1、 数学（文科）试题 （考试时间：150 分钟 总分：150 分） 第第 I 卷（选择题卷（选择题 共共 60 分）分） 一、一、选择题（本大题共选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合 2 20AxR xx，1 , 0 , 1B，则AB （ ） A 1,0,1 B1,0 C0,1 D 0 2.已知izi43为虚数单位i,则复数z在复平面上所对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3. 5 . 04
2、. 0 4 4 . 0,4, 4 . 0logpnm，则（ ） A.pnm B.npm C.nmp D. mpn 4.工厂利用随机数表对生产的 600 个零件进行抽样测试，先将 600 个零件进行编号，编号分 别为 001，002，599，600 从中抽取 60 个样本，如下提供随机数表的第 4 行到第 6 行： 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 9
3、6 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 若从表中第 6 行第 6 列开始向右依次读取 3 个数据，则得到的第 6 个样本编号（ ） A.522 B.324 C.535 D. 578 5.函数 ln x f x x 的图象大致为（ ） A B C D 6.阿基米德（公元前 287 年公元前 212 年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家， 他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆 C的对称轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为
4、7 4 ，面积为12，则椭圆C的方程为 （ ） A.1 169 22 yx B.1 43 22 yx C.1 3218 22 yx D.1 364 22 yx 7.已知 4 3 cos()si 5 n 6 aa，则 7 sin() 6 a的值为（ ） A. 1 2 B. 3 2 C. 4 5 D. 1 2 8. 如图所示，ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点， 则AC （ ） A 4 3 ADBE B. 5 3 ADBE C. 41 32 ADBE D. 51 32 ADBE （8 题图） （9 题图） 9.一个几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点P在正视图上的
5、对应点为P，点 CBA、 在俯视图上的对应点为CBA、，则PA与BC所成角的余弦值为（ ） A. 5 5 B. 2 5 C. 2 2 D. 5 10 10.已知 , ,A B C是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 上的三个点，AB经过原点O，AC经过右 焦点F，若BFAC且2 AFCF，则该双曲线的离心率是（ ） A. 3 5 B. 3 17 C. 2 17 D. 4 9 11已知奇函数 0, 2 cossin3 xxxf 对任意Rx都有 0 2 xfxf ，现将 xf图象向右平移 3 个单位长度得到 xg图象，则下列判断 错误的是（ ） A函数( )g x在区间 , 12
6、2 上单调递增 B( )g x图象关于直线 7 12 x 对称 C函数( )g x在区间 , 6 3 上单调递减 D( )g x图象关于点,0 3 对称 12.已知定义在R上的可导函数 xf 的导函数为 xf ，满足 xfxf ， 1xfy 是偶函数， 2 20ef ，则不等式 x exf2 的解集为（ ） A.2 , B.0 , C., 0 D. , 2 第第 IIII 卷（非选择题卷（非选择题 共共 9090 分）分） 二、二、填空题（本大题共填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分，把答案填在答题卡的相应位置）分，把答案填在答题卡的相应位置）
7、 13.已知函数 0,3 0, 22 xxf x xf x ，则2020f 。 14.若实数yx,满足约束条件 2 03 02 yx yx yx ，则y-xz32=的最小值为 15. 在 锐 角A B C中 ， 内 角CBA,所 对 的 边 为cba,，2a， BbcACacsin3sinsin，则bc的最大值为 。 16.如图，在直角梯形ABCD中，BCAD/,2 2 1 BCAD,90ABC ， 45C， E为BC中点，现将CDE沿DE折起，使得平面CDE平面ABED,连接BCAC、, 设M为CE中点， 动点P在平面CBE和平面CDE上运动， 且始终满足MPAM ,则点P 形成的轨迹长度为
8、 。 三、解答题（三、解答题（本大题共本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。步骤。 ） 17.（本小题满分（本小题满分 12 分）分） 已知数列 n a为等差数列， 72 10aa，且 1621 aaa， ，依次成等比数列. （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 1 1 nn n aa b，求数列 n b的前n项和 n S. 18.（本小题满分（本小题满分 12 分）分） 某校高三学年统计学生的最近 20 次数学周测成绩(满分 150 分),现有甲、 乙两位同学的 20 次 成绩如下列茎叶图所示:
9、（1）根据茎叶图求甲、乙两位同学成绩的中位数,并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充 完整; （2）根据茎叶图比较甲、乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度(不要求计算出具体值, 给出结论即可); （3）现从甲、乙两位同学的不低于 140 分的成绩中任意选出 2 个成绩,设事件A为“其中 2 个成绩分别属于不同的同学”,求事件A发生的概率. 19.（本小题满分（本小题满分 12 分）分） 如图，四棱锥SABCD中，ABS是正三角形，四边形ABCD是菱形，点E是BS的中 点 （1）求证：/SD平面ACE； （2）若平面ABS 平面ABCD，2AB ，120ABC，求三棱锥EASD的体积. 20.（本
10、小题满分（本小题满分 12 分）分） 已知抛物线02: 2 ppxyC ，点F为抛物线C的焦点，点 0, 1mmA 在抛物线C 上，且2FA，过点F作斜率为 2 2 1 kk 的直线l与抛物线C交于QP、两点. （1）求抛物线C的方程； （2）求APQ面积的取值范围。 21. （本小题满分（本小题满分 12 分）分） 已知函数 2 ( )(2)(2) x f xa xeb x. （1）若函数( )f x在(0,(0)f处的切线方程为520xy，求a，b的值； （2）若1a ，bR，求函数( )f x的零点的个数. 请考生在请考生在 2222、2323 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
11、题计分。作答时请写清题题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题 号。号。 22 （本小题满分本小题满分 10 分）分）选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为6cos.以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建 立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 2cos 1sin xt yt (t 为参数). （1）若 2 ，求曲线C的直角坐标方程以及直线 l 的极坐标方程; （2）设点1, 2 P，曲线C与直线 l 交于BA、两点，求 22 PAPB的最小值. 23(本小题满分本小题满分 10 分分)选修 45：不等式选讲 已知函数 1 3 f xx
12、a aR （1）当2a 时，解不等式 1 1 3 xfx ； （2）设不等式 1 3 xfxx 的解集为M，若 1 1 , 3 2 M ，求实数a的取值范围 高三文科数学答案高三文科数学答案 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的. 题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案答案 C B B D A A C B D B C A 二、二、填空题填空题: 13、 4 7 14、6 15、348 16、 3 52 三、解答题解
13、答题: 17. （1）32 nan （2） 2510 n n Sn 解： （1）设等差数列 n a的公差为d 由10 27 aa得106 11 dada 即2,105dd（2 分） 由 2161 ,aaa成等比数列，得 211 2 6 aaa（3 分） 即4010 11 2 1 aaa，解得5 1 a（4 分） 32215nnan（6 分） （2） 5232 11 1 nnaa b nn n = 52 1 32 1 2 1 nn （8 分） 52 1 32 1 . 9 1 7 1 7 1 5 1 2 1 nn Sn 52 1 5 1 2 1 n2510 n n （12 分） 18.（1）甲的成
14、绩的中位数是 119,乙的成绩的中位数是 128, （4 分） （2） 从茎叶图可以看出,乙的成绩的平均分比甲的成绩的平均分高,乙同学的成绩比甲同 学的成绩更稳定集中.（4 分） （3）甲同学的不低于 140 分的成绩有 2 个,设为ba、乙同学的不低于 140 分的成绩有 3 个,设为edc、,现从甲乙两位同学的不低于 140 分的成绩中任意选出 2 个成绩 有: edecdcebdbcbeadacaba,共 10 种,其中 2 个成绩分属 不同同学的情况有: ebdbcbeadaca,共 6 种,因此事件 A 发生的概率 5 3 10 6 AP.（4 分） 19 （1）证明见解析； （2）
15、 1 2 . （1）连接BD，设ACBDO，连接OE.（1 分） 因为四边形ABCD是菱形， 所以点O是BD的中点.（2 分） 又因为E是BS的中点，所以OE是三角形BDS的中位线， 所以/SDOE，（3 分） 又因为SD 平面ACE，OE平面ACE， 所以/SD平面ACE.（5 分） （2）因为四边形ABCD是菱形，且120ABC ， 所以 1 60 2 ABDABC. 又因为ABAD，所以三角形ABD是正三角形.（6 分） 取AB的中点F，连接SF，则DFAB.（7 分） 又平面ABS 平面ABCD， DF 平面ABCD， 平面ABS平面ABCDAB， 所以DF 平面ABS.（9 分） 在
16、等边三角形ABD中， sin2sin603DFBDABD .而ASE的面 13 sin 22 ASE SSA SEASE . 所以 1 3 E ADSD AESASE VVSDF 131 3 322 .（12 分） 20.（1） 2 4yx； （2）5,8 5 解： （1）点 A 到准线距离为：1 2 p ，到焦点距离2FA ，（2 分） 所以12 2 p ，2p ， 2 4yx（4 分） （2）将(1,)(0)Am m 代入抛物线，2m， 设直线:(1)l yk x，设 1122 ( ,),(,)P x yQ xy，联立方程： 2 4 (1) yx yk x 22 (1)4kxx 2222
17、(24)0k xkxk（6 分） 224 (24)40kk 恒成立 2 12 2 12 24 1 k xx k x x （8 分） 连接 AF，则 2121 11 2 (1)2 (1) 22 APQAFPAFQ SSSxxxx 2 APQ S 22 222 121212 42 (24)41 ()()44(2)4(2) 2 k xxxxx xk kk （10 分） 当2k 时， APQ S 有最小值为5 当 1 2 k 时， APQ S 有最大值为8 5 所以答案5,8 5 （12 分） 21.解析:（1）( )f x的导数为( )(1)2 (2) x fxa xeb x，（1 分） (0)45
18、fab ，(0)242fab ，解得1ab（4 分） （2）( )(2)(2) x f xxeb x ，易得 ( )f x有一个零点为2x （5 分） 令( )(2) x g xeb x， （）若0b，则( )0 x g xe，无零点，所以函数( )f x只有一个零点；（6 分） （）若0b，则 bexg x 0b， 则( ) 0g x所以( )g x单调递增， 而 1 1 ()1 20 b geb b ， 2 (2)0ge， 所以( )g x有一个零点，所以( )f x有两个零点；（8 分） 0b，由( )0 x g xeb，知 x eb ，ln()xb，所以( )g x在,ln()b单 调
19、递减， 在(ln(),)b单调递增；所以函数( )g x的最小值为 min ( )(ln()ln() 3g xgbbb（9 分） （）当ln()30b 即 3 0eb时， min ( )(ln()ln() 30g xgbbb，所以 ( )g x无零点，所以( )f x函数只有一个零点 （）当ln() 30b 时，即 3 eb，所以( )g x有一个零点，所以函数( )f x有两个零点 （）当ln()30b 时，即 3 eb时， min ( )0g x，所以( )g x有两个零点，所以函数 ( )f x有三个零点（11 分） 综上， 当0b或 3 0eb时， 函数( )f x只有一个零点； 当0
20、b或 3 be 时， 函数( )f x 有两个零点；当 3 be 时，函数( )f x有三个点（12 分） （利用函数图像的交点个数讨论酌情给分） 22.（1）曲线 C: 2 6 cos，将cos ,sinxy.代入得 x2+y2-6x0 即曲线 C 的直角坐标方程为(x-3)2+y29. 直线 l: 2 1 x yt ，(t 为参数)，所以 x2，故直线 l 的极坐标方程为cos25 分 （2）联立直线 l 与曲线 C 的方程得91sin1cos 22 tt 即 2 2 (cossin)70tt 设点BA、对应的参数分别为 t1，t2，则 121 2 2(cossin),7ttt t 因为
21、22 2222 12121 2 ()24(cossin)144sin21814PAPBttttt t 当sin21时取等号，所以 22 PAPB的最小值为 14.-10 分 23解：（1）当2a 时，原不等式可化为3 123xx ， 1 分 当 1 3 x 时，1 323xx，解得0x ，所以0x ； 2 分 当 1 2 3 x时，31 23xx ，解得1x ，所以12x； 3 分 当2x 时，31 23xx ，解得 3 2 x ，所以2x 4 分 综上所述，当2a 时，不等式的解集为|01x xx或 5 分 （2）不等式 1 3 xfxx可化为313xxax ， 依题意不等式313xxax 在 1 1 , 3 2 x 上恒成立，6 分 所以313xxax ，即1xa，即11axa ， 8 分 所以 1 1 3 1 1 2 a a ，解得 14 23 a， 故所求实数a的取值范围是 1 4 , 2 3 10 分
