1、2022-10-304用因式分解法求解一元用因式分解法求解一元二次方程二次方程知识点一知识点一因式分解法因式分解法解一元二次方程定义依据步骤因式分解法因式分解法解一元二次方程,是将方程的一边化为0,而另一边分解为两个一次因式乘积的形式,分别令每个因式等于0,得到两个一次方程,解这两个方程得到一元二次方程的两个根因式分解法解一元二次方程的依据是“若ab=0,那么a=0或b=0”移项:将方程的右边化为0;化积:把方程的左边分解为两个一次因式的积;转化:令每个因式分别为0,转化为两个一元一次方程;求解:解这两个一元一次方程,它们的根就是原方程的根因式分解的常用方法(1)提公因式:一元二次方程右边化为
2、0后,若左边多项式有公因式,则把公因式提到括号外面,将多项式分解成因式乘积的形式,再解方程.(2)运用公式:一元二次方程右边化成0后,若左边多项式可逆用平方差公式或完全平方公式分解因式,则将多项式分解为因式乘积的形式,再解方程例例1用因式分解法解下列方程:(1)x2=5x;(2)x(x-2)+x-2=0;(3)3(5-x)2=2(x-5);(4)(2x+1)2=x2;(5)(x+2)2-10 x-20=-25.解析解析(1)原方程变形为x2-5x=0,即x(x-5)=0,x=0或x-5=0,x1=0,x2=5.(2)原方程可变形为(x-2)(x+1)=0,x-2=0或x+1=0,x1=2,x2
3、=-1.(3)原方程可变形为3(x-5)2=2(x-5),3(x-5)2-2(x-5)=0,即(x-5)3(x-5)-2=0,整理得(x-5)(3x-17)=0,x-5=0或3x-17=0,x1=5,x2=.(4)原方程变形为(2x+1)2-x2=0,可得(2x+1+x)(2x+1-x)=0,即(3x+1)(x+1)=0,1733x+1=0或x+1=0,x1=-,x2=-1.(5)原方程变形为(x+2)2-10(x+2)+52=0,可得(x+2-5)2=0,x1=x2=3.点拨点拨用因式分解法解一元二次方程时,应熟记各种分解因式的方法,要善于观察方程的特点,如果没有公因式,尝试化为两个整式的平
4、方差或完全平方式的形式来解决.13知识点二知识点二灵活选择方法解一元二次方程灵活选择方法解一元二次方程一元二次方程主要有四种解法,它们的理论依据及适用范围如下表:方法理论依据适用方程关键步骤直接开平方法平方根的意义(x-m)2=n(n0)开平方配方法完全平方公式所有一元二次方程配方公式法配方法所有一元二次方程代入求根公式因式分解法若两个因式的积为0,那么这两个因式至少有一个为0一边是0,另一边易于分解成两个一次因式的积的方程分解因式(2)因式分解法:;(3)配方法:;(4)求根公式法:.例例2x2-4=0;2x2+3x=0;x2-3x-2=0;4x2-12x+9=0;3x2=36;(x-7)2
5、=0;x2=6x;2x2+4x=1.把方程的序号填在下面适宜解法的横线上.(1)直接开平方法:;解析解析可以用平方差公式分解因式,也可以把常数项-4移到方程的右边后直接开平方;可以用提取公因式法分解因式后求解;左边不能直接开平方,也不能因式分解,可以考虑用配方法或求根公式法;用完全平方公式分解因式后求解;方程两边同除以3后,用直接开平方法求解;可以用直接开平方法;移项后,可以用提公因式法分解因式后求解;移项变形后,既不能用直接开平方法求解,也不能用因式分解法求解,可以考虑用配方法或求根公式法.答案答案(1)(2)(3)(4)点拨点拨一元二次方程的解法的选择顺序:先特殊,后一般,即先考虑能否用直
6、接开平方法和因式分解法,不能用这两种方法时,再用公式法,没有特殊要求解法,一般不用配方法,因为用配方法解方程比较烦琐.(1)当方程一边为含有未知数的完全平方式,另一边为非负数时,可用直接开平方法.(2)当方程的一边为0,而另一边可以分解为两个一次因式的乘积的形式时,运用因式分解法求解.(3)当方程的一边较易配成含未知数的完全平方式,另一边为非负数时,常用配方法.(4)当不使用上面三种方法时,就用求根公式法.题型一题型一用适当的方法解方程用适当的方法解方程例例1用适当的方法解下列方程:(1)49(x-3)2=16(x+6)2;(2)(2-3x)(x+4)=(3x-2)(1-5x);(3)x2+x
7、-6=0;(4)(x+4)2-(x+5)2+(x-3)2=24-3x.1452分析分析方程(1)移项后可用平方差公式分解因式,或方程两边开平方后求解.方程(2)移项后,可直接提出公因式(3x-2).方程(3)先把方程两边都乘4,使其系数都变为整数.方程(4)先化为一元二次方程的一般形式,再选择解法.解析解析(1)解法一:原方程可化为7(x-3)2-4(x+6)2=0,即(7x-21)2-(4x+24)2=0.因式分解,得(11x+3)(3x-45)=0,x1=-,x2=15.解法二:两边开平方,得7(x-3)=4(x+6).当7(x-3)=4(x+6)时,解得x=15;当7(x-3)=-4(x
8、+6)时,解得x=-.原方程的解为x1=15,x2=-.(2)原方程可化为(3x-2)(1-5x)+(3x-2)(x+4)=0.(3x-2)(5-4x)=0,3x-2=0或5-4x=0,x1=,x2=.3113113112354(3)解法一:原方程可化为x2+10 x-24=0,x2+10 x+25=24+25,(x+5)2=49,x+5=7,x1=-12,x2=2.解法二:原方程可化为x2+10 x-24=0,因式分解,得(x+12)(x-2)=0.x+12=0或x-2=0,x1=-12,x2=2.(4)解法一:原方程可化为x2-5x-24=0.a=1,b=-5,c=-24,b2-4ac=2
9、5+96=1210,x=,x1=8,x2=-3.解法二:原方程可化为x2-5x-24=0,因式分解,得(x-8)(x+3)=0,x-8=0或x+3=0,x1=8,x2=-3.512125 112题型二题型二用因式分解法解形如用因式分解法解形如x2-(a+b)x+ab=0(a,b为常数为常数)的一元二次的一元二次方程方程例例2用因式分解法解下列方程:(1)x2+2013x-2014=0;(2)x2-2013x-2014=0;(3)x2-(+)x+=0.236分析分析(1)要设法找到两个数a,b,使a+b=-2013,ab=-2014,经过反复试验可发现这两个数分别为1,-2014,所以方程x2+
10、2013x-2014=0可转化为(x-1)(x+2014)=0.同样地,方程(2)(3)的左边也可以分解成两个一次因式的积的形式.解析解析(1)x2+2013x-2014=0,(x-1)(x+2014)=0,x-1=0或x+2014=0,x1=1,x2=-2014.(2)x2-2013x-2014=0,(x-2014)(x+1)=0,x-2014=0或x+1=0,x1=2014,x2=-1.(3)x2-(+)x+=0,(x-)(x-)=0,x-=0或x-=0,x1=,x2=236232323易错点易错点用因式分解法解方程时用因式分解法解方程时,方程两边同除以一个式子时方程两边同除以一个式子时,
11、忽略了忽略了 所除的式子可能为所除的式子可能为0的情况的情况例例解方程:(x-2)2=2(x-2).解析解析移项,得(x-2)2-2(x-2)=0.(x-2)(x-2-2)=0,x-2=0或x-4=0.x1=2,x2=4.易错警示易错警示若方程两边同时除以(x-2),得x-2=2,解得x=4.造成错解的原因是方程两边同时除以(x-2)时,没有注意到x-2可能等于0的情况,违背了等式的性质,从而漏解.知识点一知识点一因式分解法因式分解法1.(2017山东枣庄滕州木石中学一模)方程x2+x=0的解是()A.x=1B.x=0C.x1=0,x2=-1D.x=1答案答案C由原方程得到x(x+1)=0,解
12、得x1=0,x2=-1.故选C.2.经计算,整式x+1与x-4的积为x2-3x-4,则一元二次方程x2-3x-4=0的根为()A.x1=-1,x2=-4B.x1=-1,x2=4C.x1=1,x2=4D.x1=1,x2=-4答案答案B由题意知方程x2-3x-4=0可化为(x+1)(x-4)=0,则x+1=0或x-4=0,解得x1=-1,x2=4,故选B.3.用因式分解法解下列方程:(1)x2-7x-18=0;(2)2(x-3)=5x(x-3);(3)(y-3)(y+2)=6;(4)(5x-2)2=3.解析解析(1)将原方程化为(x+2)(x-9)=0,x+2=0或x-9=0,x1=-2,x2=9
13、.(2)将原方程化为5x(x-3)-2(x-3)=0,即(x-3)(5x-2)=0,x-3=0或5x-2=0,x1=3,x2=.(3)将原方程化为y2-y-12=0,即(y-4)(y+3)=0,y-4=0或y+3=0,y1=4,y2=-3.(4)将原方程化为(5x-2)2-()2=0,即(5x-2+)(5x-2-)=0,5x-2+=0或5x-2-=0,2533333x1=,x2=.235235知识点二知识点二灵活选择方法解一元二次方程灵活选择方法解一元二次方程4.解下列方程:2x2-18=0;9x2-12x-1=0;2x2+4x+2=0;2(5x-1)2=3(5x-1).较简便的方法是()A.
14、依次为:直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法B.依次为:因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法C.用直接开平方法,用公式法,用因式分解法D.用直接开平方法,用公式法,用因式分解法答案答案D5.用适当的方法解下列方程:(1)(3x-1)2=4(2x+3)2;(2)2x2-x-5=0;(3)(x-5)2-9=0;(4)x2-6x=5.2解析解析(1)直接开平方,得3x-1=2(2x+3),即3x-1=2(2x+3)或3x-1=-2(2x+3),解得x1=-7,x2=-.(2)a=2,b=-,c=-5,b2-4ac=(-)2-42(-5)=420,x=,x1=,x2=.(3)(x-5+3)(x
15、-5-3)=0,即(x-2)(x-8)=0,x-2=0或x-8=0,x1=2,x2=8.5722(2)422 2 24242424(4)原方程可化为x2-6x+9=5+9,即(x-3)2=14,x-3=,x1=3+,x2=3-.1414141.解方程2(4x+5)2=3(5+4x)的最佳方法是()A.直接开平方法B.因式分解法C.配方法D.公式法答案答案B2.用因式分解法解下列方程:(1)x2+2007x-2008=0;(2)2(x-3)2=x(x-3);(3)x2+16=8x.解析解析(1)x2+2007x-2008=0,(x-1)(x+2008)=0,x-1=0或x+2008=0,x1=1
16、,x2=-2008.(2)移项,得2(x-3)2-x(x-3)=0,因式分解,得(x-3)(2x-6-x)=0,即(x-3)(x-6)=0,x-3=0或x-6=0,解得x1=3,x2=6.(3)移项,得x2-8x+16=0,将方程的左边分解因式,得(x-4)2=0,x1=x2=4.1.关于x的方程x2+px+q=0的两根为x1=3,x2=-4,则二次三项式x2+px+q可分解为()A.(x+3)(x-4)B.(x-3)(x+4)C.(x+3)(x+4)D.(x-3)(x-4)答案答案B由题意得x2+px+q=(x-3)(x+4)=0,故x2+px+q=(x-3)(x+4).2.若方程(x-2)
17、(3x+1)=0,则3x+1的值为()A.7B.2C.0D.7或0答案答案D由(x-2)(3x+1)=0,可得x-2=0或3x+1=0,解得x1=2,x2=-.当x=2时,3x+1=32+1=7;当x=-时,3x+1=3+1=0.故选D.1313133.(2016天津校级月考)一元二次方程(x+3)(x-3)=3(x+3)的根是()A.x=3B.x=6C.x1=-3,x2=6D.x1=-6,x2=3答案答案C(x+3)(x-3)-3(x+3)=0,(x+3)(x-3-3)=0,所以x+3=0或x-3-3=0,所以x1=-3,x2=6.故选C.4.解下列方程:(1)3(x+1)2+1=-x;(2
18、)9(x-3)2-4(x+2)2=0;(3)(x+1)2+2x+3=0.解析解析(1)移项,得3(x+1)2+(x+1)=0,即(x+1)3(x+1)+1=0,(x+1)(3x+4)=0,x+1=0或3x+4=0,x1=-1,x2=-.(2)原方程可化为3(x-3)2-2(x+2)2=0,即(3x-9)2-(2x+4)2=0,(3x-9+2x+4)(3x-9-2x-4)=0,即(5x-5)(x-13)=0.5x-5=0或x-13=0,x1=1,x2=13.(3)原方程可化为(x+1)2+2x+2+1=0,即(x+1)2+2(x+1)+1=0,(x+1+1)2=0,即(x+2)2=0,x1=x2
19、=-2.435.阅读下面材料:把方程x2-4x+3=0写成x2-4x+4-4+3=0,(x-2)2-12=0.因式分解,得(x-2+1)(x-2-1)=0,(x-1)(x-3)=0.发现:(-1)+(-3)=-4,(-1)(-3)=3.结论:方程x2-(p+q)x+pq=0可变形为(x-p)(x-q)=0.应用上面的解题方法解下列方程:(1)x2+5x+6=0;(2)x2-7x+10=0;(3)x2-5x-6=0;(4)x2+3x-4=0.解析解析(1)方程变形为(x+2)(x+3)=0,x1=-2,x2=-3.(2)方程变形为(x-2)(x-5)=0,x1=2,x2=5.(3)方程变形为(x
20、-6)(x+1)=0,x1=6,x2=-1.(4)方程变形为(x+4)(x-1)=0,x1=-4,x2=1.1.(2015贵州安顺中考)已知三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程x2-12x+35=0的根,则该三角形的周长是()A.14B.12C.12或14D.以上都不对答案答案B解方程x2-12x+35=0得x1=5,x2=7,根据三角形三边关系判断第三边长只能取5,所以三角形的周长为12,故选B.2.若对于实数a,b,规定a*b=例如:2*3,因为20,方程有两个不等的实数根,x=,x1=,x2=.242bbaca 4282 3 273 273 273 1.(2016广东深圳潜龙中学期中
21、,9,)已知(3x+1)2-3(3x+1)-4=0,则x=()A.1或-B.4或-1C.13或-2D.无法确定23答案答案A(3x+1)-4(3x+1)+1=0,(3x+1)-4=0或(3x+1)+1=0,所以x1=1,x2=-.故选A.232.(2016福建龙岩武平城郊中学期中,10,)现定义运算“”:对于任意实数a、b,都有ab=a2-2a+b,如34=32-23+4,若x3=6,则实数x的值为()A.3或-1B.-3或1C.2D.33答案答案A对于任意实数a、b,都有ab=a2-2a+b,x3=x2-2x+3,x3=6,x2-2x+3=6,x2-2x-3=0,x1=-1,x2=3.故选A
22、.3.(2018云南宣威田坝一中,16,)用适当的方法解方程:(8分)(1)2(y-1)2+y=1;(2)x2-2x=5.解析解析(1)移项,得2(y-1)2+(y-1)=0,因式分解,得(y-1)(2y-1)=0,y-1=0或2y-1=0,解得y1=1,y2=.(2)配方,得(x-1)2=6,开平方,得x-1=,x1=1+,x2=1-.126664.(2018山西太原期中,16,)解下列方程:(1)x(x-4)-6=0;(2)(x+1)2=6x+6.解析解析(1)原方程可化为x2-4x-6=0,a=1,b=-4,c=-6,b2-4ac=(-4)2-41(-6)=400.x=2,x1=2+,x
23、2=2-.(2)原方程可化为(x+1)2-6(x+1)=0,因式分解,得(x+1)(x-5)=0,x+1=0或x-5=0,x1=-1,x2=5.(4)402 1 101010一、选择题一、选择题1.(2015山西中考,5,)我们解一元二次方程3x2-6x=0时,可以运用因式分解法,将此方程化为3x(x-2)=0,从而得到两个一元一次方程:3x=0或x-2=0,进而得到原方程的解为x1=0,x2=2.这种解法体现的数学思想是()A.转化思想B.函数思想C.数形结合思想D.公理化思想答案答案A将高次方程问题转化为低次方程问题求解,将复杂问题转化为简单问题求解,将未知问题转化为已知问题求解,体现了转
24、化思想,故选A.二、填空题二、填空题2.(2017山东德州中考,15,)方程3x(x-1)=2(x-1)的根为.答案答案x=1或x=23解析解析移项,得3x(x-1)-2(x-1)=0,因式分解,得(x-1)(3x-2)=0,x=1或x=.233.(2015浙江丽水中考,14,)解一元二次方程x2+2x-3=0时,可转化为解两个一元一次方程,请写出其中的一个一元一次方程.答案答案x+3=0(或x-1=0)解析解析因为x2+2x-3=0,所以(x-1)(x+3)=0,所以x-1=0或x+3=0.三、解答题三、解答题4.(2017浙江丽水中考,18,)解方程:(x-3)(x-1)=3.解析解析原方
25、程整理为x2-4x=0,x(x-4)=0,x1=0,x2=4.5.(2017山东滨州中考,20,)根据要求,解答下列问题.(9分)(1)方程x2-2x+1=0的解为;方程x2-3x+2=0的解为;方程x2-4x+3=0的解为;(2)根据以上方程特征及其解的特征,请猜想:方程x2-9x+8=0的解为;关于x的方程的解为x1=1,x2=n.(3)请用配方法解方程x2-9x+8=0,以验证猜想结论的正确性.解析解析(1)x1=1,x2=1;x1=1,x2=2;x1=1,x2=3.(2)x1=1,x2=8.x2-(1+n)x+n=0.(3)x2-9x+8=0,x2-9x=-8,x2-9x+=-8+,=
26、.x-=.x1=1,x2=8.292292292x49492721.(2016湖北荆门中考,9,)已知3是关于x的方程x2-(m+1)x+2m=0的一个实数根,并且这个方程的两个实数根恰好是等腰ABC的两条边长,则ABC的周长为()A.7B.10C.11D.10或11答案答案D因为3是关于x的方程x2-(m+1)x+2m=0的一个实数根,所以32-(m+1)3+2m=0,解得m=6,当m=6时,方程为x2-7x+12=0,解得x1=3,x2=4.当三角形的边长为3,3,4时,3+34,此时等腰三角形的周长是10;当三角形的边长为4,4,3时,4+34,此时等腰三角形的周长是11.故选D.2.(
27、2014辽宁鞍山中考,11,)对于实数a,b,我们定义一种运算“”:ab=a2-ab,例如:13=12-13.若x4=0,则x=.答案答案0或4解析解析由“ab=a2-ab”,得x4=x2-4x=0,解得x=0或x=4,故答案为0或4.3.(1)(2016甘肃兰州中考,21(2),)解方程:2y2+4y=y+2;(2)(2014四川自贡中考,16,)解方程:3x(x-2)=2(2-x).解析解析(1)原方程变形为2y(y+2)=y+2,2y(y+2)-(y+2)=0,(y+2)(2y-1)=0,所以y+2=0或2y-1=0,解得y1=-2,y2=.(2)移项,得3x(x-2)+2(x-2)=0
28、,则(3x+2)(x-2)=0,x1=-,x2=2.12231.观察如图2-4-1所示的图形,它们是按一定规律排列的,仿照此规律,第个图形共有120个.图2-4-1答案答案15解析解析第1个图形有1个,第2个图形有3个,且3=1+2=,第3个图形有6个,且6=1+2+3=,第4个图形有10个,且10=1+2+3+4=,则第n个图形中的个数是1+2+3+n=.若第n个图形有120个,则=120.整理,得n2+n-240=0.所以(n-15)(n+16)=0.解得n1=15,n2=-16(不合题意,舍去).所以第15个图形有120个.2(2 1)23(3 1)24(4 1)2(1)2n n(1)2
29、n n2.已知下列n(n为正整数)个关于x的一元二次方程:x2-1=0 x2+x-2=0 x2+2x-3=0 x2+(n-1)x-n=0(1)请解上述一元二次方程、;(2)请你指出这n个方程的根具有什么共同点,写出一条即可.解析解析(1)原方程变形为(x+1)(x-1)=0,所以x1=-1,x2=1.原方程变形为(x+2)(x-1)=0,所以x1=-2,x2=1.原方程变形为(x+3)(x-1)=0,所以x1=-3,x2=1.原方程变形为(x+n)(x-1)=0,所以x1=-n,x2=1.(2)共同点:都有一个根为1;都有一个根为负整数;两个根都是整数等.(写出一条即可)1.(2015四川遂宁
30、中考)阅读下列材料,并用相关的思想方法解决问题.计算:-,令+=t,则原式=(1-t)-t=t+-t2-t-t+t2=.(1)计算:1-+-1-+;(2)解方程(x2+5x+1)(x2+5x+7)=7.11112341111234511111234511123412131415t115t 15154515121312014121314120151213120141201512131412014解析解析(1)令+=t,则原式=(1-t)-t=t+-t2-t+t2+=.(2)令x2+5x+1=t,则原方程可化为t(t+6)=7,即t2+6t-7=0,亦即(t+7)(t-1)=0,解得t1=-7,t
31、2=1,当t=-7时,x2+5x+1=-7,此时方程无实数根;当t=1时,x2+5x+1=1,解得x1=0,x2=-5.所以原方程的解为x1=0,x2=-5.1213141201412015t112015t 120152015t2015t120152.阅读例题:解方程x2-|x|-2=0.(1)当x0时,原方程可化为x2-x-2=0,解得x1=2,x2=-1(舍去);当x0时,原方程可化为x2+x-2=0,解得x1=1(舍去),x2=-2.原方程的解是x=2或x=-2.请参考上述方法解方程:x2-|x-1|-1=0.(2)x2=|x|+2,原方程可变为|x|2-|x|-2=0,把|x|看成一个整体,得|x|1=2,|x|2=-1(舍去).x1=2,x2=-2.请参考上述方法解方程:x2-2x-|x-1|-5=0.
