1、 第四讲第四讲 抽屉原则（一）抽屉原则（一） 抽屉原则一： 如果把多于 n 个的元素按任一确定的方式分成 n 个集合， 那么一定有一个 集合中至少含有两个元素。21 教育名师原创作品 例 1某校一年级招收了 400 名新生，而年龄最大的与最小的相差不到一岁，那么这些 新生中一定有两个人是同年、同月、同日出生的。你知道为什么吗？ 解：把一年的 365 天（闰年 366 天）中的每一天看作一个抽屉，把 400 名新生的每一个 人的生日看作一个“苹果”，由于“苹果”的数目多于“抽屉”的数目，根据抽屉原则，一 定有一个抽屉里至少有两个“苹果”。也就是说至少有两个同学的生日相同。再根据同学们 年龄最大的
2、与最小的相差不到一岁，所以这两个同学一定是同年、同月、同日出生的。 例 2某小学有 1000 多名学生，从学生中任意挑选 13 人，证明在这 13 人中至少有两 个人的属相相同。 证明：属相一共只有 12 种，设 12 个属相为 12 个“抽屉”，而把 13 名同学当作 13 个 “苹果”，当苹果放入抽屉后，根据抽屉原则，有一个“抽屉”中至少放了 2 个“苹果”。 也就是说这两个人的属相相同。 21*cnjy*com 例 3六年级（1）班有 40 名学生，班里有个小书架，同学们可以任意借阅，试问小书 架上至少要有多少本书，才能保证至少有一个同学能借到两本或两本以上的书？ 解：把 40 个同学当
3、作 40 个“抽屉”，而把书当作“苹果”，“苹果”的数目要比“抽 屉”的数目大，才能保证至少有一个“抽屉”里有两个或两个以上的“苹果”。 所以小书架上至少要有 41 本图书，才能保证至少有一个同学能借到两本或两本以上的 书。 例 4黑色、白色、黄色的筷子各有 8 根，混杂的放在一起，黑暗中想从这些筷子中取 出颜色不同的两双筷子（每双筷子两根的颜色应一样）。问至少要取出多少根才能保证达到 要求？【出处：21 教育名师】 解：例 4 不能像前三个例题那样一下子就找到了“抽屉”和“苹果”，从而不能直接运 用抽屉原则来解决问题。 解这个问题时需要认真地思考和分析。 由于各种颜色的筷子是混杂在一起的，
4、我们又是 在黑暗中取筷子，取时无法分辨筷子的颜色。这样如果取出的筷子不多于 8 根的话，有可能 取出的筷子都是同一种颜色的，这是最不利的情况。【来源：21cnj*y.co*m】 因此要保证颜色不同的两双筷子，取出的筷子的数目必须超过 8 根。 为了保证达到要求，我们从最不利的情况出发，取出的筷子中有 8 根是同一种颜色的， 这样问题就变成了怎样使其余的筷子中保证有两根是同颜色的。 这时剩下的筷子的颜色只有 两种，把这两种颜色当作两个“抽屉”，而把筷子当作“苹果”，根据抽屉原则，只要再有 3 根筷子，就能保证其中有两根的颜色是相同的。 总之，在最不利的情况下，只要取出 8+3=11 根筷子，就能
5、保证其中一定有不同颜色的 两双筷子。 例 5从起点开始，每个 1 米种一棵树，如果把三块“爱护树木”的小牌子分别挂在三 棵树上那么不管怎么挂，至少有两棵挂牌的树，它们之间的距离是偶数（以米为单位）。这 是为什么？21世纪*教育网 解：为了表示两棵树之间的距离，给每棵树按 1、2、3、编号。这样两棵树之间的 距离就是这两棵树的号码之间的差。 树的号码分为奇数和偶数，把这两种数当作两个“抽屉”，把挂牌的树的三个号码放在 两个抽屉中，那么至少有两个在同一个“抽屉”中，即同为偶数或同为奇数。 两个偶数的差或两个奇数的差都是偶数， 所以至少有两棵挂牌的树， 它们之间的距离是 偶数。 例 6能否在 8 行
6、 8 列的方格表的每一个空格中分别填上 1、2、3 这三个数字中的任意 一个，使得每行、每列及对角线 AC、BD 上的各个数字的和互不相同？并对你的结论加以 说明。 D C B A 解：这个问题初看起来似乎与“抽屉原则”的关系不密切。下面我们先看图，图中有 8 行、8 列及两条对角线，一共有 18 条线。每条线上都填有 8 个 1、2、3 这样的数字。要使 得每条线上的数字和都不同，那么每条线上这 8 个数字的和取不同值的可能就必须不少于 18 种。 下面我们看看 8 个由 1、2 或 3 的数字，它们的和的可能性最多有多少种。8 个数若都 是 1，则这个和是 8；若 8 个数字都是 3，则最
7、大的数字和是 24。由于数字和都是整数，从 8 到 24，一共有 248+1=17 种不同的可能。21*cnjy*com 把这 17 种不同的值当作 17 个“抽屉”，把 18 条线当作 18 个苹果，所以至少有一个抽 屉中有两个苹果。 也就是说，不论怎样填写，在这 18 条线中至少有两条线上的 8 个数字的和是相同的。 所以不可能使得 18 条线上各个数字的和互不相同。 抽屉原则二：如果把多于 mn 个的元素按任一确定的方式分成 n 个集合，那么一定有 一个集合中至少含有 m+1 个元素。 例 7某小学有 1100 名学生，而一年级（2）班有 49 名学生，那么可以肯定这个班至 少有 5 人
8、在同一个月出生。而全校至少有 4 人的生日相同（年可以不相同）。 解：我们把一年中的 12 个月当作 12 个“抽屉”，把一年级（2）班的 49 名同学当作 49 个苹果。由于 49=412+1，根据抽屉原则二，一定有一个“抽屉”中至少放了 5 个“苹 果”。 也就是说，这个班至少有 5 人在同一个月出生。 同样的道理，我们可以把一年中的 366 天（一年最多 366 天）看作是 366 个“抽屉”， 把全校 1100 名学生看作是 1100 个“苹果”，11003366+1，根据抽屉原则二，一定有一 个“抽屉”中至少放了 4 个“苹果”。 也就是说，全校至少有 4 人的生日相同（年可以不相同
9、）。 例 8据信一个人的头发根数不会超过 20 万根。某城市有人口一百多万（假设每人都 有头发），证明这个城市中至少有 6 个人的头发根数一样多。21 世纪教育网版权所有 证明：把头发根数看作“抽屉”，这样可以得到 20 万个“抽屉”，并对每个抽屉依次 标上 1、2、3、200000 之中的一个号码。把每个人的头发根数看作“苹果”，由于一 百多万大于 520 万，根据抽屉原则二，这个城市至少有 6 个人的头发根数一样多。 例 9一个口袋里放有红色、黄色或绿色三种颜色的玻璃球各若干颗。现在从中任意取 出一些球。 问至少要取出多少颗球， 才能保证其中至少有五颗球的颜色是相同的？如果要保 证其中有六
10、颗球或七颗球的颜色相同，有各至少应取出多少颗球。2 1 c n j y 解：把红色、黄色、绿色三种颜色看作三个“抽屉”，把取出的球看作“苹果”要保 证有五颗球的颜色相同，也就是要保证有一个抽屉中有 5 个苹果。根据抽屉原则二，取出的 球应多于 43 颗。即至少要取出 13 颗球，才能保证其中至少有五颗球的颜色是相同的。 同理至少要取出 16 颗球，才能保证其中至少有六颗球的颜色是相同的。至少要取出 19 颗球，才能保证其中至少有七颗球的颜色是相同的。【来源：21世纪教育网】 练习题 1设 a1、a2、a10这 10 个数都是大于 0 且小于 1 的数。证明其中一定能找到两个数， 使得较大的数减
11、去较小的数的差不超过九分之一。21 教育网 解：把 01 的线段分成 9 等分，每份的长度是九分之一，把每一份看作是一个“抽屉”， 把这 10 个数看作是 10 个苹果，放入这 10 个抽屉中，根据抽屉原则一，知道一定有一个抽 屉中至少有两个数，它们的差不超过九分之一。 2从 13 个自然数中，一定可以找到两个数，它们的差是 12 的倍数。 解：把所有的数被 12 除，观察它们的余数，余数只有 0、1、2、11 这 12 个数。 按 12 个余数做标准，做 12 个“抽屉”，把 13 个数当作“苹果”，根据抽屉原则一， 一定有一个“抽屉”中至少有 2 个数，即这两个数被 12 除的余数相同，所
12、以它们的差是 12 的倍数。21 cn jy com 3在一条长 100 米的小路一旁植树 101 棵，不管怎样种，总有两棵树的距离不超过 1 米。 为什么？ 解：把这条小路分成每段长度为 1 米的 100 段，做成 100 个“抽屉”，把 101 棵树看作“苹 果”，根据抽屉原则一，一定有一个“抽屉”其中至少有 2 棵树。这两棵树之间的距离不超 过 1 米。www-2-1-cnjy-com 4如图，一个 3 行 9 列共 27 个小方格的长方形，将每个小方格涂上红色或蓝色。证明：不 论如何涂色，其中必定至少有两列，它们的涂色方式相同。www.21-cn- 解：一列三个小格中涂红、蓝两种颜色，
13、只有 8 种涂法。把这 8 种涂法看作是 8 个“抽屉”， 把这九列看作 9 个“苹果”，根据抽屉原则一，一定有一个“抽屉”中至少有两个“苹果”， 也就是说一定有两列，它们的涂色的方式是相同的。2-1-c-n-j-y 5一个幼儿班有 40 名小朋友，现在有各种玩具 125 件，把这些玩具分给小朋友，是否有人 会得到 4 件或 4 件以上的玩具。【版权所有：21 教育】 解：把 40 个小朋友看作是 40 个“抽屉”，把 125 件玩具看作是 125 个“苹果”，1253 40，根据抽屉原则二，一定有一个抽屉，其中至少有 3+1=4 件玩具。 6袋子里装有红色球 80 个，蓝色球 70 个，黄色球 60 个，白色球 50 个，它们的大小和质 量都一样，要保证摸出 10 对球（两个颜色相同的球为一对），至少应取出多少个球。 解：从极端情况考虑，如果已经摸出了 9 对球，共 18 个。然后红色、蓝色、黄色、白色球 各摸出 1 个，现在有 18+4=22 个球，再随意摸出一个球，不论是什么颜色的，一定可以组 成第 10 对球。所以至少应取出 23 个球。
