1、1/22知识梳理高考速递典例精析三角形中的三角函数问题第六讲2/22 等形 式，以解决不同的三角问题.sin2aARsin2aBRsin2cCR2sinaRA2sinbRB2sincRC（1）正弦定理：,其中R为三角 形外接圆的半径.正弦定理可变形为：RCcBbAa2sinsinsin:sin:sin:sina b cABC2222cosbacacB2222coscababC2222cosabcbcA（2）余弦定理：222cos2bcaAbc222cos2acbBac222cos2abcCab余弦定理可变形为知识梳理3/22（3）(r是三角形内切圆的半径），并可由此计算R,r.11sin()2
2、42ABCabcSabCabc rR(4)解三角形的常见类型及解法 已知条件 应用定理 一般解法 一边和两角(如a、B、C)正弦定理 由A+B+C=180，求角A；由正弦定理求出b与c，在有解时只有一解.两边和夹角(如a、b、C)余弦定理 正弦定理 由余弦定理求第三边c；再由正弦定理求出小边所对的角；再由A+B+C=180求出另一角，在有解时只有一解 三边(如a、b、c)余弦定理 由余弦定理求出A、B，再利用A+B+C=180，求出角C，在有解时只有一解 两边和其中一边的对角(如a、b、A)正弦定理余弦定理 由正弦定理求出角B，由A+B+C=180，求出角C，再用正弦定理或余弦定理求出边c，可
3、有两解、一解或无解 4/22(5).在 中，已知a、b和A时，B的解的情况:ABCA为锐角A为直角或钝角图形关系式解的个数absinA a=bsinA bsinAab无解一解两解一解无解一解AaCbbCABCbAaBA1B2BCabAaCbBaACb5/22由 ，得tantan422ABCcottan422CC5(0,),.66CC或C=所以2sinsincos,2ABC 由1sinsin1 cos(),2BCBC得,sinsinsinabcABC正弦定理由1sin22 32.sin32BbcaA得14sincos22CC化简得1sin2C 所 以1.(2008江西卷江西卷)在ABC中，a、b
4、、c分别为角A、B、C所对的边，a=,求角A、B及b、c.2 3tantan422A BC2sin sincos2ABC【解析】高考速递cos(B即C)=1,32,6ACB则所以6/22高考速递2.(2007上海卷上海卷)如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(用反三角函数表示)？ABC1020北7/22,sinsinABBCACBBAC由正弦定理得 2010 721,sinsinsin1207ACBACB所即以 21arcsi
5、n7ACB所以ABC1020 解决本题的关键是根据问题实际找出等量关系，利用余弦定理和正弦定理列出方程，从而使问题获解.【点评】2222cosBCACABAB ACABC得【解析】北如图，连结BC，在ABC中，由余弦定理710,700120cos1020210202o222BCBC所以所以处的方向前往故乙船应朝北偏东B721arcsin68/22 因为2cos2B-8cosB+5=0,22 2cos18cos50,BB所以2cos8cos30BB 4即，已知ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等差数列，且2cos2B-8cosB+5=0，求角B的大小并判断ABC的形
6、状.由三角函数的倍角公式化简所给方程，再紧扣已知条件a、b、c成等差数列寻找边角关系，进行整理求解.【分析】【解析】典例精析（舍）或所以则2321cos0)3cos2)(1cos2(BBB9/22因为a、b、c成等差数列，所以a+c=2b,又因为0B,所以 3B 此题先由方程求角B，再根据条件选用余弦定理，问题可获解.【回顾与反思】212)2(2cos222222accacaacbcaB所以caacca所以化简得,0222故ABC为等边三角形.10/22如图所示，点P为斜三棱柱 的侧棱上 的一点，交 于点M，PN 交 于点N.在任意DEF中有余弦定理 -2DFEFcosDFE.拓展到空间，类比
7、三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面的面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式 .111BCABC-A1BB1AA1PMBB1CC222DEDFEF变式训练1BBNMP1C1B1ACBA 类比的思想，明确目标，紧抓面积结构形式和余弦结构形式进行配凑【分析】典例精析11/22因为C 平面PMN，所以=MNP.1C在PMN中，2222cosPMPNMNPN MNMNP等式两边同时乘以 ，则有 21CC222222111112()()cosPM CCPN CCMN CCPN CCMN CCMNP由于 1 11 11 11111,.BCC BACC AABB ASPN CC SMN CC SPM
8、BBPM CC【解析】在斜三棱柱 中，111ABCABC1 11 11 11 11 1222222cosACC ABCC BBCC BACC AABB ASSSSS四形有cos2222221111111111AACCBBCCBBCCAACCAABBSSSSS四边形所以CA1CB1为平面 与平面 所成的二面角.NMP1C1B1ACBA12/22(1）由余弦定理 2222cosabcbcA(1)已知边角关系，目标也为边角关系，故紧扣正、余弦定理进行边角转换；(2)由目标式进行弦切互换，紧扣三角形的内角和公式，消元、化简再求值.【分析】【解析】典例精析例2(2008重庆卷重庆卷)设ABC的内角A，B
9、，C的对边分别为a，b，c，且A=60，c=3b.求：(1)(2)cotcotaBCc的值；的值.代入题中关系式，化简得 37,9722caca即13/22sin coscos sinsinAcotBsin sinsin sin(12)BCCBBCBC+cotC解 法=：（*）1)由及(正弦定理的结论，22271214 39.1sinA bc933cac式（*）=1)余弦定由及(解法2：理的结论22222271()a593cosB272 723ccccbacc c3sinB=2 7故 1cosC2 7 =理-同3 21sinC14则 =coscos14 3B.sinsin9BCBCcot+co
10、t从C =而14/22又因为ABC的面积等于 所以 absinC=3,得ab=4.123即22ab例3(2008辽宁卷辽宁卷)在ABC中，内角A，B，C所对边的边长分别是a,b,c，已知c=2,C=.(1)若ABC的面积等于 ，求a,b;(2)若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求ABC的面积.33变式训练典例精析(1)由余弦定理及已知条件得【解析】422abba联立方程组 4422ababba15/22(2)由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,即sinBcosA=2sinAcosA.当cosA0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a,当cosA=
11、0时，4 32 3,2633ABab233433ab解 得所以ABC的面积S=absinC=122 33 解三角形要恰当运用正弦定理、余弦定理和面积公式【回顾与反思】联立方程组 ababba242216/22 加强审题，数形结合，寻找相关三角关系，利用正、余弦定理等基础知识，考查综合应用、分析解剖三角函数有关知识的能力.【分析】典例精析 例3伊拉克战争期间，美、英联军为了准确分析战场形势，由分别位于科威特和沙特的两个距离为 的军事基地C和D，测得伊拉克两支精锐部队分别在A处和B处，且ADB=30,BDC=30,DCA=60,ACB=45，如图所示.求伊拉克这两支精锐部队的距离.32a备选例题3
12、030ABCD604517/22因为ADC=ADB+CDB=60,又因为ACD=60 在BCD中，DBC=180-30-105=45.所以DAC=60,所以AD=CD=.32a由正弦定理，得,sinsinDBCDBCDDBC62sin3334sin2422CDBCDBDaaDBC则在ADB中，由余弦定理，222232cos8ABADBDAD BDADBa【解法一】3030ABCD6045所以 64ABa所以伊拉克的这两支精锐部队的距离为64ABa18/22 因为ADC=ADB+CDB=60 又因为ACD=60 所以AD=DC=AC=.32a在BCD中，DBC=45,6,BC=sin30sin454BCDCa 则故【解法二】3030ABCD6045所以DAC=60,在ABC中，由余弦定理，所以 64ABa所以伊拉克的这两支精锐部队的距离为64ABa 要创造条件在ABD或ABC中求AB长【回顾与反思】2o2228345cos2aBCACBCACAB
