1、立体几何复习立体几何复习平行问题垂直问题垂直问题角度问题角度问题距离问题距离问题柱锥问题柱锥问题体积面积问题体积面积问题多面体与球的问题多面体与球的问题生活问题和翻折问题生活问题和翻折问题综合问题综合问题平行问题返回直线和平面的位置关系直线和平面的位置关系直线和平面的平行关系直线和平面的平行关系平面和平面的平行关系平面和平面的平行关系返回直线在平面内直线在平面内直线和平面相交直线和平面相交直线和平面平行直线和平面平行线面位置关系线面位置关系有无数个公共点有无数个公共点有且仅有一个公有且仅有一个公共点共点没有公共点没有公共点返回平行于同一平面的二直线的位平行于同一平面的二直线的位置关系是置关系是
2、 (）（A A）一定平行一定平行（B B）平行或相交平行或相交（C C）相交相交（D D）平行，相交，异面平行，相交，异面D返回（1 1）点）点A A是平面是平面 外的一点，过外的一点，过A A和和平面平面 平行的直线有平行的直线有 条。条。A无数无数返回（2 2）点）点A A是直线是直线l l 外的一点，过外的一点，过A A和直线和直线l l 平行的平面有平行的平面有 个。个。A无数无数返回（3 3）过两条平行线中的一条和另）过两条平行线中的一条和另一条平行的平面有一条平行的平面有 个。个。无数无数返回（4 4）过两条异面直线中的一条和另）过两条异面直线中的一条和另一条平行的平面有一条平行的
3、平面有 个。个。且仅有一且仅有一返回（5 5）如果）如果l l1 1/l l2 2,l l1 1 平行于平行于平面平面,则则l l2 2 平面平面 l1 l2l2 或或 /返回（6 6）如果两直线）如果两直线a a，b b相交相交,a,a平行于平行于平面平面，则，则b b与平面与平面 的位置关系的位置关系是是 。a bb相交或平行相交或平行返回过直线过直线L L外两点外两点,作与直线作与直线L L平行平行的的平面平面,这样的平面这样的平面()()（A A）有无数个有无数个（C C）只能作出一个只能作出一个（B B）不能作出不能作出（D D）以上都有可能以上都有可能ABl情况一情况一返回（A）有
4、无数个有无数个（C）只能作出一个只能作出一个（B）不能作出不能作出（D）以上都有可能以上都有可能ABl过直线过直线L L外两点外两点,作与直线作与直线L L平行平行的的平面平面,这样的平面这样的平面()()情况二情况二返回过直线过直线L L外两点外两点,作与直线作与直线L L平行平行的的平面平面,这样的平面这样的平面()()（A）有无数个有无数个（C）只能作出一个只能作出一个（B）不能作出不能作出（D）以上都有可能以上都有可能ABlD情况三情况三返回例：例：有以下四个命题：有以下四个命题：若一条直线与另一条直线平行，则它就若一条直线与另一条直线平行，则它就与经过另一条直线的平面平行；与经过另一
5、条直线的平面平行；若一条直线垂直于一个平面的一条垂线，若一条直线垂直于一个平面的一条垂线，则此直线平行于这个平面；则此直线平行于这个平面；若一条直线和一个平面内的两条直线都若一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，则此直线必垂直于这个平面；垂直，则此直线必垂直于这个平面；平面内两条平行直线，若其中一条直线平面内两条平行直线，若其中一条直线与一个平面平行，则另一条直线也与这个平面与一个平面平行，则另一条直线也与这个平面平行平行 其中正确命题的个数是（其中正确命题的个数是（A）A0 B1 C2 D3返回解：解：不正确，若一条直线与另一条直线平不正确，若一条直线与另一条直线平行，则这条直线可能与经过另
6、一条直线的平行，则这条直线可能与经过另一条直线的平面面平行平行，也可能在平面内也可能在平面内；不正确，与相仿，若一条直线垂直不正确，与相仿，若一条直线垂直于一个平面的一条垂线，则此直线于一个平面的一条垂线，则此直线可能平行可能平行于这个平面，于这个平面，也可能在平面内也可能在平面内；返回 不正确，若一条直线和一个平面内的不正确，若一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，如果在平面内的两条直线平两条直线都垂直，如果在平面内的两条直线平行，则无法判断直线是否垂直于这个平面；行，则无法判断直线是否垂直于这个平面；不正确，与相仿，该直线仍有可不正确，与相仿，该直线仍有可能在平面内。能在平面内。所以四个命
7、题都是错误的，选所以四个命题都是错误的，选A。返回(1)(1)定义定义直线与平面没有公共点直线与平面没有公共点(2)(2)定理定理如果平面外一条直线和如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。条直线和这个平面平行。返回线面平行判定定理线面平行判定定理如果平面外一条直如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。条直线和这个平面平行。已知：已知：a b a/b 求证：求证：a/abP(1)a,b确定平面确定平面，=b(2)假设假设a与与 不平行不平行则则a与与 有公共点
8、有公共点P则则P =b(3)这与已知这与已知a/b矛盾矛盾(4)a /返回 如图如图,空间四面体空间四面体P-ABC,M,NP-ABC,M,N分别是分别是面面PCAPCA和面和面PBCPBC的重心的重心,求证求证:MN/:MN/面面BCABCAEFPMN/EF MN/面面BCA线线平行线线平行线面平行线面平行返回如图如图,两个全等的正方形两个全等的正方形ABCDABCD和和ABEFABEF所所在平面交于在平面交于AB,M.NAB,M.N分别是对角线上的点，分别是对角线上的点，AM=FNAM=FN。求证。求证:MN/:MN/面面BCEBCE。ABCDEFMNGHMN/GH MN/面面BCE线线平
9、行线线平行线面平行线面平行返回ABCDEFMNHAFN BNH AN/NH=FN/BN AN/NH=AM/MC MN/CH MN/平面面BCE如图如图,两个全等的正方形两个全等的正方形ABCDABCD和和ABEFABEF所所在平面交于在平面交于AB,M.NAB,M.N分别是对角线上的分别是对角线上的点，点，AM=FNAM=FN，求证，求证:MN/:MN/平面平面BCEBCE。返回ABDCA1B1D1C1 在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1 D D1 1中，中，E E为为DDDD1 1的中点，求证：的中点，求证：DBDB1 1/平面平面A A1 1C C1 1
10、E EEFDB1/EF DB1/平面面A1C1E线线平行线线平行线面平行线面平行返回在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，O O为平面为平面ADDADD1 1A A1 1的中心，求证：的中心，求证：CO/CO/平面平面A A1 1C C1 1B BABDCA1B1D1C1B1OF返回线面平行的性质线面平行的性质线面平行的性质线面平行的性质(1)1)如果一条直线与一个平面平行，如果一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面则这条直线与这个平面无公共点无公共点(2)(2)如果一条直线与一个平面平行，如果一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平
11、面内的直线则这条直线与这个平面内的直线成成异面直线或平行直线异面直线或平行直线(3)(3)如果一条直线与一个平面平行，如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条交，则这条直线与交线平行直线与交线平行。返回如果一条直线与一个平面平行，如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条相交，则这条直线与交线平行直线与交线平行如果一条直线与一个平面平行，如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条相交，则这条直线与交线平行直线与交线平行已知：已知：
12、a/,a,=b 求证：求证：a/b ab =bb a/a b=a/b返回如果平面外的两条平行线中的一条如果平面外的两条平行线中的一条与这个平面平行，则另一条直线与与这个平面平行，则另一条直线与这个平面也平行这个平面也平行abc返回如果一条直线和两个相交平面都平如果一条直线和两个相交平面都平行，则这条直线与它们的交线平行行，则这条直线与它们的交线平行abc l已知：已知：a/a/，a/a/，=l l求证：求证：a/a/l l返回abABOMNPD如图，如图，a,ba,b是异面直线，是异面直线，O O为为ABAB的中点，的中点，过点过点O O作平面作平面 与两异面直线与两异面直线a,ba,b都平行
13、都平行MNMN交平面于点交平面于点P P，求证：，求证：MP=PNMP=PN 返回一、两个平面平行的判定方法一、两个平面平行的判定方法1 1、两个平面没有公共点、两个平面没有公共点2 2、一个平面内有两条相交、一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面直线都平行于另一个平面3 3、都垂直于同一条直线、都垂直于同一条直线的两个平面的两个平面两个平面平行两个平面平行返回二、两个平面平行的性质二、两个平面平行的性质4 4、一直线垂直于两个平行平面一直线垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个中的一个，则它也垂直于另一个平面平面2 2、其中一个平面内的直线平行其中一个平面内的直线平行于另一个平面
14、于另一个平面3 3、两个平行平面同时和第三个平两个平行平面同时和第三个平面相交，它们的交线平行面相交，它们的交线平行两个平面平行两个平面平行5 5、夹在两个平行平面间的平行线夹在两个平行平面间的平行线段相等段相等1 1、两个平面没有公共点两个平面没有公共点返回判断下列命题是否正确？判断下列命题是否正确？1 1、平行于同一直线的两平面平行、平行于同一直线的两平面平行2 2、垂直于同一直线的两平面平行、垂直于同一直线的两平面平行3 3、与同一直线成等角的两平面平行、与同一直线成等角的两平面平行返回4.4.垂直于同一平面的两平面平行垂直于同一平面的两平面平行5.5.若若,则平面则平面内任一直线内任一
15、直线a a 6.6.若若n n ,m ,m ,n,m,n,m则则nm返回2.如图如图,设设AB、CD为夹在两个平行平面为夹在两个平行平面 、之间之间 的线段，且直线的线段，且直线AB、CD为异面直线，为异面直线，M、P 分别分别为为AB、CD 的中点，的中点，求证：求证：直线直线MP/平面平面 .ADCBPMNE返回例例:如图如图,在正方体在正方体ABCD-ABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1 中，求证：平面中，求证：平面ABAB1 1D D1 1平面平面BDCBDC1 1证明：证明：BDBBDB1 1D D1 1BD BD 平面平面BDCBDC1 1B B1 1D D1
16、 1 平面平面BDCBDC1 1B B1 1D D1 1平面平面BDCBDC1 1同理：同理：ABAB1 1平面平面BDCBDC1 1B B1 1D D1 1ABAB1 1=B=B1 1平面平面ABAB1 1D D1 1平面平面BDCBDC1 1线线线线线线面面面面面面ABCDA1B1C1D1返回证法证法2 2：ACBDACBDA A1 1AA平面平面ACACA A1 1C C在平面在平面ACAC上上的射影为的射影为ACACA A1 1CBDCBDBDBCBDBC1 1=B=BA A1 1CBCCBC1 1同理同理:A A1 1CC平面平面BDCBDC1 1同理同理:A A1 1CC平面平面A
17、BAB1 1D D1 1平面平面ABAB1 1D D1 1平面平面BDCBDC1 1ABCDA1B1C1D1返回变形变形1:1:如图，在正方如图，在正方体体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E,F,GE,F,G分别为分别为A A1 1D D1 1,A,A1 1B B1 1,A,A1 1A A的中点的中点,求证：面求证：面EFGEFG面面BDCBDC1 1变形变形2:2:若若O O为为BDBD上的点上的点求证：求证：OCOC1 1 平面平面EFGEFGO面面面面 由上知平面由上知平面EFGEFG平面平面BDCBDC1 1OCOC1 1 平面平面BDCBDC
18、1 1ABCDA1B1C1D1EFG线线面面OCOC1 1 平面平面EFGEFG证明：证明：返回变形变形3:3:如图如图,在正在正方体方体ABCD-ABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1 中，中，E,F,M,NE,F,M,N分别为分别为A A1 1B B1 1,A,A1 1D D1 1,B,B1 1C C1 1,C C1 1D D1 1 的中点的中点ABCDA1B1C1D1EFNM求证：平面求证：平面AEFAEF平面平面BDMNBDMN返回小结：小结：线线平行平行线线 线线平行平行 面面 面面平行平行 面面线面平行判定线面平行判定线面平行性质线面平行性质面面平行判定面面平行
19、判定面面平行性质面面平行性质三种平行关系的转化三种平行关系的转化返回AEBCDGF 已知：四面体已知：四面体A-BCDA-BCD，E,F,GE,F,G分别为分别为AB,AC,ADAB,AC,AD的中点的中点.求证：平面求证：平面EFGEFG平面平面BCDBCD练习练习返回垂直问题线面垂直的判定方法线面垂直的判定方法(1)(1)定义定义如果一条直线和一个平面内的如果一条直线和一个平面内的任任意一条意一条直线都垂直，则直线与平面垂直。直线都垂直，则直线与平面垂直。(2)(2)判定定理判定定理1 1如果两条如果两条平行线平行线中的一条垂中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。直于一个平面，
20、则另一条也垂直于这个平面。(3)(3)判定定理判定定理2 2如果一条直线和一个平面内如果一条直线和一个平面内的的两条相交直线两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直。都垂直，则直线与平面垂直。返回线面垂直的性质线面垂直的性质(1)(1)定义定义如果一条直线和一个平面垂直则如果一条直线和一个平面垂直则这条直线垂直于平面内的这条直线垂直于平面内的任意一条任意一条直线直线(2)(2)性质定理性质定理如果两条直线同垂直于一个如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平面，则这两条直线平行平行。返回填空填空（1）l ,m l_m（2）n,m,m与与n_,l m,l n,l （3）l ,m ,l_m（4）l/
21、m,l ,m_ 相交相交/返回PABC如图，如图，ABAB是圆是圆O O的直径，的直径，C C是异于是异于A A，B B的圆周上的任意一点，的圆周上的任意一点，PAPA垂直于圆垂直于圆O O所在的平面所在的平面（1）BC平面平面PAC返回PABC H2)2)若若AHPC,AHPC,则则AHAH面面PBCPBC如图，如图，ABAB是圆是圆O O的直径，的直径，C C是异于是异于A A，B B的圆周上的任意一点，的圆周上的任意一点，PAPA垂直于圆垂直于圆O O所在的平面所在的平面返回ABDCA1B1D1C1O在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,
22、O,O为下底为下底面的中心面的中心,求证：求证：ACAC平面平面D D1 1B B1 1BDBD返回ABDCA1B1D1C1OH在正方体在正方体ACAC1 1中，中，O O为下底面的中为下底面的中心，心，B B1 1H DH D1 1O,O,求证：求证：B B1 1HH平面平面D D1 1ACAC返回如果两个平面所成的二面角是如果两个平面所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直直二面角，则这两个平面垂直如果两个平面所成的二面角是如果两个平面所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直直二面角，则这两个平面垂直返回如果一个平面经过另一个平面的一如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂
23、直条垂线，则这两个平面互相垂直ABEDC线面垂直线面垂直线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直面面垂直面面垂直返回如图，如图，C C为以为以ABAB为直径的圆周上一点，为直径的圆周上一点，PAPA面面ABCABC，找出图中互相垂直的平面。，找出图中互相垂直的平面。PABCPA平面平面ABC平面平面PAC平面平面ABC平面平面PAB平面平面ABCBC平面平面PAC平面平面PBC平面平面PAC返回如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面于它们的交线的直线垂直于另一个平面ABDCE线面垂直线面垂直线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直面面垂直面面
24、垂直返回求证：如果一个平面与另一个平面的求证：如果一个平面与另一个平面的垂线平行，则这两个平面互相垂直垂线平行，则这两个平面互相垂直 ab 返回四面体四面体ABCDABCD中，平面中，平面ADCADC平面平面BCDBCD，平，平面面ABD ABD 平面平面BCDBCD，设，设DEDE是是BCBC边上的高，边上的高，求证：求证：平面平面ADE ADE 平面平面ABC ABC ABCED平面平面ADC平面平面BCD平面平面ABD 平面平面BCDAD 平面平面BCDAD BCDE BCBC 平面平面ADE平面平面ABC 平面平面ADE线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直线线垂直线线垂直返回课堂练习课堂练
25、习课堂练习课堂练习空间四面体空间四面体ABCDABCD中，若中，若AB=BCAB=BC，AD=CDAD=CD，E E为为ACAC的中点，则有的中点，则有(）ABCED(A)(A)平面平面ABD ABD 平面平面BCDBCD(B)(B)平面平面BCD BCD 平面平面ABCABC(C)(C)平面平面ACD ACD 平面平面ABCABC(D)(D)平面平面ACD ACD 平面平面BDEBDE返回如图，如图，ABCDABCD是正方形，是正方形，PA PA 面面ABCDABCD，连接连接PB,PC,PD,AC,BD,PB,PC,PD,AC,BD,问图中有几对问图中有几对互相垂直的平面？互相垂直的平面？
26、ABDPC平面平面PACPAC平面平面ABCDABCD平面平面PABPAB平面平面ABCDABCD平面平面PADPAD平面平面ABCDABCD平面平面PADPAD平面平面PABPAB平面平面PADPAD平面平面PCDPCD平面平面PBCPBC平面平面PABPAB平面平面PBDPBD平面平面PACPAC返回如图，三棱锥如图，三棱锥P-ABCP-ABC中，中，PBPB底面底面ABCABC，ACB=90ACB=90,PB=BC=CA,E,PB=BC=CA,E为为PCPC中点，中点，求证：求证：平面平面PAC PAC 平面平面PBC PBC 求异面直线求异面直线PAPA与与BEBE所成角的大小所成角的
27、大小ACBEP返回如图，四棱锥如图，四棱锥P-ABCDP-ABCD的底面是菱形，的底面是菱形，PAPA底面底面ABCDABCD，BAD=120BAD=120,E,E为为PCPC上任意一点，上任意一点，ACDBPE求证：求证：平面平面BED BED 平面平面PACPACO若若E E是是PCPC中点，中点，AB=PA=a,AB=PA=a,求二面求二面角角E-CD-AE-CD-A的大小的大小F返回例例:如图，在四面体如图，在四面体SABC中，中，ASC=90，ASB=BSC=60，SA=SB=SC，求证：平面求证：平面ASC平面平面ABC。返回 证明：容易证得证明：容易证得AB=BC=SB，取，取A
28、C中点中点D，连，连SD、BD，得，得SDAC，BDAC，由ASC=90，设SA=SB=SC=a，解得SD=a，BD=a，而SB=a，SDB=90，平面ASC平面ABC。2222返回角度问题一、概念名称名称定义定义图形图形两条异面直线 所成的角直线与平面所成的角二面角及它的平面角直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a、b，并使a/a，b/b，我们把直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。返回abo.aO是空间中的任意一点 点o常取在两条异面直线中的一条上bo o o o o返回一、概念名称名称定义定义图形图形两条异面直线 所成的角直线与平面所成的角二面角及它的平面
29、角直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a、b，并使a/a，b/b，我们把直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，特别地，若L?则L与所成的角是直角，若L/或 L ，则L与所成的角是0的角。返回oLBA返回一、概念名称名称定义定义图形图形两条异面直线 所成的角直线与平面所成的角二面角及它的平面角直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a、b，并使a/a，b/b，我们把直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。以二面
30、角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。LoBA平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，特别地，若L?则L与所成的角是直角，若L/或 L ，则L与所成的角是的角。返回ALBO返回一、概念名称名称定义定义图形图形两条异面直线 所成的角直线与平面所成的角二面角及它的平面角直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a、b，并使a/a，b/b，我们把直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别
31、作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。LoBAALBO平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，特别地，若L?则L与所成的角是直角，若L/或 L ，则L与所成的角是的角。返回二、数学思想、方法、步骤：二、数学思想、方法、步骤：解决空间角的问题涉及的数学思想主要是解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化化归与转化归与转化，即把空间的角转化为平面的角，进而，即把空间的角转化为平面的角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得。转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得。2.2.方法：方法：3.3.步骤：步骤：b.b.求直线与平面所成的角：
32、求直线与平面所成的角：a.a.求异面直线所成的角：求异面直线所成的角：c.c.求二面角的大小：求二面角的大小：作（找）证 点 算1.1.数学思想：数学思想：平移平移 构造可解三角形构造可解三角形找（或作）射影找（或作）射影 构造可解三角形构造可解三角形找（或作）其平面角找（或作）其平面角 构造可解三角形构造可解三角形返回ABDCA1B1D1C1在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求中，求异面直线异面直线A1B和和B1C所成的角？所成的角？A1B和和B1C所所成的角为成的角为60和和A1B成角为成角为60的面对角的面对角线共有线共有 条。条。返回在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D
33、1中，求中，求异面直线异面直线D1B和和B1C所成的角？所成的角？ABDCA1B1D1C1E返回在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，M,N分别是分别是A1A和和B1B的中点，求异面直的中点，求异面直线线CM和和D1N所成的角？所成的角？ABDCA1B1D1C1MN返回PABCMN空间四边形空间四边形P-ABC中，中，M，N分别是分别是PB，AC的中点，的中点，PA=BC=4，MN=3，求求PA与与BC所成的角？所成的角？E返回1.在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，E、G分别是分别是AA1和和CC1的中点，的中点，F在在AB上，且上，且C1EEF，则，则EF与与GD
34、所成的角的大小为（所成的角的大小为（）(A)30(B)45(C)60(D)90DF A D C B A1D1B1C1G E M EB1是EC1在平面AB1内的射影EB1 EFDGAMEB1EF DG返回A1ABB1CDC1D1FEG解：如图，取AB的中点G，O（证）（证）A1D1FGAD又ADA1D1FG四边形A1GFD1为平行四边形A1G D1FA1G与AE所成的锐角（或直角）就是AE与D1F所成的角。（点）（点）（算）（算）FG，A1G，A1G与AE交于O连结（作）（作）例例1:如图，如图，在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中，E E、F
35、F分分别是别是BBBB1 1、CDCD中点。求中点。求AEAE与与D D1 1F F所成的角。所成的角。即直线AE与D1F所成的角为直角。E是BB1的中点tRA1AGABEAOG=90GA1A=GAO返回长方体长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，ABAB=AA=AA1 1=2 cm2 cm，ADAD=1cm1cm，求，求异面直线异面直线A A1 1C C1 1与与BDBD1 1所成角的所成角的余弦值。余弦值。返回DB1A1D1C1ACB取取BBBB1 1的中点的中点MM，连，连O O1 1MM，则，则O O1 1MM D D1 1B B，如图，连如图，连B
36、 B1 1D D1 1与与A A1 1C C1 1 交于交于O O1 1，于是于是 A A1 1O O1 1MM就是异面直线就是异面直线A A1 1C C1 1与与BDBD1 1所成的角（或其补角）所成的角（或其补角）O1MDB1A1D1C1ACB解：解：为什么？为什么？,55cos11=MOA返回解法二解法二：方法归纳：方法归纳：补形法补形法把空间图形补成熟悉的把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异的在于易于发现两条异面直线的关系。面直线的关系。F1EFE1BDB1A1D1C1AC返回解法二解法二：方法归纳：方
37、法归纳：补形法补形法把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。现两条异面直线的关系。3,52,51111=ECEACA在在 A1C1E中，中，由余弦定理得由余弦定理得55cos11=ECAA1C1与与BD1所成角的余弦值为所成角的余弦值为 如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面连结连结A1E，C1E，则，则 A1C1E为为A1C1与与BD1所成的角所成的角(或补角或补角)，F1EFE1BDB1A1D1C1ACBC1
38、的长方体B1F，55返回例：例：如图，在正方体如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，中，异面直线异面直线AC与与BC1所成角的大小是（所成角的大小是（）A30 B45 C60 D90解：在图形中，将解：在图形中，将AC平行移平行移动到动到A1C1，再连接，再连接A1B，则，则A1BC1是一个等边三角形，是一个等边三角形，A1C1与与BC1所成的角为所成的角为60,所所以以AC与与BC1所成角的大小也是所成角的大小也是60，选，选C.返回例：例：如图，正三棱锥如图，正三棱锥SA BC的侧棱与底面的侧棱与底面边长相等，如果边长相等，如果E、F分别为分别为SC、A B的中点，的中点，那么异面直
39、线那么异面直线EF与与SA所成角等于（所成角等于（）A90 B60 C45 D30返回 G F E S C B A解：取解：取AC的中点的中点G，连接，连接EG、FG，EG/SA，GEF是异面直线是异面直线EF与与SA所所成角，又成角，又FG/BC，SABC，EGF=90，EGF是直角三角形，又是直角三角形，又EG=SA，FG=BC，EG=FG，EGF是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，GEF=45，选，选C.返回正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC、BD交于O，则OB1与A1C1所成的角的度数为A1B1C1D1ABCDO例：例：900A1B1C1D1ABCDO返回（1）平移法（常用方法）
40、平移法（常用方法）小结：小结：1 1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面 角，角，体现了化归的数学思想。体现了化归的数学思想。2、当异面直线当异面直线垂直垂直时，还可应用线面垂直的有时，还可应用线面垂直的有 关知识关知识解决。解决。（2）补形法）补形法化归的一般步骤是：化归的一般步骤是：定角定角求角求角返回说明说明：异面直线所成角的范围是（：异面直线所成角的范围是（0，在把异面直线所成的角平移转化为平面三角在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角。形中的角。返回90斜线与平面所成的角斜线与平面所成的角平面的一条斜线平面的一条斜线和它在这个平面内
41、的射影和它在这个平面内的射影 所成的所成的锐角锐角AOB返回若斜线段若斜线段AB的长度是它在平面的长度是它在平面内的射影长的内的射影长的2倍，则倍，则AB与与所成的角为所成的角为 。60AOB返回最小角原理最小角原理AOBC斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中面内的直线所成的一切角中最小的角最小的角。返回求直线与平面所成的角时求直线与平面所成的角时,应注意的问题应注意的问题:(1)(1)先判断直线与平面的位置关系先判断直线与平面的位置关系(2)2)当直线与平面斜交时，常采用以下步骤：当直线与平面斜交时，常采用以下步骤：作出或找出斜
42、线上的点到平面的垂线作出或找出斜线上的点到平面的垂线作出或找出斜线在平面上的射影作出或找出斜线在平面上的射影求出斜线段，射影，垂线段的长度求出斜线段，射影，垂线段的长度解此直角三角形解此直角三角形,求出所成角的相应函数值求出所成角的相应函数值返回例题例题:如图，在正方体如图，在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，求中，求A A1 1B B与平面与平面A A1 1B B1 1CDCD所成的角所成的角ABCDA1B1C1D1O返回如图，在正方体如图，在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，O O为下底面为下底面ACA
43、C的中心，求的中心，求A A1 1O O与平面与平面BBBB1 1D D1 1D D所成的角所成的角.ABCDA1B1C1D1OO返回正四面体正四面体P-ABCP-ABC中，求侧棱中，求侧棱PAPA与与底面底面ABCABC所成的角所成的角PABCHD返回例题例题:从一条直线出发的两个半平面所形成从一条直线出发的两个半平面所形成的图形叫做二面角的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱这条直线叫做二面角的棱从一条直线出发的两个半平面所形成从一条直线出发的两个半平面所形成的图形叫做二面角的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱这条直线叫做二面角的棱返回二面角的平面角二面角的平面角二面角的平面角二面角的平
44、面角以二面角的棱上任意一点为端点，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角这两条射线所成的角叫做二面角的平面角O返回基础题例题基础题例题1.下列命题中：下列命题中：两个相交平面组成的图形叫做二面角；两个相交平面组成的图形叫做二面角；异面直线异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则分别和一个二面角的两个面垂直，则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所
45、成角的最小角；内作射线所成角的最小角；正四面体相邻两个面所成的二面角的平面角是锐角正四面体相邻两个面所成的二面角的平面角是锐角.其中，正确命题的序号是其中，正确命题的序号是_.、返回2.如图，正方体如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角中，二面角B1-AA1-C1的大小为的大小为_，二面角，二面角B-AA1-D的大小为的大小为_，二，二面角面角C1-BD-C的正切值是的正切值是_.24590基础题例题基础题例题返回3.在二面角在二面角-l-的一个平面的一个平面内有一条直线内有一条直线AB，它，它与棱与棱 l 所成的角为所成的角为45，与平面，与平面所成的角为所成的角为30，则，则这个二
46、面角的大小是这个二面角的大小是_.45或或135基础题例题基础题例题返回B4.在二面角在二面角-l-内，过内，过l作一个半平面作一个半平面，使二面角，使二面角-l-为为45，二面角，二面角-l-为为30，则，则内的任意内的任意一一 点点P到平面到平面 与平面与平面的距离之比为的距离之比为()(A)(B)(C)(D)222323基础题例题基础题例题返回基础题例题基础题例题5.PA、PB、PC是从是从P点引出的三条射线，每两条的夹角点引出的三条射线，每两条的夹角都是都是60o，则二面角，则二面角B PAC的余弦值是的余弦值是 ()A.B.C.D.314131 21A返回ABCAM已知：如图已知：如
47、图ABCABC的顶点的顶点A A在平面在平面M M上上的射影为点的射影为点A A，ABCABC的面积是的面积是S S，A ABCBC的面积是的面积是S S，设二面角，设二面角A-BC-A-BC-A A为为.求证：求证：COS =S SD返回ABDCA1B1D1C1在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，求二面角中，求二面角D D1 1-AC-D-AC-D的大小？的大小？O返回7.已知斜三棱柱已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，中，BCA=90，AC=BC，A1在底面在底面ABC的射影恰为的射影恰为AC的中点的中点M.又知又知AA1与底面与底面ABC所
48、成的角为所成的角为60.(1)求证：求证：BC平面平面AA1C1C；(2)求二面角求二面角B-AA1-C的大小的大小.返回7.已知斜三棱柱已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，中，BCA=90，AC=BC，A1在底面在底面ABC的射影恰为的射影恰为AC的中点的中点M.又知又知AA1与底面与底面ABC所成的角为所成的角为60.(1)求证：求证：BC平面平面AA1C1C；(2)求二面角求二面角B-AA1-C的大小的大小.证明证明:(1)由题设知，由题设知，A1M平面平面ABC，又又A1M 平面平面AA1C1C，(1)平面平面AA1C1C底面底面ABC，又又BCAC，平面平面AA1C1C平面平面ABC=
49、AC，BC 平面平面AA1C1C返回7.已知斜三棱柱已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，中，BCA=90，AC=BC，A1在底面在底面ABC的射影恰为的射影恰为AC的中点的中点M.又知又知AA1与底面与底面ABC所成的角为所成的角为60.(1)求证：求证：BC平面平面AA1C1C；(2)求二面角求二面角B-AA1-C的大小的大小.证明证明:(2)由题设知，由题设知，A1M平面平面ABC，AA1与底面与底面ABC所成角为所成角为A1AC,A1AC=60o,又又M是是AC中点，中点，AA1C是正三角形是正三角形,作作CNAA1于于N，点点N是是AA1的中点的中点,连接连接BN，由由BC 平面平面AA
50、1C1C，BCAA1，AA1 平面平面BNC，AA1 BN，BNC是二面角是二面角B-AA1C的平面角，的平面角，返回7.已知斜三棱柱已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，中，BCA=90，AC=BC，A1在底面在底面ABC的射影恰为的射影恰为AC的中点的中点M.又知又知AA1与底面与底面ABC所成的角为所成的角为60.(1)求证：求证：BC平面平面AA1C1C；(2)求二面角求二面角B-AA1-C的大小的大小.设设AC=BC=a，正三角形正三角形AA1C的边长为的边长为a，,23aCN=在直角三角形在直角三角形BNC中，中，,33223tan=aaNCBCBNC二面角二面角BAA1C的大小是的大
