， m（2） 0，) 故 a 的取实范围是3，) (3) 由题意得 h(x)， f（x）g（x） x （3x）exxa x 则 h(x). ex（x23x3）a x2 令 r(x)ex
15、(x23x3)a, 因为 h(x)在区间(0，)上既存在极大值又存在极小值， 所以 h(x)0 在区间(0，)上有两个不等的实数根， 即r(x)ex(x23x3)a0在区间(0， )上有两个不等的实数根x1， x2(x10，r(x)单调递增；当 x(1，)时，r (x)0，r(x)单调递减，则 0x11， 所以解得3ae， r（0） 0，) 所以 r ea e30. ( 3 2 ) 3 4 3 2 3 4 3 2 因为 r(x)在区间(0，)上连续且 r(0)r(1)0，r(1)r0， ( 3 2 ) 所以 r(x)0 在区间(0，1)和区间上各有一个实数根， (1， 3 2) 所以函数 h(
16、x)在区间(0，)上既存在极大值又存在极小值时，有3a e，并且在区间(0，1)上存在极小值 f(x1)，在区间上存在极大值 f(x2)， (1， 3 2) 所以 h(x2)，且 h(x2) （3x2）ex2x2a x2 ex2（x3x23）a x 0， 所以 aex2(x 3x23)， 2 2 所以 h(x2)(3x2)ex2x2ex2(x 3x23)ex2(2x2)1， 2 2 1 x2 令 H(x)ex(2x)，则 H(x)ex(1x)， 当 x(1，)时，H(x)0，H(x)单调递减， 因为 x2， (1， 3 2) 所以 hh(x2)h(1)， ( 3 2 ) 即 h(x2)， (
17、1 2e 3 2 1，e1) 则 3 e1e14. 1 2 3 2 因为 h(x)的极大值小于整数 b， 所以满足题意的整数 b 的最小值为 4. 20在直角坐标系中，动圆与圆外切，且圆与直线xoyP1)2( : 22 yxQP 相切，记动圆圆心的轨迹为曲线 1xPC (1)求曲线的轨迹方程； C (2)设过定点的动直线 与曲线交于两点，试问：在曲线上)0 , 2(SlCBA,C 是否存在点（与两点相异） ， 当直线的斜率存在时， 直线MBA,MBMA,MBMA, 的斜率之和为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由 M （1）设圆的半径为 ， ),(yxPPr 因为动圆与圆外切， P
18、1)2( : 22 yxQ 所以， 22 (2)1xyr 又动圆与直线相切， P1x 所以， 1+= xr 由消去 得， rxy8= 2 所以曲线 C 的轨迹方程为 xy8= 2 （2）假设存在曲线上的点满足题设条件，不妨设CM ),(),(),( 221100 yxByxAyxM 则， 2 00 8yx 2 11 8yx 2 22 8yx ， 10 1010 8 MA yy k xxyy 20 2020 8 MB yy k xxyy 所以， 120 2 1020012012 8(2)88 () MAMB yyy kk yyyyyyyyy y 显然动直线 的斜率存在且非零，设， l2: tyx
19、l 联立方程组，消去得， 2 8 2 yx xty x0=16+8 2 ty-y 由0 得t1 或 t1，所以，且 16=,8=+ 2121 yytyy 21 y y 代入式得，令（m为常数）， 0 2 00 8(82) 816 MAMB ty kk yty 0 2 00 8(82) 816 ty m yty 整理得， 2 000 (864)(1616 )0mytmyym 因为式对任意恒成立， ), 1 () 1,(t 所以， 0 2 00 8640 16160 my myym 所以或，即或 0 2 4 m y 0 2 4 m y )4 , 2(M),4, 2( M 即存在曲线上的点或满足题意C)4 , 2(M)4, 2( M
