1、人教人教A A版版 必修必修 第一册第一册1.1.4 4.2.2 充充要条件要条件复复习巩固习巩固充充分条件、必要条分条件、必要条件的件的概念概念.上节课我们主要学习了什么知识点问题思考问题思考下列“若P，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形 全等；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；（3）若一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 （4）若 是空集，则A与B均是空集。20axbxc0;ac AB命题命题(1)、（、（4）与它们的逆命题都是真命题）与它们的逆命题都是真命题问题思考问题思考（1）p:两
2、个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，q：这两个三角形 全等；（4）p:若 是空集，q:A与B均是空集。AB思思考？对于（考？对于（1 1）（）（4 4）p p和和q q的推导关系是什么？的推导关系是什么？此时我们说命此时我们说命题（题（1 1）、（）、（4 4）中，）中，p p 与与 q q互为充要条件互为充要条件.定义定义一般地一般地,如果既有如果既有p pq q ，又有，又有q qp p 就记就记作作 p p q q.此此时时,我们说我们说,p,p是是q q的充分必要条件的充分必要条件,简称简称充要条件充要条件.显然显然,如果如果p p是是q q的充要条件的充要条件,那么那么q q也
3、是也是p p的充要条件的充要条件.(p.(p等价于等价于q)q)即：如果即：如果p p q,q,那么那么p p 与与 q q互为充要条件互为充要条件.总结总结 (1)1)若若p pq,q,但但 q q p p，则称，则称p p是是q q的的 (2)2)若若p pq q，但，但q q p p，则称，则称p p是是q q的；的；(3 (3)若若p pq q，且，且q q p p，则称，则称p p是是q q的的充分不必要条件充分不必要条件；必要不充分条件必要不充分条件既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件例3 下列各题中，哪些p是q的充要条件？（1）p:四边形是正方形，q:四边形的对角线互相垂直且
4、平分；（2）P:两个三角形相似，q:两个三角形三边成比例；（3）p:xy0,q:x0,y0;(4)p:x=1是一元二次方 程 200(0).axbxcabca的一个根，q:解：（1）因为对角线互相垂直平分的四边形不一定是正方形，所以 ，所以p不是q的充要条件。（2）因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均是真命题，即 ，所以P是q的充要条件。qp pq例3 下列各题中，哪些p是q的充要条件？（3）p:xy0,q:x0,y0;(4)p:x=1是一元二次方程200(0).axbxcabca的一个根，q:解：（3）因为xy0时，x0,y0不一定成立，所
5、以 ，所以p不是q的充要条件。（4）因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即 所以P是q的充要条件。pq pq探究通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？四边形的两组对角分别相等、四边形的两组对边分别相等、四边形的一组对边平行且相等、四边形的对角线互相平分、四边形的两组对边分别平行 例例4 4：已知：已知：O O的半径为的半径为r r，圆心，圆心O O到直线到直线l l的距离为的距离为d d求证：求证：d dr r是直线是直线l l与与O O相切的充要条件相切的充要条件分析：设p:d=r,q:l与O相切.证明：如图所示证明：如图所示.（1 1）充分性（）充分性（p
6、qp q）：）：作作OPOPl l于点于点P,P,则则OP=dOP=d，若，若d=rd=r，则点，则点P P在在O O 上，在直线上，在直线l l上任上任取一点取一点Q Q(异于点异于点P P)，连接，连接OQOQ.在在RtRtOPQOPQ中，中，OQOP=rOQOP=r.所所以，除点以，除点P P外直线外直线l l上的点都在上的点都在O O 的外部，即直线的外部，即直线l l与与O O仅有仅有一个公共点一个公共点P P.所以直线所以直线l l与与O O 相切相切.P PQ Ql lO O（2）必要性（）：若直线l与 相切，不妨设切点为P，则 ，因此，d=OP=r.qpOOPl由（1）（2）可得，d=r是直线l与 相切的充要条件。O证证明充要条件时，需从两个明充要条件时，需从两个方面证明即充分性和必要性方面证明即充分性和必要性小结小结1.1.充充要条要条件件的概念的概念2.2.充充要条要条件证明件证明本节课主要学习了什么
