1、 角的平分线的性质复习提问复习提问1 1、角平分线的概念、角平分线的概念oBCA12复习提问复习提问 2 2、点到直线距离、点到直线距离:从直线外一点从直线外一点到这条直线的到这条直线的垂线段垂线段的的长度长度，叫做叫做点到直线的距离。点到直线的距离。OPAB我的我的长度长度 不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角等的角.你有什么办法？你有什么办法？AOBC再打开纸片再打开纸片 ，看看折痕与这个角有，看看折痕与这个角有何关系？何关系？对折对折 如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该
2、怎么办呢？角，又该怎么办呢？BDACE 观察下面简易的平分角的仪器，其中观察下面简易的平分角的仪器，其中AB=ADAB=AD，BC=DC.BC=DC.将点将点A A放在角的顶点，放在角的顶点，ABAB和和ADAD沿着角的两边放下，沿沿着角的两边放下，沿ACAC画一条射线画一条射线AEAE，AEAE就是就是DABDAB的平分线的平分线.你能说明它的道你能说明它的道理吗？理吗？【证明】【证明】在在ACDACD和和ACBACB中中 AD=ABAD=AB（已知）（已知）DC=BCDC=BC（已知）（已知）CA=CACA=CA（公共边）（公共边）ACD ACD ACBACB（SSSSSS）CAD=CAB
3、CAD=CAB（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等）ACAC平分平分DABDAB（角平分线的定义）（角平分线的定义）BDACE 根据角平分仪的制作原理怎样作一根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）器）尺规作角的平分线尺规作角的平分线画法：画法：以为圆心，适当以为圆心，适当长为半径作弧，交于，长为半径作弧，交于，交于交于分别以，为分别以，为圆心大于圆心大于 1/2 的长的长为半径作弧两弧在为半径作弧两弧在的内部交于的内部交于作射线作射线射线即为所求射线即为所求证明证明:连结连结MC,NCMC,NC由作法知由作法知:在在
4、OMCOMC和和ONCONC中中OM=ONOM=ONMC=NCMC=NCOC=OCOC=OCOMCOMCONC(SSS)ONC(SSS)AOC=BOCAOC=BOC即即OC OC 是是的角平分线的角平分线.为什么为什么OCOC是是的角平分线的角平分线?OABNMC 将将AOBAOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？你能得出什么结论？猜想猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等.已知：已知：OCOC平
5、分平分AOBAOB，点，点P P在在OCOC上，上，PDOAPDOA于于D D，PEOBPEOB于于E E，求证求证:PD=PE.:PD=PE.P PA AO OB BC CE ED D12证明证明:C C平分平分,P,P是是OCOC上一点（已知）上一点（已知）DDP=BP=BP P（角平分线定义）（角平分线定义）PDOA,PEOB PDOA,PEOB（已知）（已知）ODP=OEP=90ODP=OEP=90（垂直的定义）（垂直的定义）在在OPDOPD和和OPEOPE中中 DOP=BOP DOP=BOP（已证）（已证）ODP=OEP ODP=OEP（已证）（已证）OP=OPOP=OP（已知）（已
6、知）OPDOPDOPE(AAS)OPE(AAS)PDPDPEPE（全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相等）角平分线的性质角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等用符号语言表示为：用符号语言表示为：AOBPED12 1=2 1=2 PD OA PD OA，PE OBPE OBPD=PEPD=PE(角角的的平分线上的点到角的两边平分线上的点到角的两边的距离相等的距离相等)推理的理由有推理的理由有三个三个，必须写完全，不能必须写完全，不能少了任何一个。少了任何一个。角平分线的性质角平分线的性质BADOPEC定理应用所具备的定理应用所具备
7、的条件条件：（1 1）角的平分线；）角的平分线；（2 2）点在该平分线上；）点在该平分线上；（3 3）垂直距离。）垂直距离。定理的作用：定理的作用：证明线段相等。证明线段相等。如图，如图，AD平分平分BAC（已知）（已知）=，()在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。ADCBBD CD（）如图，如图，DCAC，DBAB （已知）（已知）=，()在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。ADCBBD CD（）AD平分平分BAC,DCAC，DBAB （已知）（已知）=，（）DBDC在角的平分线上的点到这
8、个在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角的两边的距离相等。ADCB不必再证全等不必再证全等1.1.如图，如图，DEABDEAB，DFBCDFBC，垂足，垂足分别是分别是E E，F F，DE=DFDE=DF，EDB=EDB=6060，则，则 EBF=EBF=度，度，BE=BE=。ABCDCEF60BF2 2 如图，在如图，在ABCABC中，中，C=90C=90，DEABDEAB，1=21=2，且，且AC=6cmAC=6cm，那么线段，那么线段BEBE是是ABCABC的的 ，AE+DE=AE+DE=。角的平分线角的平分线6cm6cm练习练习如图，要在如图，要在S S区建一个贸易市场，使它到
9、铁路和公路区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，距离相等，离公路与铁路交叉处离公路与铁路交叉处500500米，这个集贸市场米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为应建在何处？（比例尺为1 12000020000）s sDCs【解析】【解析】作夹角的角平分线作夹角的角平分线OCOC，截取，截取OD=2.5cm,DOD=2.5cm,D即为所求即为所求.O 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？否一定在这个角的平分线上呢？已知：如图已知：如图,QDOA,QDOA，QEOBQEOB，点点D D、E E为垂足，为垂足，QDQDQEQE
10、求证：点求证：点Q Q在在AOBAOB的平分线上的平分线上证明证明:QDOA QDOA，QEOBQEOB QDO QDOQEOQEO9090（垂直的定义）（垂直的定义）在在RtRtQDOQDO和和RtRtQEOQEO中中 QOQOQOQO（公共边）（公共边）QD=QEQD=QE Rt RtQDORtQDORtQEOQEO（HLHL）QOD QODQOEQOE 点点Q Q在在AOBAOB的平分线上的平分线上到角的两边的距离相等的点在角的平分线上到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.QDOA QDOA，QEOBQEOB，QDQDQEQE点点Q Q在在AOBAOB的平分线上的平分线上用数学语言表示
11、为：用数学语言表示为：(1).1=2,DCAC,DEAB(1).1=2,DCAC,DEAB _(_)(_)(2).DCAC,DEAB,DC=DE(2).DCAC,DEAB,DC=DE_(_)(_)ACDEB121=21=2DC=DEDC=DE到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上.在角平分线上的点到角的两边的距离相等在角平分线上的点到角的两边的距离相等1.1.已知已知:如图如图,在在ABCABC中中,AD,AD是它的角平分线是它的角平分线,且且 BD=CD,DEAB,DFAC,BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是垂足分别是E,F.E,
12、F.求证求证:EB=FC.:EB=FC.BAEDCF【解析】【解析】根据角平分线的性质得根据角平分线的性质得到到DE=DFDE=DF，再根据，再根据HLHL证证BEDBEDCFD,CFD,从而得到从而得到EB=FC.EB=FC.2.2.直线表示三条相互交叉的公路直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转现要建一个货物中转站站,要求它到三条公路的距离相等要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址则可供选择的地址有有:():()A.A.一处一处 B.B.两处两处 C.C.三处三处 D.D.四处四处【解析】【解析】选选D.D.由于没有限制在何处选址由于没有限制在何处选址,故要求的故要求的地址共
13、有四处地址共有四处,在各自夹角的平分线上，即：在各自夹角的平分线上，即：A A、B B、C C、D D各一处各一处.A AD DC CB B3.3.（宁德（宁德中考）如图，已知中考）如图，已知ADAD是是ABCABC的角平分线，在不的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使添加任何辅助线的前提下，要使AEDAEDAFDAFD，需添加一个，需添加一个条件是：条件是：_，并给予证明，并给予证明.B D AEFc解法一：解法一：添加条件：添加条件：AEAEAFAF，在在AEDAED与与AFDAFD中，中，AEAEAFAF，EADEADFADFAD，ADADADAD，AEDAEDAFDAFD（SAS
14、SAS）.解法二：解法二：添加条件：添加条件：EDAEDAFDAFDA，在在AEDAED与与AFDAFD中，中，EADEADFADFAD，ADADADAD，EDAEDAFDAFDA，AEDAEDAFDAFD（ASAASA）.例例 已知：如图，已知：如图，ABCABC的角平分线的角平分线BMBM、CNCN相交于点相交于点P P。求证：点求证：点P P到三边到三边ABAB、BCBC、CACA的距离相等的距离相等.证明：证明：过点过点P作作PD、PE、PF分别分别垂直于垂直于AB、BC、CA，垂足为垂足为D、E、F BM是是ABC的角平分线，点的角平分线，点P在在BM上上 PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理同理 PE=PF.PD=PE=PF.即点即点P到边到边AB、BC、CA的距离相等的距离相等ABCMNPDEF怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？1.1.角平分线的性质：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等2.2.角平分线的判定：角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角平分线上到角的两边的距离相等的点在角平分线上.通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握：
