1、 抽象函数抽象函数 一、求表达式方法 2 1.换元法 . 2 2.拼凑法 . 2 3.待定系数法 . 2 4.利用函数性质法 . 3 5.方程组法 . 3 5.赋值法 . 3 二、抽象函数常见考点解法综述 5 1.定义域问题 . 5 2.求值问题 . 5 3.值域问题 . 5 4.奇偶性问题 . 6 5 单调性问题 . 6 6.对称性问题 . 7 7.求参数的取值范围 . 7 8.解不定式 . 7 9.周期问题 . 7 三、抽象函数五类题型及解法 9 1.线性函数型抽象函数 . 9 2.指数函数型抽象函数 10 3.对数函数型抽象函数 11 4.幂函数型抽象函数 12 5.三角函数型
2、抽象函数 13 四、巩固练习. 15 抽象函数问题综述抽象函数问题综述 -含有函数记号“( )f x”有关问题解法 由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号( )f x的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理 解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式方法一、求表达式方法 1.换元法换元法 例例 1：已知 ()21 1 x fx x ,求( )f x. 解：设 1 x u x ,则 1 u x u 2 ( )21 11 uu f u uu 2 ( ) 1 x f x x 例例 2：已知 f(x1)x2x
3、，则 f(x)_. 解：设 tx1，则xt1，x(t1)2，t1，代入原式有 f(t)(t1)22(t1)t21，故 f(x)x21(x1) 2.拼凑法拼凑法 在已知( ( )( )f g xh x的条件下，把( )h x并凑成以( )g u表示的代数式，再利用代换即可求( )f x.此解法简洁，还能进一 步复习代换法。 例例 1：已知 3 3 11 ()f xx xx ，求( )f x 解： 22 2 11111 ()()(1)()()3)f xxxxx xxxxx 又 11 | |1 | xx xx 23 ( )(3)3f xx xxx， (|x|1) 例例 2：已知 f(x1
4、)x2x，则 f(x)_. 解：f(x1)x2x(x1)21，故 f(x)x21(x1) 3.待定系数法待定系数法 先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例例 1：已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x1)2f(x1)2x17，则 f(x)_. 解析 令 f(x)axb(a0)，则 f(x1)a(x1)b f(x1)a(x1)b，代入条件中的式子得 ax5ab2x17，求得 a2，b7，故 f(x)2x7. 例例 2：设 yf(x)是二次函数，方程 f(x)0 有两个相等实根，且 f(x)2x2，求 f(x)的解析式 解:设 f(x)ax2bxc(a0)，
5、则 f(x)2axb2x2，a1，b2，f(x)x22xc. 又方程 f(x)0 有两个相等实根，44c0，解得 c1.故 f(x)x22x1. 例例 3：已知( )f x二次实函数，且 2 (1)(1)f xf xx+2x+4,求( )f x. 解:设( )f x= 2 axbxc，则 22 (1)(1)(1)(1)(1)(1)f xf xa xb xca xb xc = 22 222()24axbxacxx比较系数得 2()4 13 21,1, 22 22 ac aabc b 2 13 ( ) 22 f xxx 4.利用函数性质法利用函数性质法 例例 1：已知y=( )f x为奇函数,当x
6、0 时,( )lg(1)f xx,求( )f x 解:( )f x为奇函数， ( )f x的定义域关于原点对称， 故先求x0,()lg(1)lg(1)fxxx , ( )f x为奇函数，lg(1)()( )xfxf x 当x0 时，f(x)1，且对任意的 a、bR，有 f(a+b)=f(a)f(b)， 求证：f(0)=1； 求证：对任意的 xR，恒有 f(x)0； （3）证明：f(x)是 R 上的增函数； （4）若 f(x) f(2x-x2)1，求 x 的取值范围。 9.已知函数( )f x的定义域为 R,对任意实数,m n都有 1 ()( )( ) 2 f mnf mf n,且 1 ( )0
7、 2 f,当 1 2 x 时, ( )f x0. (1)求(1)f; (2)求和(1)(2)(3).( )ffff n * ()nN; (3)判断函数( )f x的单调性,并证明. 10.函数( )f x的定义域为 R,并满足以下条件:对任意xR,有( )f x0;对任意, x yR,有() ( )yf xyf x; 1 ( )1 3 f. (1)求(0)f的值; (2)求证: ( )f x在 R 上是单调减函数; (3)若0abc且 2 bac,求证:( )( )2 ( )f af cf b. 11.已知函数( )f x的定义域为 R,对任意实数,m n都有()( )( )f m
8、nf mf n,且当0x 时,0( )1f x. (1)证明:(0)1,0fx且时,f(x)1; (2)证明: ( )f x在 R 上单调递减; (3)设 A= 22 ( , )()()(1)x yf xf yf,B=( , )(2)1,x yf axyaR,若 AB=,试确定a的取值范围. 12.已知函数( )f x是定义域为 R 的奇函数,且它的图象关于直线1x 对称. (1)求(0)f的值; (2)证明: 函数( )f x是周期函数; (3)若( )(01),f xxx求当xR时,函数( )f x的解析式,并画出满足条件的函数( )f x至少一个周期的图象. 13.函数( )f x对于
9、x0 有意义，且满足条件(2)1,()( )( ),( )ff xyf xf yf x是减函数。 （1）证明：(1)0f； （2）若( )(3)2f xf x成立，求 x 的取值范围。 14.设函数( )f x在(,) 上满足(2)(2)fxfx，(7)(7)fxfx， 且在闭区间 0， 7 上， 只有(1)(3)0ff （1）试判断函数( )yf x的奇偶性； （2）试求方程( )f x=0 在闭区间-2005，2005上的根的个数，并证明你的结论 B A A 02a,解:由 2 (1)(1)0fafa得, 2 (1)(1)faf
10、a,得 2 2 111 111 11 a a aa 02 220 21 a aa a 且02a 12xx；解：令1xy，则(1)2 (1)ff(1)0f，则 2 (log)(1)fxf 222 log1loglog 22xxx 函数( )f x是定义在(0,+)上的增函数 2 og01lxx, 由得，不等式的解集为12xx。 110 2 2 a ；解： 22 (sin )(1cos)f axf ax 等价于 22 2 22 2222 2 sin33sin 31 1cos32cos20 5 sin1cos1cossin 1 4 axax a axaxa axaxaaxx aa 22 110 22
11、 2 110110 22 a aa aa 或 （1）解：令0ab，则(0)0f 令1ab，则(1)2 (1)(1)0fff （2）证明：令1ab ，则(1)2 ( 1)ff，(1)0f，( 1)0f 令,1ax b ，则()( 1)( )( )fxxff xf x ( )f x是奇函数。 （3）当0ab 时， ()( )( )f a bf bf a abba ，令 ( ) ( ) f x g x x ，则()( )( )g a bg ag b 故()( ) n g ang a，所以 1 ()()( )( ) nnnnn f aag ana g anaf a 1 (2)11 ( ) 22 n n
12、 n f uf n 111 (2)2,(1)(2)220 222 fffff 111 (2) 242 ff ，故 1 11 22 n n unN 11 1 22 1 1 1 2 1 2 n n n snN （1）令 a=b=0，则 f(0)=f(0)2f(0)0 f(0)=1 （2）令 a=x，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) 由已知 x0 时，f(x)10，当 x0，f(-x)0 又 x=0 时，f(0)=10 对任意 xR，f(x)0 (3)任取 x2x1，则 f(x2)0，f(x1)0，x2-x10 f(x2)f(x1) f(x)在 R 上是增函数 （4）f(x) f(2x-x
13、2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x)又 1=f(0)， f(x)在 R 上递增 )( 1 )( xf xf 0 )( 1 )( xf xf 1)()()( )( )( 1212 1 2 xxfxfxf xf xf 由 f(3x-x2)f(0)得：3x-x20 00;对任意, x yR,有() ( )yf xyf x; 1 ( )1 3 f 12 1212 1111 ()()()() ( ) ( ) 3333 pp f xf xfpfpff0 12 ( )()f xf x 函数( )f x是 R 上的单调减函数. (3) 由（1）（2）知，( )(0)1f bf，( )1f b ( )
14、()( ),( )( ) ac bb ac f af bf bf cbf b bb ( )( )( )( )2 ( ) a c ac b bbf af cf bf bf b ，而 2 222acacbb 2 2( )2( )2 ( ) a cb bbf bf bf b ( )( )2 ( )f af cf b (1)证明:令0,1mn,则(0 1)(0)(1)fff 当0x 时,0( )1f x,故(1)0f,(0)1f,当0x 时,0( )1f x 当0x 时,0x ,则 (0)1 ()()( )( )1 ()() f fxxfxf xf x fxfx (2)证明: 任取 121
15、2 ,x xRxx且,则 2121112111 ()( )()( )()( )( )f xf xfxxxf xf xxf xf x 211 () 1 ( )f xxf x 21 0xx,0 21 0()1f xx,故 21 () 1f xx0 时，f(x)1，且对任意的 a、bR，有 f(a+b)=f(a)f(b)， 求证：（1）f(0)=1； （2）对任意的 xR，恒有 f(x)0； （3）证明：f(x)是 R 上的增函数； （4）若 f(x) f(2x-x2)1，求 x 的取值范围。 解 （1）令 a=b=0，则 f(0)=f(0)2f(0)0 f(0)=1 （2）令 a=x
16、，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) 由已知 x0 时，f(x)10，当 x0，f(-x)0 又 x=0 时，f(0)=10对任意 xR，f(x)0 (3)任取 x2x1，则 f(x2)0，f(x1)0，x2-x10 f(x2)f(x1) f(x)在 R 上是增函数 （4）f(x) f(2x-x2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x)又 1=f(0)，f(x)在 R 上递增 由 f(3x-x2)f(0)得：3x-x20 00 时，00 时，0c1,且 a、b、c 成等差数列，求证： 2 ( )( )( )f af cfb； （3）（本小题只理科做）若 f(x) 单调递增，且 mn
17、0 时，有( )( )2() 2 mn f mf nf ，求证：322m 解：(1)取 x=1,q=2,有 2 (1 )(2)(1)01( )0ffff x 即是的一个根，若存在另一个实根 0 1x ，使得 1111010 ( )0(0,)(0),( )()0, q f xx xxxqf xqf x对任意的成立，且有 01 ()0)0,( )01f xf xf xx恒成立， （与条件矛盾，有且只有一个实根 （2） 12 1, qq abcabcb不妨设， ，则q 1 0， 2 0q 12 2 1 2 ( )( )()()( ) qq f af cf bf bq qfb，又 a+c=2b, ac
18、-b 2 = 2 () 0 4 ac 即 acb 2 12 2 2 12 122 1 ,02,1 2 qq qq bbqqq q 2 ( ) ( )( )f a f cfb (3)(1)0, ( )(0,)(0,1)( )0;(1,)( )0.ff xxf xxf x在单调递增，当时当时， 又( )( ) ,( )( ),( )( ),0,( )( ).f mf nf mf nf mf nmnf mf n 令 m=b 1 q ,n= 2 q b,b1,且 q1 20q 则 f(m)+f(n)=(q1 2) qf(b)=f(mn)=0 2 1.01,( )2, 2 mn mnnmf mf 且 2
19、 1,1,( )2 (),( ) 222 mnmnmn mmnf mff mf 2 2 mn m 即 4m= 22, 2mmnn 22 42mmn,由 0n1 得 2 0421,mm1m ， 322m 23. 设( )f x是定义域在 1, 1上的奇函数，且其图象上任意两点连线的斜率均小于零. （l）求证( )f x在 1, 1上是减函数； （ll）如果()f xc， 2 ()f xc的定义域的交集为空集，求实数c的取值范围； （lll）证明若12c ，则()f xc， 2 ()f xc存在公共的定义域，并求这个公共的空义域. 解：（1）奇函数( )f x的图像上任意两点连线的斜率均为负 对于
20、任意 12 11xx 、，且 12 xx有 12 12 ()() 0 f xf x xx 从而 12 xx与 12 ()()f xf x异号 ( )f x在 11 ，上是减函数 （2）()f xc的定义域为11cc， 2 ()f xc的定义域为 22 11cc， 上述两个定义域的交集为空集 则有： 2 11cc 或 2 11cc 解得：2c 或1c 故 c 的取值范围为2c 或1c （3） 2 11cc 恒成立由(2)知：当12c 时 2 11cc 当12c或10c 时 2 11cc 且 2 11cc 此时的交集为 2 (1,1cc 当01c , 2 11cc 且 2 11cc 此
21、时的交集为 2 1,1cc 故12c 时，存在公共定义域，且 当10c 或12c时，公共定义域为 2 (1,1cc； 当01c时，公共定义域为 2 1,1cc. 28.定义域为 R 的函数 f(x)满足：对于任意的实数 x，y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当 x0 时 f(x)0 恒成立. (1)判断函数 f(x)的奇偶性，并证明你的结论； (2)证明 f(x)为减函数；若函数 f(x)在-3，3）上总有 f(x)6 成立，试确定 f(1)应满足的条件； 22 11 (3)()( )()( ),(,0)xf axf xf a xf ana nn 解关于 的不等式是一个给定的自
22、然数 解:（1）由已知对于任意 xR，yR，f（x+y）=f（x）+ f（y）恒成立 令 x=y=0，得 f（0+0）= f（0）+ f（0），f（0）=0 令 x=-y，得 f(x-x)= f(x)+ f(-x)=0对于任意 x，都有 f(-x)= - f(x)f(x)是奇函数. （2）设任意 x1，x2R 且 x1x2，则 x2-x10，由已知 f（x2-x1）0（1） 又 f（x2-x1）= f（x2）+ f（-x1）= f（x2）- f（x1）（2） 由（1）（2）得 f(x1)f(x2),根据函数单调性的定义知 f(x0 在(-，+)上是减函数. f(x)在-3，3上的最大值为 f(
23、-3).要使 f(x)6 恒成立，当且仅当 f(-3)6， 又f（-3）= - f（3）= - f（2+1）=- f（2）+ f（1）= - f（1）+ f（1）+ f（1）= -3 f（1）， f（1）-2. （3） 1 n f（ax2）- f（x） 1 n f（a2x）- f（a） f（ax2）- f（a2x）nf（x）- f（a） f（ax2-a2x）nf（x-a）（10 分） 由已知得：fn（x-a）=nf（x-a）f（ax2-a2x）fn（x-a）f（x）在（-，+）上是减函数 ax2-a2xn（x-a）.即（x-a）（ax-n）0，a0，（x-a）（x- n a ）0，（11 分）
24、 讨论：（1）当 a n a 0，即 a-n时，原不等式解集为x | x n a 或 xa； （2）当 a= n a 0 即 a=-n时，原不等式的解集为 ； （3）当 n a a0 时，即-na0 时， 原不等式的解集为x | xa 或 x n a 33.己知函数 f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件： 当是定义域中的数时，有； f（a）1（a0，a 是定义域中的一个数）； 当 0x2a 时，f（x）0。 试问：（1）f（x）的奇偶性如何？说明理由。 （2）在（0，4a）上,f（x）的单调性如何？说明理由。 解：（1）f（x）的定义域关于原点对称，且是定义域中的数时有 ，在定义域中。 ， f（x）是奇函数。 （2）设 0x1x22a，则 0x2x12a，在（0，2a）上 f（x）0， f（x1），f（x2），f（x2x1）均小于零，进而知中的，于是 f（x1） f（x2）， 在（0，2a）上 f（x）是增函数。 又，f（a）1，f（2a）0，设 2ax 4a，则 0x2a2a， ，于是 f（x）0，即在（2a，4a）上 f（x）0。设 2ax1x24a， 则 0x2x12a，从而知 f（x1），f（x2）均大于零。f（x2x1）0， ，即 f（x1）f（x2），即 f（x）在（2a，4a）上也是增函数。综上所述，f（x）在（0，4a）
