1、 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系新人新人教教版九年级数学上册版九年级数学上册 21 21 一元二次方程一元二次方程v了解一元二次方程的根与系数关系，了解一元二次方程的根与系数关系，能进行能进行简单应用；简单应用；v在一元二次方程根与系数关系的探在一元二次方程根与系数关系的探究过程中，究过程中，感受感受由特殊到一般的认识由特殊到一般的认识方法。方法。填写下表：填写下表：方程方程两个根两个根两根两根之和之和两根两根之积之积a与与b之间之间关系关系a与与c之间之间关系关系1x2x21xx 21xx abac猜想：猜想：如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根的两个根分别是
2、分别是 、，那么，你可以发现什么结论？，那么，你可以发现什么结论？)0(02acbxax1x2x0432xx0652xx01322 xx23212123214656531213434已知：已知：如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、。abxx21acxx21)0(02acbxax1x2x求证：求证：推导:aacbbaacbbxx24242221aacbbacbb24422ab22abaacbbaacbbxx2424222122244aacbb244aacac 如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、，那么：，那么：abxx21acxx21)
3、0(02acbxax1x2x这就是一元二次方程一元二次方程根与系数的关系根与系数的关系，也叫，也叫韦达定理韦达定理。如果一元二次方程如果一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0（a0a0）的两个实）的两个实数根是数根是x x1 1，x x2 2 那么那么x x1 1+x+x2 2=，x x1 1xx2 2=如果一元二次方程如果一元二次方程x x2 2+px+q=0+px+q=0的两个根是的两个根是x x1 1，x x2 2 那么那么 x x1 1+x+x2 2=-p x=-p x1 1xx2 2=q =q abac归纳：归纳：平行 四边形的判定；点P的坐标是(2,-2(3).5某
4、农科所对甲、乙两种小麦各选用10块面积相同的试验田进行种植试验，它们的平均亩产量分别是x甲610千克，x乙608千克，亩产量的方差分别是s甲2，s乙22.如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两个实数根是x1，x2 那么x1+x2=，x1x2=思考5 在一个弹簧秤的下端挂上重物，记录不同重物下弹簧的长度，探索弹簧的变化规律.(2)令-(3)x2+(3)=0,得:x1=-1,x2=1,则抛物线C1与x轴的两个交点坐标为(-1,0),(1,0).利用根与系数的关系，求一元二次方程2、知识背景：平行四边形的性质；0462 xx01522 xx522x05322 xx0732xx1.3.2.4
5、.5.口答下列方程的两根之和与两根之积。口答下列方程的两根之和与两根之积。某快餐公司的香辣鸡腿很受消费者欢迎现有甲、乙两家农副产品加工厂到快餐公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近快餐公司决定通过检查鸡腿的质量来确定选购哪家的鸡腿(2)为使240名师生有车坐，且租车总费用不超过1万元，你有哪几种租车方案？哪种方案最省钱？方法三：同位角相等，两直线平行(2)为使240名师生有车坐，且租车总费用不超过1万元，你有哪几种租车方案？哪种方案最省钱？(2)为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围(3)存
6、在.易得抛物线的对称轴是直线x=2,解：由题意，得：甲组单独施工12天完成，商店需付装修费用3 600元；乙组单独施工24天完成，商店需付装修费用3 360元，比较可知，甲组比乙组早12天完工，商店早开业12天可盈利200122 400(元)并估算出甲、乙两山杨梅的产量总和；在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的.如图，已经知道2是直角，那么再度量图中已标出的哪个 角，就可以判断两(2)是选用两角相等，还是选用互补关系说明两直线(3)在(2)的条件下,能否在抛物线上找到另外的点Q,使BDQ为直角三角形?如果能,请求出Q点坐标;如果不能,请说明理由但要打破纪录，成绩要比较突出，因此乙队员打破纪录
7、的可能性大，我认为为了打破纪录，应选乙队员参加这项比赛同理可得:D(-1+m,0),E(1+m,0).(2)令-(3)x2+(3)=0,得:x1=-1,x2=1,则抛物线C1与x轴的两个交点坐标为(-1,0),(1,0).A(-1-m,0),B(1-m,0).例1：已知12,xx是方程2241 0 xx 的两个实数根，求2212xx的值。121212,2xxxx222121212()2xxxxx x2122()2 5利用根与系数的关系，求一元二次方程利用根与系数的关系，求一元二次方程 两个根的；（两个根的；（1）平方和；（）平方和；（2）倒数和）倒数和01322 xx解：设方程的两个根是解：设
8、方程的两个根是x1 x2，那么那么 32123112413212232121,2321212122221212212121xxxxxxxxxxxxxxxx返回 例例2：已知方程已知方程 的一个根的一个根是是2，求它的另一个根及，求它的另一个根及k的值的值.解：设方程 的两个根 分别是 、，其中 。所以：即：由于 得：k=-7 答：方程的另一个根是 ，k=-70652kxx0652kxx1x2x21x562221xxx532x5)53(221kxx53练习：练习：若若关于关于x的方程的方程2x25xn0的一个根是的一个根是2，求它的另一个根及求它的另一个根及n的值。的值。1;22n另一个根为X1
9、+X2=-k，X1X2=k+2在一元二次方程根与系数关系的探究过程中，感受由特殊到一般的认识方法。这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。(2)令-(3)x2+(3)=0,得:x1=-1,x2=1,则抛物线C1与x轴的两个交点坐标为(-1,0),(1,0).(2)为使240名师生有车坐，且租车总费用不超过1万元，你有哪几种租车方案？哪种方案最省钱？解：设方程的两个根是x1 x2，那么x1+x2=-p x1x2=q(2)令-(3)x2+(3)=0,得:x1=-1,x2=1,则抛物线C1与x轴的两个交点坐标为(-1,0),(1,0).点P的坐标是(2,-2(3).能应用根与系数的关系.例例
10、3 3：已知方程的两个实数根已知方程的两个实数根 是是且且 求求k k的值。的值。解：由根与系数的关系得解：由根与系数的关系得 X X1 1+X+X2 2=-k=-k，X X1 1X X2 2=k+2=k+2 又又 X X1 12+X X2 2 2=4=4 即即(X X1 1+X X2 2)2-2-2X X1 1X X2 2=4=4 K K2 2-2(k+2-2(k+2）=4=4 K K2 2-2k-8=0 -2k-8=0 =K K2 2-4k-8-4k-8当当k=4k=4时，时，0 0当当k=-2k=-2时，时，0 0 k=-2k=-2解得：解得：k=4 或或k=2022kkxx2,1xx4
11、2221 xx3与4是直线DF，AB被直线DE所截得到的同POB=POD+AOB=60+120=180,(2)现将抛物线C1向左平移m个单位长度,平移后得到的新抛物线的顶点为M,与x轴的交点从左到右依次为A,B;解:(1)=(-m)2-41/2 (2m-7/2)=m2-4m+7=m2-4m+4+3=(m-2)2+3,解：举例如下(答案不唯一)：甲队现在得分为170分，乙队现在得分为1910510195(分)解:(1)y=(3)x2-(3).位角，所以DEBC，理由是“同位角相等，两直5某农科所对甲、乙两种小麦各选用10块面积相同的试验田进行种植试验，它们的平均亩产量分别是x甲610千克，x乙6
12、08千克，亩产量的方差分别是s甲2，s乙22.7.则关于两种小麦推广种植的合理决策是()(ii)当四边形CDNM是平行四边形,M向上平移4个单位得N,N的坐标为(3+n,n+6),又N在抛物线y=1/2 x2-3x+5/2 上,n+6=1/2 (3+n)2-3(3+n)+5/2,但要打破纪录，成绩要比较突出，因此乙队员打破纪录的可能性大，我认为为了打破纪录，应选乙队员参加这项比赛2、知识背景：平行四边形的性质；平行 四边形的判定；三角形中位线定理；答：h约为6则42+|y+2(3)|2 =42,解得y=-2(3).点P的坐标是(2,-2(3).A(-1-m,0),E(1+m,0),A,E关于原
13、点O对称,思考5 在一个弹簧秤的下端挂上重物，记录不同重物下弹簧的长度，探索弹簧的变化规律.已知弹簧原长为15cm，每1kg重物使弹簧伸长，则分别悬挂重量 x 为2kg、3kg、5kg、7kg的重物，弹簧的总长度 l 为多少cm，l 的值随 x 的值的变化而变化吗？2.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式.3.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当且仅当 时，才能应用根与系数的关系.1.一元二次方程根与系数的关系是什么?042 acb(2)令-(3)x2+(3)=0,得:x1=-1,x2=1,则抛物线C1与x轴的两个交点坐标
14、为(-1,0),(1,0).如图，已经知道2是直角，那么再度量图中已标出的哪个 角，就可以判断两分别是 、，那么，你可以发现什么结论？一元二次方程根与系数的关系是什么?如果一元二次方程 的两个根(ii)当四边形CDNM是平行四边形,M向上平移4个单位得N,N的坐标为(3+n,n+6),又N在抛物线y=1/2 x2-3x+5/2 上,n+6=1/2 (3+n)2-3(3+n)+5/2,并估算出甲、乙两山杨梅的产量总和；某快餐公司的香辣鸡腿很受消费者欢迎现有甲、乙两家农副产品加工厂到快餐公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近快餐公司决定通过检查鸡腿的质量来确定选购哪家的鸡腿x1+x2=-p x
15、1x2=q(二次项系数为1)为:的两个根分别是 、，那么：5某农科所对甲、乙两种小麦各选用10块面积相同的试验田进行种植试验，它们的平均亩产量分别是x甲610千克，x乙608千克，亩产量的方差分别是s甲2，s乙22.x1+x2=-p x1x2=q并估算出甲、乙两山杨梅的产量总和；应用一元二次方程的根与系数关系时，即：一元二次方程根与系数的关系是什么?所以：平行 四边形的判定；(二次项系数为1)为:解得：k=4 或k=2的两个根分别是 、。应用一元二次方程的根与系数关系时，位角，所以DEBC，理由是“同位角相等，两直某快餐公司的香辣鸡腿很受消费者欢迎现有甲、乙两家农副产品加工厂到快餐公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近快餐公司决定通过检查鸡腿的质量来确定选购哪家的鸡腿易得抛物线的对称轴是直线x=2,5某农科所对甲、乙两种小麦各选用10块面积相同的试验田进行种植试验，它们的平均亩产量分别是x甲610千克，x乙608千克，亩产量的方差分别是s甲2，s乙22.(2)令-(3)x2+(3)=0,得:x1=-1,x2=1,则抛物线C1与x轴的两个交点坐标为(-1,0),(1,0).以以 为两根的一元二次方程为两根的一元二次方程(二次项系数为二次项系数为1)为为:0)(21212xxxxxx2,1xx4、已知两根求作新的方程已知两根求作新的方程
