1、第一章第一章 统计案例统计案例 2.1等式的性质与不等式性质高一数学必修第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式学习目标1.理解不等式的含义，会用不等式（组）来描述不等关系；2.会用作差法比较两个代数式大小的理论依据及步骤；3.掌握等式的性质和不等式的性质以及性质的简单应用.4.核心素养：数学抽象、数学运算.现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系，例如多与少、大与小、长与短、不超过或不少于，类似这样的问题，反映在数量关系上，就是相等不相等.(1).今天的天气预报说：明天早晨最低温度为11,明天白天的最高温度为18；(2).三角形ABC的两边之和大于第三边;(3).a是一个
2、非负实数11t18AB+ACBC或a0 1.问题:你能用不等式或不等式组表示下列问题 中的不等关系吗？一、新课引入(4).右图是限速40km/h的路标,指示司机在 前方路段行驶时,应使汽车的速度v不超 过40km/h,写成不等式是:_40(5).某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%,用不等式可以表示为：0CDB BC CE EA AD D 以上我们根据实际问题所蕴含的 不等关系抽象出不等式，就 可以用不等式研究相应问题了.用不等式表示下面的不等关系:(1).a与b的和是非负数；(2).某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”想一想,你
3、还能举出哪些相似的例子?a+b00h42.试一试:3.用不等式来解决生活中的不等关系问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本据市场调查，若单价每提高0.1元销售量就可能相应减少2000本.若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？分析：若杂志的定价为x元，则销售量减少：万本，?2.01.05.2x因此,销售总收入为：?xx)2.01.05.28(用不等式表示为:20)2.01.05.28(xx 如何解这个不等式呢?在数轴上，如果表示实数a和b的两个点分别为A和B，则点A和点B在数轴上的位置关系有以下三种:(1)点A和点B重合；(2)点A在点
4、B的右侧；(3)点A在点B的左侧 A(B)a(b)AABBaabb二、探究新知a=b在这三种位置关系中,有且仅有一种成立.ab1.两个实数比较大小如果ab是正数,则ab；如果ab,则ab 为正数;如果ab是负数,则ab；如果a6.探究图中的数量关系：问：那么它们有相等的情况吗？7.图案的变换：ADBCEFGHba22ab重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b 时，等号成立.222ababABCDE(FGH)ab8.重要不等式：你能给出不等式 的证明吗？证明:（作差法）9.证明重要不等式：222abab222abab2()ab2,()0;abab当时2,()0;abab当时
5、2()0ab所以222.abab所以结论：一般地，对于任意实数a、b，总有 当且仅当 a=b 时，等号成立文字叙述为:两数的平方和不小于它们积的2倍.适用范围：a,bR10.重要不等式：222ababNoImage 性质1表明，把不等式的左边和右边交换位置，所得不等式与原不等式异向，我们把这种性质称为不等式的对称性 (1)性质1 如果ab，那么ba；如果bb.11.不等式性质：abbacacbba，(传递性)这个性质也可以表示为cb，ba，则cb，bc，那么ac.11.不等式性质：性质3表明，不等式的两边都加上同一个实数，所得的不等式与原不等式同向.a+bc a+b+(b)c+(b)acb.结
6、论：不等式中的任何一项都可以改变符号 后移到不等式另一边(移项法则).(3)性质3：如果ab，则a+cb+c.11.不等式性质：(4).性质4：如果ab，c0，则acbc；如果ab，c0，则acb，cd，则a+cb+d.几个同向不等式的两边分别相加，所得的不等式与原不等式同向.11.不等式性质：(6).性质6：如果ab0，cd0，则acbd.几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得的不等式与原不等式同向.11.不等式性质：(7).性质7:性质7说明,当不等式两边都是正数时,不等式两边同时乘方所得的不等式和原不等式同向.0,(,2)nnanN nbab如果那么(8).性质8:0,(,2)
7、nnanN nbab如果那么性质8说明,当不等式的两边都是正数时,不等式两边同时开方所得不等式与原不等式同向.以上这些关于不等式的事实和性质是解决不等式问题的基本依据11.不等式性质：已知 a b 0,c b 0,于是,11abbaba即.11ab由 c 0,ab10.能否用作差法证明?12.例2.ccab(2)若3ab1，2c1，求(ab)c2的取值范围.因为4ab0，1c24，所以16(ab)c20(1)如果30 x36，2y6，求x2y及 的 取值范围.xy18x2ya0)，再添加m克糖(m0)(假设全部溶解)，糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并注明这个不等式.;:amabmb
8、式解 不等为();():amaba mbmbb bm证明0,0;bam0,0;babm()0;()ba mb bmamabmb(1).如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了.15.变式:(2).把原来的糖水(淡)与加糖后糖水(浓)混合在一起,得到的糖水一定比淡的浓，比浓的淡.;aabmb;aaambnbbm用不等式表示不等关系是一种数学建模，准确理解题意，设定字母表示相关数量，是正确建模的关键.对具有多个不等关系的实际问题，要用不等式组来表示.两个实数的差的符号能反映这两个实数的大小关系,这是确定两个实数大小关系的基本原理，同时也是发掘不等式性质的理论依据.用“作差法”比较两个实数的大小，一般分三步进行：作差变形判断符号.其中变形的目的在于判断差式的符号,常用的变形技巧有因式分解、配方等.三、课堂小结1.2.3.作业:课本P31 习题2.1 5、7、10题
