1、 桂林市桂林市 2020 年高考第一次联合调研考试年高考第一次联合调研考试 数学（理科）数学（理科） 一一、选择题选择题：本题共本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1.已知集合 1 ,24 x Ay yxBx，则AB（ ） A.0,2 B.1,2 C.1, D.,2 2.若复数z满足 2 1 1 i i z ，则z （ ） A.2 B.2 C.2 2 D.5 3.人体的体质指数（BMI）的计算公式：BMI 体重身高 2 （体重单位为kg，身高单位为m）.其
2、判定 标准如下表： BMI 18.5 18.5 23.9 2429.9 30以上 等级 偏瘦 正常 超标 重度超标 某小学生的身高为1.4m，在一次体检时，医生告诉她属于正常类，则她的体重可能是（ ） A.35.6 B.36.1 C.42.4 D.48.2 4.设,m n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分不必要条件是（ ） A.,mm B.,mnmn C./ / ,mn mn D./ / ,mm 5.设, x y满足约束条件 330 240 0,0 xy xy xy ，则目标函数zxy的最大值为（ ） A.8 B.7 C.6 D.5 6.九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问
3、题： “今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等， 问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得 相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？” （ “钱”是古代乙种质量单位） ， 在这个问题中，甲比戊多得_钱？ A. 2 3 B. 1 3 C. 5 6 D. 1 6 7.已知函数( )yf x的大致图象如图所示，则函数( )yf x的解析式可能为（ ） A. 1 ( )cosln 1 x f xx x B. 1 ( )cosln 1 x f xx x C. 1 ( )sin 1 x f xx ln x D. 1 ( )sinl
4、n 1 x f xx x 8.已知是锐角，向量 1 sin,1,cos 2 ab ，满足a ba b，则为（ ） A. 12 B. 3 C. 6 D. 4 9.如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为（ ） A.27 B.36 C.12 D.18 10.已知函数 2 ( )2sin13sin2f xxx ，将函数( )f x的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍， 再把所得图象向上平移 2 个单位长度，得到函数( )yg x的图象，若 12 ( ) ()16g x g x，则 12 xx的值可 能为（ ） A. 2 B. C.2 D.3 11.已知双曲线 22 12 2 :10
5、 , 8 xy CaF F a 是C的左右焦点，P是双曲线C右支上任意一点， 若 2 1 2 PF PF 的 最小值为 8，则双曲线C的离心率为（ ） A.3 B.3 C.2 D.2 12.已知函数 1 ( )ln1 , 2 x f xexx ， 若存在2,1a ， 使得 2 1 223faae m 成立， 则实数m的取值范围为（ ） A. 2 ,1 3 B.1, C. 2 , 3 D. 3 1, 2 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13.二项式 6 a x x 展开式中的常数项为 240，则实数a的值为_. 14.已知等比数
6、列 n a中， 2 134 3,aaa，则 5 a _. 15.已知 1 F为椭圆 2 2 :1 4 x Cy的左焦点，过点 1 F的直线l交椭圆C于,A B两点，若 11 3BFFA，则直线 l的斜率为_. 16.已知函数 2 ( )65f xxx ，若函数( )( )g xf xkx有 4 个零点，则实数k的取值范围为 _. 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 17-21 题为必考题，每个题为必考题，每个 试题考生都必须作答试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，
7、考生根据要求作答. （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17.在锐角ABC中，内角A BC、 、所对的边分别为abc、 、，已知22coscoscbAaBc （1）求证：2bc； （2）若 15 sin,2 4 Aa，求ABC的面积. 18.在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为 1000 元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机 性，且互不影响，其具体情况如下表： 作物产量（kg） 400 500 概率 0.6 0.4 作物市场价格（元/kg） 5 6 概率 0.5 0.5 （1）设X表示在这块地上种植 1 季此作物的利润，求X的分布列（利润产量市场价格成本） ； （2）若
8、在这块地上连续 3 季种植此作物，求这 3 季中的利润都在区间1200,1600的概率. 19.如图，在长方体 1111 ABCDABC D中， 1 2,1AAABBC，E为 1 BB的中点，F为 1 AC的中点. （1）求证：/ /EF平面ABCD； （2）求平面 11 AB D与平面 1 AEC所成二面角的正弦值. 20.已知函数( )ln,f xxaxb a bR. （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）是否存在实数ab、，且 3 2 b ，使得函数( )f x在区间1,e的值域为2,e？若存在，求出ab、的 值；若不存在，请说明理由. 21.已知抛物线 2 :20C ypx p，
9、抛物线C与圆 2 2 :14Dxy的相交弦长为 4. （1）求抛物线C的标准方程； （2）点F为抛物线C的焦点，A B、为抛物线C上两点，90AFB，若AFB的面积为 25 36 ，且直线 AB的斜率存在，求直线AB的方程. （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所作的第一题计分如果多做，则按所作的第一题计分. 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 42 xt yt （t为参数）.以坐标原点为极点，以x轴的正半轴 为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2
10、2 2 1cos . （1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； （2）设点P在直线l上，点Q在曲线C上，求PQ的最小值. 23. 选修 4-5：不等式选讲 设, ,a b cR，且3abc （1）求证： 22 2 113abc； （2）若1t ，求证： 222 123abtct. 2020 年高考桂林市第一次联合调研考试年高考桂林市第一次联合调研考试 数学（理科）数学（理科） 参考答案、提示及评分细则参考答案、提示及评分细则 1. B1 ,2 ,1,2Ay yBx xAB 2. A 2 12 12 1 1111 iiii zi iiii ，2z 3. C 由题知，此学生题中的正常值在3
11、6.2646.844之间. 4. D 5. D 作图可知当2,3xy时z取最大值，即5ab 6. A 设甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数分别为 12345 ,a a a a a，公差为d，则 12345 5 2 aaaaa， 即 1 1 5 2 2 5 39 2 ad ad ，解得 1 4 3 1 6 a d ， 15 2 4 3 aad 7. C 由图象知，函数( )f x为偶函数，排除 A,B，又12x时，( )0f x ，排除 D，故选 C 8. D 由a ba b可得/ab，则 1 sincos 2 ，即sin21，又是锐角， 4 9. B 由三视图知，该几何体是一个圆台，圆台的上底面半
12、径为 1，下底面半径为7，圆台的高为3 2， 设圆台的外接球半径为R，则 22 173 2RR ，解得3R ，外接球的体积为 3 4 36 3 R . 10. C 2 ( )2sin13sin23sin2cos22sin 2 2 f xxxxxx ，经过平移后得到函数 ( )2sin2 6 g xx ，则( )g x的值域为0,4，又 12 16g x g x， 1212 max 4,2 ,*g xg xg xxxnT TnN 11. B 由双曲线的定义知 12 2PFPFa 2 2 22 2 1 22 2222 2 44 4248 PFaPF aa PFaPFaa PFPFPFPF ，当且仅
13、当 2 2PFa时取等号 22 88,1,3,3aacabe 12. A 1 ( )ln1 x fxex x 令 1 ( )ln1g xx x ，则 22 111 ( ) x g x xxx ，故当 1 1 2 x时， ( )0g x ，( )g x单调递增，当1x 时，( )0, ( )g xg x单调递增，( )(1)0g xg从而当 1 , 2 x 时，( )0fx ，( )f x在区间 1 , 2 上单调递增. 设 2 2 2314h aaaeae ，则 h a在2,1上单调递减，在1,1上单调递增， max ( )1h ahe，存在2,1a ，使得 2 1 223faae m 成立，
14、等价于 1 21fef m 1 21 11 2 2 m m ，解得 2 1 3 m 13.2 3 6 6 2 166 r r r rrr r a TC xCax x ，由 3 60 2 r得 4 4 6 4,240rCa，解得2a . 14. 1 27 由 2243 31411 ,3aa qaa q a，得 4 51 11 , 327 qaa q 15.2 设 1122 ,A x y B x y，由 1 3,0F 知 122 3,BFxy ， 111 3,F Axy，则 2121 333 3,3xxyy 2121 4 33 ,3xx yy，又 22 22 21 21 1,1 44 xx yy
15、1 111 1 102 126 31, 3 33 33 e y xyxyk x 16. 0,62 5 17.解： （1）证明：由正弦定理有2sin2cossincossinCsiBAABC 得2sincos2sincossincossinCABAABC，有2sincossincossinsinCABACC 得2sincossincos0CABA，由cos0A，可得sin2sinBC，由正弦定理得2bc （2）由题意有 151 cos1 164 A 由余弦定理有 22 1 24 4 bcbc，得 22 1 4 2 bcbc，代入2bc，解得：1,2cb 故ABC的面积为 11515 2 244
16、18.解： （1）设A表示事件“作物产量为400kg” ，表示事件“作物市场价格为 5 元/kg” ， 由题设知 0.6,0.5P AP B.（注：基本事件叙述各 1 分） 利润产量市场价格成本 X所有可能的取值为 400 5 10001000,400 6 10001400 500 5 10001500,500 6 10002000 10000.5 0.60.3P XP A P B 14001 0.50.60.3P XP A P B 15000.5 0.40.2P XP A P B 20000.4 0.50.2P XP A P B X的分布列为 X 1000 1400 1500 2000 P
17、0.3 0.3 0.2 0.2 （2）每一季利润在区间1200,1600的概率为0.3 0.20.5 故 3 季中的利润都在区间1200,1600的概率为 3 1 0.5 8 19.解： （1）证明：如图，连ACBD、相交于点O，连OF 11 / /,2,/ /,FOBBFOBBFOBE FOBE 四边形BEFO为平行四边形，可得/EFOB OB平面ABCD，EF 平面ABCD，/ /EF平面ABCD （2）如图，以点D为坐标原点，向量 1 ,DA DC DD方向分别为xyz、 、轴建立如图所示空间直角坐标系. 各点坐标分别为0,0,01,0,00,1,01,1,1DACE、， 1111 1,
18、0,2 ,1,1,2 ,0,1,20,0,2ABCD、 设平面 1 AEC的法向量为 1 , ,1,1,2 ,0,1,1mx y zACAE 有 11 1 0 20 m D Bab n ADac ，取1,1,1xyz ，有1,1, 1m 设平面 11 AB D的法向量为 111 , ,1,1,0 ,1,0,2na b cDBAD 有 11 1 0 20 n D Bab n ADac ，取2,2,1abc ，有2, 2,1n 有 55 5,3,3,cos 3 33 3 m nmnm n 故平面 11 AB D与平面 1 AEC所成二面角的正弦值为 256 1 279 20.解： （1）函数( )
19、f x的定义域为0, ( )1 axa fx xx 当0a时，( )0fx ，函数( )f x的增区间为0, 当0a时，令( )0fx 可得xa，故函数( )f x的增区间为, a ，减区间为0,a （2）当0a时， (1)12 ( ) fb f eeabe 得1,1ab舍去； 当01a时， (1)12 ( ) fb f eeabe 得1,1ab符合题意； 当1ae时，由 35 (1)11 22 fbe ，不合题意； 必有 ( )ln2 ( ) f aaaab f eeabe ，可得 2ln2 2 aaa b 令( )2ln2 1,( )1 ln0g xxxxxeg xx ，故函数( )g x
20、单调递增 又由(1)0g，故当1ae时，2ln2aaa，不存在这样的a 当ae时， (1)1 ( )2 fbe f eeab ，得23,1aebe舍去； 由上知满足条件的ab、值为1,1ab 21.解： （1）由圆及抛物线的对称性可知，点,2a既在抛物线C上也在圆D上， 有： 2 24 144 pa a ，解得1,2ap 故抛物线C的标准方程的 2 4yx （2）设直线AB的方程为0ykxb k，点A B、的坐标分别为 1122 ,x yx y. 联立方程 2 4yx ykxb ，消去y后整理为 222 240k xkbxb，可得 12 2 42kb xx k 2 12 2 b x x k 联
21、立方程 2 4yx ykxb ，消去x后整理为 2 440kyyb，可得 12 4b y y k 16 160kb，得1kb 由90AFB有， 1122 1,1,FA xyFBxy， 1212121212 111FA FBxxy yx xxxy y 2 22 424 10 bkbb kkk ，可得 22 64bkbk AFB的面积为 121212 111 111 222 AFBFxxx xxx 2222 2 22222 22222 26 142242 1 222 bkbkbkbk bkbbkbkbkbkbk kkkkkk 可得 5 6 bk k ，有6kb或 11 6 k b 联立方程 22
22、64 6 bkbk kb 解得 12 2 k b 或 12 2 k b ，又由24 1kb，故此时直线AB的方程为 122yx或122yx 联立方程 22 64 11 6 bkbk k b ，解方程组知方程组无解. 故直线AB的方程为122yx或122yx 22.解： （1）直线l的普通方程为42yx 曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为 2 2 1 2 y x （2）曲线的参数方程为 cos 2sin x y 设点Q的坐标为 cos, 2sin 2cos2sin4 4 530 55 PQ 故PQ的最小值为 4 530 5 23.证明： （1）由 2 222 2 9111121211abcabcabca bbc 22222222 2222 21111111311a cabcabbcacabc （当且仅当时1,0,2abc取等号） 故有 2 2 113abc （2） 2 22222 21121221tabctabtctabtctabt 22212b tctact 222222222 121212abtctabtbtctact 222 312abtct 由1t ，有 2 29t 故当1t 时， 222 123abtct.
