1、 数学试题(理科) 第 1 页（共 4 页） 合肥市2020 年高三第一次教学质量检测 数学试题(理科)参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.-2 14. 3 或 2 3 15.72 16.6， 1 6 4n (第一空2分，第二空3分) 三、解答题：大题共6小题，满分70分. 17.(本小题满分12分) 三、解答题：大题共6小题，满分70分. 17.(本小题满分12分) 解：(1)在ABC中， s
2、insinsin abc ABC ，且coscos2 cos0aCcAbB， sincossincos2sincos0ACCABB， sin12cos0BB， 又sin0B ， 2 cos 2 B . B是三角形的内角， 3 4 B . 5分 (2) 在ABM中， 3 1,5, 4 BMAMBABc ， 由余弦定理得 2 22 2cosAMcBMc BMB， 2 240cc 0c ,2.c 在ABC中，2a ， 3 4 B , ABC的面积 1 sin1 2 SacB. 12分 18.(本小题满分12分) 18.(本小题满分12分) (1)依题意，学校选择“科技体验游”的概率为 2 5 ，选择
3、“自然风光游”的概率为1 5 ， 这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，这两种类型都有学校选的概率为： 22 22 33 211218 5555125 PCC . 5分 (2)X可能取值为0，1，2，3. 则 3 0 3 327 0 5125 P XC ， 2 1 3 2354 1 55125 P XC ， 2 2 3 2336 2 55125 P XC ， 3 3 3 28 3 5125 P XC ， X的分布列为 X 0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 27543686 0123 1251251251255 EX . 12分 或解：
4、 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C D D B A B A C C B 数学试题(理科) 第 2 页（共 4 页） 随机变量X服从 2 3 5 XB ， 26 3 55 EXnp . 12分 19.(本小题满分12分)19.(本小题满分12分) (1)连结 1 AC. 1 AAAC，四边形 11 AAC C为菱形， 11 ACAC. 平面 11 AAC C 平面ABC， 平面 11 AAC C平面ABCAC， BC 平面ABC，,BCAC BC 平面 11 AAC C. 又 11 /BCBC， 11 BC 平面 11 AAC C， 111 BCAC.
5、 1111 ACBCC， 1 AC 平面 11 ABC， 而 1 AB 平面 11 ABC， 1 AC 1 AB. 5分 (2)取 11 AC中点M，连结CM. 1 AAAC，四边形 11 AAC C为菱形， 1 60A AC ， 11 CMAC，CMAC. 又CMBC，以C为原点，CACBCM，为正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 设1CB ，22ACCB， 1 AAAC， 1 60A AC ， C(0，0，0)， 1 A(1，0，3)，A(2，0，0)，B(0，1，0)， 1 B(-1，1，3). 由(1)知，平面 11 C AB的一个法向量为 1 1 03CA ，. 设平面 1 ABB
6、的法向量为nxyz ，则 1 nAB nAB ， 1 0 0 n AB n AB . 2 1 0AB ， 1 3 1 3AB ， 20 330 xy xyz . 令1x ，得 1 2 3 yz，即 1 1 2 3 n ，. 1 1 1 23 cos, 416 2 3 CA n CA n CAn ， 二面角 11 CABB的余弦值为 3 4 . 12分 20.(本小题满分12分) 20.(本小题满分12分) (1)设椭圆的半焦距为c. 由椭圆的离心率为 2 2 知，2bcab，. 设圆C的半径为r，则 22 rabab， 2 232bb，解得3b，6a， 椭圆C的方程为 22 1 63 xy .
7、5分 (2)MN，关于原点对称，PMPN，OPMN. 设 11 Mxy， 22 P xy，. 当直线PM的斜率存在时，设直线PM的方程为ykxm. 由直线和椭圆方程联立得 2 2 26xkxm， 数学试题(理科) 第 3 页（共 4 页） 即 222 124260kxkmxm，得 12 2 2 12 2 4 21 26 21 km xx k m x x k . 设 11 OMxy ， 22 OPxy ， 12121212 OM OPx xy yx xkxmkxm 2 2222 1212 22 264 11 2121 mkm kx xkm xxmkkmm kk 22 2 322 0 21 mk
8、k 22 220mk， 22 22mk 圆 C 的圆心O到直线PM的距离为 2 2 1 m r k ，直线PM与圆 C 相切. 当直线PM的斜率不存在时，设 00 (,),M xy 则 00 (,)Nxy ，由条件可知 00 (,)P xy , 且 22 00 xy，又 22 00 1 63 xy , 2 0 2x ， PMC与相切 . 同理可得，直线PN与圆 C 也相切. 直线PM、PN与圆 C 相切. 12分 21.(本小题满分12分) 21.(本小题满分12分) (1)由 2 1 0 x x f x e ，得1x ，函数的零点 0 1x . 2 21 x xx fx e ， 12fe ，
9、10f . 曲线 yf x在1x 处的切线方程为21ye x. 2 1f e ， 10f， 曲线 yf x在1x 处的切线方程为 2 1yx e .5分 (2) 2 21 x xx fx e . 当 1212 x ，时， 0fx；当 12 120xfx ，时，. f x的单调递增区间为 12 12 ，单调递减区间为 12 12，. 又当1x 或1x 时， 0f x，当11x 时， 0fx . 下面证明：当1 1x ，时， 21e xfx. 2 (1)( ) ( 11)e xf xx 2 1 2 (1)0 x x e x e 1 1 0 ( 11). 2 x x ex 易知， 1 1 ( ) 2
10、 x x g xe 在 1,1x 上单调递增，而( 1)0,g 0( 1,1)g xx 对恒成立，即当1 1x ，时， 21e xf x. 由 21ye x ym 得1 2 m x e .记 1 1 2 m x e . 不妨设 12 xx，则 12 1121xx ， 1212212 1 2 m xxxxxxx e . 数学试题(理科) 第 4 页（共 4 页） 要证 12 1 21 2 xxm e ，只要证 2 1 121 22 m xm ee ，即证 2 1xm . 又 2 2 2 1 x x m e ，只要证 2 2 2 2 1 1 x x x e ，即 2 22 110 x xex. 2
11、 12 1x ，即证 2 2 10 x ex. 令 11 xx xexxe，. 当 12 0x，时， 0x， x为单调递减函数； 当0 1x，时， 0x， x为单调递增函数. 00x， 2 2 10 x ex， 12 1 21 2 xxm e . 12分 22.(本小题满分10分) 22.(本小题满分10分) (1)曲线C的方程4cos6sin， 2 4 cos6 sin， 22 46xyxy， 即曲线C的直角坐标方程为： 22 2313xy. 5分 (2)把直线 2 3 2 : 2 1 2 xt l yt 代入曲线C得 22 22 1213 22 tt ， 整理得， 2 3 280tt. 2
12、 3 2320 ，设 12 tt，为方程的两个实数根，则 12 3 2tt， 1 2 8t t ， 12 tt，为异号， 又点A（3，1）在直线l上， 2 1212121 2 4505 2AMANttttttt t. 10分 23.(本小题满分10分) 23.(本小题满分10分) 解：(1) 2f xxmx，220f xxmx的解集为 4， 2xmx，解得28m，即6m . 5分 (2) 6m ，212abc， 又a 0，b 0，c 3， 1223 113 2 abc abc 3 33 12231121 12 32 232323 abcabc ， 当且仅当1223abc ，结合212abc解得3a ，1b ，7c 时，等号成立. 113abc的最大值为32. 10分
