1、2023届高考数学一轮复习解答题之导数专练B卷1.已知函数，其中.（1）讨论的单调性.（2）是否存在，对任意，总存在，使得成立？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.2.已知函数，为的导数，证明：（1）在区间上存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点.3.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个极值点，证明：.4.设函数.（1）当时，求函数的最大值；（2）当，时，方程有唯一实数解，求正数m的值.5.已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若对任意的恒成立，求整数k的最大值.6.已知函数，.（1）若曲线在处的切线方程为，且存在实数m，n，使得直线与曲线相切，求的值；（2）若函数
2、有零点，求实数a的取值范围.7.已知实数，函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）若是函数的极值点，曲线在点，处的切线分别为，且，在y轴上的截距分别为，若，求的取值范围.8.已知函数，.（1）若函数的图象在处的切线与直线平行，求m；（2）证明：在（1）的条件下，对任意，成立.9.函数，.（1）讨论在区间上极值点的个数；（2）若，总有，求实数a的取值范围.10.已知函数.（1）若是奇函数，且有三个零点，求实数b的取值范围；（2）若在处有极大值，当时，求出的值域.答案以及解析1.答案：（1）见解析（2）存在满足题意的实数a，且实数a的值为解析：（1）由，得.当时，对任意，所以单调递减.当时，令，得，
3、当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减.综上所述，当时，在R上单调递减，无增区间；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）存在满足条件的实数a，且实数a的值为.理由如下：当，且时，由（1）知，在上单调递减，则时，则，所以此时不满足题意；当时，由（1）知，在上，单调递增，在上，单调递减，则当时，.当时，对任意，所以此时不满足题意；当时，令，由（1）知，在上单调递增，从而知在上单调递减，所以，.若对任意的，总存在，使得，则的值域为值域的子集，即即所以，解得.综上，存在满足题意的实数a，且实数a的值为.2.解析：（1）设，则，.当时，单调递减，而，可得在上有唯一零点，设为.则当时，；当时，.所以
4、在上单调递增，在上单调递减，故在上存在唯一极大值点，即在上存在唯一极大值点.（2）的定义域为.（i）当时，由（1）知，在上单调递增，而，所以当时，故在上单调递减.又，从而是在上的唯一零点.（ii）当时，由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，而，所以存在，使得，且当时，；当时，.故在上单调递增，在上单调递减.又，所以当时，.从而在上没有零点.（iii）当时，所以在上单调递减.而，所以在上有唯一零点.（iv）当时，所以，从而在上没有零点.综上，有且仅有2个零点.3.解析：（1），.令，则其判别式.当，即时，在上单调递减.当，即时，方程有两个不相等的正根，则当或时，当时，在上单调递减，在上单调递增
5、，在上单调递减.综上，当时，在上单调递减，无增区间；当时，在，上单调递减，在上单调递增.（2）不妨设.由（1）知，当且仅当时，有极小值点和极大值点，.令，则，在上单调递减，即.4.答案：（1）（2）解析：（1）依题意，知的定义域为，当时，则，令，解得或（舍去）.当时，此时单调递增；当时，此时单调递减.所以的极大值为，此即函数的最大值.（2）由题意可知，.设，则，令，则.因为，所以，在上单调递减.因为，所以当时，当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以.又，且当时，所以可画出的大致图象，如图所示，方程有唯一实数解就等价于直线与的图象只有一个交点，由图象可知，即.5.答案：（1）的单调递减区
6、间为，无单调递增区间（2）3解析：（1）的定义域为.当时，.令，则.当时，单调递增；当时，单调递减.，的单调递减区间为，无单调递增区间.（2）由对任意的恒成立，得，即.令，则，令，则，在上单调递增，又，存在唯一，使得，即，当x变化时，的变化情况如下表所示：x0+单调递减极小值单调递增，整数k的最大值为3.6.答案：（1）（2）解析：（1），所以曲线在处的切线方程为，所以，则，即.，则曲线在点处的切线方程为，即，从而，所以，.（2）由题意知，函数有零点，即有根.当时，不符合题意.当时，函数有零点等价于有根.设，则，设，则，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，所以仅有一根，且当时，单调递减，当时
7、，单调递增，所以.所以若函数有零点，则，从而.7.答案：（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增（2）解析：（1），.当，即时，则在上单调递减；当，即时，令，得，令，得，在上单调递减，在上单调递增.（由于，因此分类讨论的标准是以是否在定义域内进行制定的）综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）是的极值点，即，解得或（舍），此时，切线的方程为，令，得，同理可得.，整理得，.又，得，令，则，设，则，在上单调递增，又，（换元以及构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和在特定区间上的值域，从而求得的取值范围）即的取值范围为.8.答案：（1）（2）见解析解析：
8、（1）的定义域为，因为的图象在处的切线与直线平行，所以，即.（2）在（1）的条件下，当时，单调递减，当时，单调递增，所以在时取得最小值，所以.，则，令，则，所以当时，单调递增，当时，单调递减.所以当时，因为，所以在上单调递减，所以.所以对任意，.9.答案：（1）由题意，得.设，则方程的判别式，对称轴方程为，.若在区间上恒成立，即.当时，当且仅当时取等号，所以当时，在区间上恒成立，所以恒成立，则在区间上单调递增，无极值点.当时，由，若，即时，方程在上有唯一实根，此时函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则函数有一个极值点.当时，方程在区间上有唯一实数根，此时函数在区间上单调递增，在区间上单调递
9、减，则函数有一个极值点.若，且，即时，方程在有两个相异的根，此时函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，有两个极值点.综上，当时，在区间上无极值点；当时，在区间上有1个极值点；当时，在区间上有2个极值点.（2）由，得.因为，所以在区间上恒成立.令，则.因为，所以当时，单调递减；当时，单调递增，所以，所以，故实数a的取值范围为.10.答案：（1）因为是定义域为R的奇函数，所以，且，所以，所以.当时，此时在R上单调递减，在R上只有一个零点，不符合题意.当时，解得.因为在R上有三个零点，所以且.又，恒成立，所以.综上，实数b的取值范围为.（2）由题意，得，解得或当，时，令，得，令，得或，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在处有极小值，与题意不符.当，时，.令，得；令，得或，所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增，所以在处有极大值，符合题意，故，.又因为，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.又，所以函数在区间上的值域为.12
