1、5.2.2同角三角函数的基本关系costansin 三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的.设设是一个任意角，它的终边与单位圆交于是一个任意角，它的终边与单位圆交于P(x,y)，你能从圆的几何性质出发，讨论一下你能从圆的几何性质出发，讨论一下同一个角同一个角的的不同三角函数不同三角函数之间的关系吗？之间的关系吗？OxyP1,0A过过P作作x轴的垂线，交轴的垂线，交x轴于轴于M，则，则OMP是直角三角形是直角三角形.由勾股定理，有由勾股定理，有MP2+OM2=OP2因此，因此，y2+x2=1，即，即22sincos1问题问题1 当角当角的终边不在坐标轴时，正弦、
2、余弦之间的的终边不在坐标轴时，正弦、余弦之间的关系是什么？关系是什么？MOxyP1,0A问题问题2 当角当角的终边在坐标轴上时，关系式是否还成立？的终边在坐标轴上时，关系式是否还成立？当角当角的终边在的终边在x轴上时轴上时,当角当角的终边在的终边在y轴上时轴上时,对于任意角对于任意角(R)，都有都有结论：结论：1cossin22这就是说，同一个角这就是说，同一个角的正弦、余弦的平方和等于的正弦、余弦的平方和等于1.,siny,cosx)0(,tanxxytancossin思考：这个商的关系对任意角都成立吗？思考：这个商的关系对任意角都成立吗？问题问题3 观察并思考任意角观察并思考任意角的的si
3、n、cos、tan这三者有这三者有什么样的关系？什么样的关系？当当 时，有时，有)(2Zkksintancos这就是说，同一个角这就是说，同一个角的正弦、余弦的商等于角的正弦、余弦的商等于角的正切的正切.（3）sin2与与sin2之间的区别之间的区别：前者是(sin)2的简写，是的正弦的平方的正弦的平方，读作“sin的平方”，后者是的平方的正弦的平方的正弦，两者是截然不同的。对同角三角函数的基本关系式的理解对同角三角函数的基本关系式的理解（1）同角三角函数的基本关系式中的角都是“同一个角同一个角”，而sin2+cos2=1不一定成立.“同角同角”与角的表示形式无关与角的表示形式无关，如 成立，
4、这里的同角是指 .一般地，公式中的角可以是具体值具体值，也可以是变量变量，可以是单项式单项式形式表示的角，也可以是多项式多项式形式表示的角.12cos2sin222（2）同角三角函数的基本关系式是针对使三角函数有意义的角针对使三角函数有意义的角而言的，sin2+cos2=1对一切R恒成立，而 仅对 成立.)(2Zkkcossintan1cossin22同角三角函数的基本关系式的同角三角函数的基本关系式的变形变形2222sin1coscos1sin22sin1coscos1sin 2(sincos)1 2sin cos tancossinsintancos(,)2sincos(,)tan2kkZ
5、kkZ 例例1 的值，求已知tan,cos53sin解：解：2516)53(1sin1cos222当是第三象限角时，0cos542516cos43)54()53(cossintan当是第四象限角时，0cos542516cos4354)53(cossintan1sin0sin且得由1cossin22典例分析变式训练1已知 ，求sin、tan的值.178cos解：当是第二象限角时，15sin,1715tan.8 当是第三象限角时，15sin,1715tan.82已知 ，且是第二象限角，求sin、cos的值.tan5 22sin5,cossincos1 解：由题意，列出方程组，2221sin5cos
6、(5cos)cos1cos6 由得，代入得，630cos-sin5cos=66 是第二象限角，典例分析例例2 已知tan=2，则 21(1);cos3sincos(2);2sin3cos115 222222222 222222222sincossincossincossincos解解：(1)tan(1)tancoscoscoscoscoscoscoscos3sincos(2)2sin3cos 3sincoscoscos2sin3coscoscos 3tan12tan3 57222sin2sinsin cos(cos3)原原式式222tantantan1 652(3)2sinsincos.“1”
7、“1”的代换，分子分母同除的代换，分子分母同除典例分析cos1 sin3.:1 sincos例 求证:(1 sin)(1 sin)证明 法一:21 sin 2coscoscos:证明 法二左边cos1 sincos(1 sin(1 sin)(1 sin)2cos(1 sin)cos1 sincos 右边变更命题法，左推右或右推左变更命题法，左推右或右推左cos1 sin1 sincos14sincos2例 已知 为第二象限角,，求(1)sincos,(2)sincos取平方取平方典例分析21(1)(sin+cos)1 2sincos,4332sincossincos48 解：，即237(2)(sin-cos)1-2sincos1-(-),44sin-cos07sin-cos2 为第二象限角，三角三角“三剑客三剑客”反映三角反映三角函数的函数的“和和”、“差差”、“积积”，它们联系的纽带，它们联系的纽带是平方关系是平方关系.变式训练11.sincos(0,)tan.3已知，求的值9+17tan=-8注意：角的范围主要起到判断符号的作用注意：角的范围主要起到判断符号的作用.方法：方法：“三剑客三剑客”之间的平方关系；之间的平方关系；利用了二元一次方程组的解法：加减消元法利用了二元一次方程组的解法：加减消元法
