1、一图多变、一题多问、一图多变、一题多问、一题多解、一一聚多一题多解、一一聚多 2021年中考数学复习专题课件1一图多变如图1,a、b、c是ABC的三边,C=90，下面我们对直角三角形进行一题多问与一图多变,欣赏直角三角形的迷人风采,享受直角三角形的变化给我们带来的无限乐趣.一图多变图1A.开发原题 探索结论请大家结合图形和提示的要求,探索说出图中的一些重要的结论:1.考查三角形的内角和定理得_ 2.考查直角三角形的两个锐角之间的关系得_3.考查三角形的三边之间的关系得(不包括勾股定理)_4.考查垂线段最短得_5.考查锐角A的三角形函数得_.180CBA.90BA.,acbbcacba.,bca
2、cabAbaAcbAcaAcot,tan,cos,sinA.开发原题 探索结论6.考查锐角B的三角形函数得_.7.考查互为余角之间的三角函数关系得_.8.考查锐角A的正弦与余弦的取值范围得_.9.考查同角三角函数之间的平方关系得_;考查同角三角函数之间的倒数关系得_;考查同角三角函数之间的商的关系得_.10.考查勾股定理得_;11.考查三角形的面积公式得_.baBabBcaBcbBcot,tan,cos,sinBABABABAtancot,cottan,sincos,cossin1cos0,1sin0AA222cbaabSABC21B.变化原题 探索结论AB2130B.变化原题 探索结论457
3、5或B.变化原题 探索结论19.若ABC的三边是连续整数,求三边的长.20.若ABC的三边是连续偶数,求三边的长.B.变化原题 探索结论B.变化原题 探索结论B.变化原题 探索结论(2)若CBA=45求tan22.5的值.B.变化原题 探索结论(1)求ABC的面积;(2)求以a为轴旋转一周所得的几何体的表面积;(3)求以b为轴旋转一周所得的几何体的表面积;(4)求以c为轴旋转一周所得的几何体的表面积.05132bcC.原题不变 添图变化上面原题条件不变,添加一些条件得到19个新题!下面我们探索原题条件不变,添加一些图形得到许多新题!请大家欣赏下面一图多变.27.如图2,原题增添斜边AB上的高C
4、D,则有(1)(2)ABCACDCBD;(简称母子相似定理)(3)(简称射影定理)(4)(5)(6)B2,A1ABBDCBABADACBDADCD222,ABCDBCACBDADCBAC22.111222CDCBAC图2考查锐角A的三角形函数得_.ABE+BED+CDE=180EBF+180BEF+DABE+BED+CDE=360.(1)DEAB,;求证:B+BED+D=360.这种一图多用,一题多问的方法,既激发了同学们的学习兴趣,又提高了复习效率,可谓一箭双雕,一石双鸟.因为水平有限,错误与不当之处在所难免,欢迎大家多提宝贵意见,欢迎大家批评指正.=EBF+E+D+BFD=360.几秒后四
5、边形APQC的面积最小?最小面积是多少?几秒后四边形APQC的面积最小?最小面积是多少?如图5,原题增添中位线EF、FD、DE,则有思路分析:本题若想直接证明,则山穷水尽疑无路.解决问题时,若能进行一图多用,一题多问,不断变换方位,多方位思考,则往往会收到意想不到的效果.思路分析:本题若想直接证明,则山穷水尽疑无路.ABCD,EFCD.如图4,原题增添中位线DE,则有证法5:如图6,过点E作直线FG,交AB和CD的延长线于点F和点G,则ABE=BEF+F,如图3,原题增添斜边AB上的中线CM,则有二轮是专题复习,不是知识越难越好,而是知识越综合越好.如图7,原题条件不变,添加ABC的外接圆D,
6、若D的半径为 ,则有 C.原题不变 添图变化28.如图3,原题增添斜边AB上的中线CM,则有(1)MA=MB=MC;(2)(3)(4)(5)B2,A1BCMACMSS22228CMABBCAC.2BCACCMBCAC图3C.原题不变 添图变化29.如图4,原题增添中位线DE,则有(1)DEAB,;(2)CDECBA;(3)(4)AB21DE 21CBA的周长的周长CDE41CBACDESS图4C.原题不变 添图变化图530.如图5,原题增添中位线EF、FD、DE,则有(1)四边形CDFE是矩形;(2)四边形EFBD、DFAE都是平行四边形;(3)EAFDFBFDECEDB.变化原题 探索结论3
7、1.如图6,原题条件不变,添加中位线DE,中线CF,则有DE=CF.32.如图7,原题条件不变,添加ABC的外接圆D,若D的半径为 ,则有 CBADEF图6r2cr DBAC图7C.原题不变 添图变化33.如图8,原题条件不变,添加ABC的内切圆D,若D 的半径为 ,则有图8r.2cbaabcbarCBAD18%18%12%12%51%51%30%30%GRAPHICCHART 以上我们通过对直角三角形这以上我们通过对直角三角形这个基本图形的建模个基本图形的建模,进行挖掘或添加条件进行挖掘或添加条件,一题多问、一图多变一题多问、一图多变,得到了得到了8080个结论个结论,形成了巨大的知识网络形
8、成了巨大的知识网络,巧妙地复习了初巧妙地复习了初中数学的许多定理、性质及其解法中数学的许多定理、性质及其解法,收到收到了举一反三了举一反三,触类旁通的效果触类旁通的效果,极大地提高极大地提高了复习效率了复习效率.可谓登峰造极可谓登峰造极,巧夺天工巧夺天工.2一题多问横看成岭侧成峰,远近高低各不同.在思维过程中,我们要善于改变看问题的角度,要善于变换思考方式,尽可能地选择新视角解决问题.解决问题时,若能进行一图多用,一题多问,不断变换方位,多方位思考,则往往会收到意想不到的效果.可谓无心插柳柳成荫.现在仅举如下例子,以起抛砖引玉,画龙点睛.一题多问.【妙变迭出】这个题目十分简单,列方程即可轻松搞
9、定.但深挖本题,丰富多彩,令人欣喜若狂.若本题条件不变,改变结论,一图多用,一题多问,则可以生成如下别有洞天的新题.变化1.几秒后Q、P两点间的距离最小?最小距离是多少?变化3.几秒后四边形APQC的面积最小?最小面积是多少?变化7.几秒钟后PQ的垂直平分线经过点B?变化8.几秒后以Q、B、P为顶点的三角形与ABC相似?【解后反思解后反思】以上变化结论以上变化结论,一图多用一图多用,一一题多问得到了题多问得到了1515个新题个新题,形成了巨大的知形成了巨大的知识串识串,巧妙地复习了初中数学的许多定理、巧妙地复习了初中数学的许多定理、性质及其解法性质及其解法,收到了曲径通幽之妙收到了曲径通幽之妙
10、,攻城攻城略地之效略地之效.这种一图多用这种一图多用,一题多问的方法一题多问的方法,既激发了同学们的学习兴趣既激发了同学们的学习兴趣,又提高了复又提高了复习效率习效率,可谓一箭双雕可谓一箭双雕,一石双鸟一石双鸟.3一题多解思路分析:本题若想直接证明,则山穷水尽疑无路.若考虑结论360是两个平角的和、三角形内角和的两倍、四边形的内角和、五边形内角和与平角的差、周角,则考虑添加平行线、构造三角形、构造四边形、五边形等即可柳暗花明又一村.已知:如图1,ABCD,BE与DE相交于点E求证:B+BED+D=360.一.添加平行线证法1:如图2,过E点作EFAB,则B+BEF=180.ABCD,EFCD.
11、FED+D=180.B+BED+D=B+BEF+FED+D=360.B+BED+D=360.证法2:如图3,过E点作EFAB,则B=BEF.ABCD,EFCD.DEF=D.B+BED+D=BEF+BDE+DEF.BEF+BDE+DEF=360,B+BED+D=360.二.构造三角形证 法 3:如 图 4,连 接 B D,则DBE+BED+BDE=180.ABCD,ABD+BDC=180.ABE+BED+CDE=ABD+D B E+B E D +D B E+BDC=360.ABE+BED+CDE=360.证法4:如图5,延长AB和DE相交于点F,则EBF+BEF+F=180.ABCD,F+D=1
12、80ABE+EBF=180,BEF+BED=180,ABE+BED+CDE=180EBF+180BEF+D=360(180F)+D=180+F+D=360.ABE+BED+CDE=360.二.构造三角形证法5:如图6,过点E作直线FG,交AB和CD的延长线于点F和点G,则ABE=BEF+F,CDE=DEG+G.ABCD,F+G=180.BEF+BED+DEG=180,BED=180BEFDEG.ABE+BED+CDE=BEF+F+180BEFDEG+DEG+G=180+F+G=360.ABE+BED+CDE=360.三.构造四边形证法6:如图7,作直线BF,交CD于点F,则EBF+E+D+BF
13、D=360.ABCD,ABF=BFD.ABE+BED+CDE=ABF+EBF+BED+CDE=EBF+E+D+BFD=360.ABE+BED+CDE=360.四.构造五边形证法7:如图8,作直线FG,分别交AB、CD于点F、G,则ABE+BED+CDE+BFG+DGF=(5-2)180=540.ABCD,BFG+DGF=180.ABE+BED+CDE=360.解后反思:本题首先添加平行线(如证法1、2)或构造三角形(如证法3、4、5)或构造四边形(如证法6)或构造五边形(如证法7)四种辅助线,再利用平行线的性质、多边形的内角和、三角形的外角、平角、周角等知识使问题迎刃而解,可谓以巧取胜,四两拨
14、千斤.这种一题多解的复习方法既复习了知识,又开阔了眼界;既复习了辅助线的添加,又培养了发散思维的能力.令人感到数学是思维的体操优美无比,为数学精妙绝伦的解法激动地拍案叫绝,为数学巧夺天工的证法佩服的五体投地.4一一聚多自变量的取值范围是初中数学中非常重要的知识,备受中考命题人员的青睐,经常在中考试卷中出现,是中考试卷的一道亮丽的风景线,令人秀色可餐.现在归纳求自变量取值范围的各种类型,供大家学习时予以参考.一一聚多.18%18%12%12%51%51%30%30%GRAPHICCHART以上同一类型的题目聚集在一起以上同一类型的题目聚集在一起,综合复综合复习了函数中求自变量的取值范围的各种类习
15、了函数中求自变量的取值范围的各种类型型,这种一一聚多的方法这种一一聚多的方法,既复习巩固了知既复习巩固了知识识,又激发了学生的学习兴趣又激发了学生的学习兴趣,更提高了复更提高了复习的效率习的效率,可谓包罗万象可谓包罗万象,一举多得一举多得.二轮是专题复习,不是知识越难越好,而是知识越综合越好.通过一图多变、一题多变、一题多问、一题多解、一一聚多形成知识串,一线串多珠,珠珠相连.通过一图多变、一题多变、一题多问、一题多解、一一聚多形成知识链,一链巧贯通,环环相连.只有知识的珠联璧合,才能运用的得心应手,左右逢源,才能领略到融知识于一体,包万象于其中的数学盛宴.只有知识的纵横联系,才能运用的天衣无缝,无懈可击,才能领略到数学的博大精深与精美绝伦的迷人风采,才能收到雨落芽生、水到渠成的艺术效果.以上观点纯属一孔之见,实乃管中窥豹,可见一斑,实在难登大雅之堂,权当给大家增添笑料而已.因为水平有限,错误与不当之处在所难免,欢迎大家多提宝贵意见,欢迎大家批评指正.感谢倾听,谢谢大家!
