1、 2.2 2.2 基本不等式性质基本不等式性质 当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。222ababABCDE(FGH)abab22ba ADCBHFGE适用范围：适用范围：a,bR有一般地，,重要不等式：Rba复习引入（重要不等式）（重要不等式）讨论：a,b 取值范围可以得到什么？分别代替上式中我们用若bababa,0,0时，等号成立当且仅当即babaababbababa222)()(220,0ba定理：如果ba，是正数，那么abba2（当且仅当ba 时取“=”）算术平算术平均数均数几何平几何平均数均数基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数基本不等式2 ab2
2、 abba利用不等式性推导出基本不等式只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式探究“基本不等式”的几何意义CADEBab如图，如图，AB是圆的直径，点是圆的直径，点C是是AB上一点，上一点，AC=a，BC=b.过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE，连接连接AD、BD.你能用这个图得出基本不等你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗式的几何解释吗?CBACCDCBCDDCACDCBACD2与容易证得：abCD BCADEabO2abab2baODOD为半径，abCD abbaCDOD2即CDODOCba重合即与圆心时，点当且仅当)0,0(时等号
3、成立当且仅当baba定理：如果ba，是正数，那么abba2（当且仅当ba 时取“=”）基本不等式有两个常用的变形22;2baababba241,2P2,1,2SxyyxSyxyxyxPxyyx有最大值积时那么等于定值）如果（有最小值时，和那么等于定值）如果（都是正数，求证、已知例P22P2,)1(2,有最小值时，时，等号成立。当当且仅当所以等于定值若都是正数，所以证明是：yxyxyxPyxyxPxyxyyxyx241,2P2,1,2SxyyxSyxyxyxPxyyx有最大值积时那么等于定值）如果（有最小值时，和那么等于定值）如果（都是正数，求证、已知例2224141,2,)2(2,Sxyyxy
4、xSxyyxxySyxxyyxyx有最大值时，时，等号成立。当当且仅当所以等于定值若都是正数，所以证明：因为小结：小结：求最值时注意把握求最值时注意把握“一正，二定，三相等一正，二定，三相等”已知已知 x，y 都是正数，都是正数，P，S 是常数是常数.(1)xy=P x+y2 P(当且仅当当且仅当 x=y 时，取时，取“=”号号).(2)x+y=S xy S2(当且仅当当且仅当 x=y 时，取时，取“=”号号).14 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值基本不等式求最值，基本不等式求最值，要注意：要注意：一正二定三相等一正二定三相等解：因为x，所以2121xxxx 当且仅当x ，即x，x时
5、，等号成立，此时所求的最小值 2x1的最小值求、已知例xxx1,0100001,0),1(1yxxxxxyxx都有使的最小值，就是要求分析：求的最小值吗？（是成立吗？这时能说是的一个取值，思考：当是这说明)011,2)0(12000 xxxyyxxyxxx分析：需要考虑x0解：因为x0.凑配法的最值求）：已知（改编11,12xxx22,1baabRba求证、已知222baababba证明：xyyxxyxyyxyxyx2)2(;2)1,2求证：（都是正数，且、已经2 22)1(xyyxxyyxyxxyyxxyyxxyyx，时等号成立；当且仅当证明：xyyxxyyxxyxyyxyxyx2,122,
6、2(是正数且）证明：什么？取得最小值？最小值是取什么值，、当2213xxx21,122有最小值为时当xxx的最大值求、已知2-1,11-4xx 1)211()1)(1(-122xxxxx解：少？边的和最小？最小值多各为多少时，两条直角当两条直角边的长度积等于、已知直角三角形的面,5052cm等号成立当且仅当则由已知度各为解：设两条直角边的长10202100,5021,yxxyyxxyxyyx例例1（1）用篱笆围成一个面积为）用篱笆围成一个面积为100m2的矩形的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？篱笆最短。最短的篱笆是
7、多少？（2）段长为段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少园的面积最大，最大面积是多少?例题讲解例2、某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？解：设水池底面一边的长度为 ，则另一边的长度为 ，又设水池总造价为 元，根据题意，得lxmmx34800例题讲解.29760040272024000016002720240000)16
8、00(720240000)348003232(12034800150 xxxxxxl.297600401600有最小值时，即当lxxx 因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元。练习:1.已知函数已知函数 求函数的最小值求函数的最小值 )1(131)(xxxxf当x=3是函数有最小值62 2配凑系数配凑系数分析分析:x+(1-2x)不是不是 常数常数.2=1为为 解解:0 x0.12y=x(1-2x)=2x(1-2x)12 22x+(1-2x)21218=.当且仅当当且仅当 时，取时，取“=”号号.2x=(1-2x)，即即 x=14当当 x=时时，函数函数 y=x(1-2x)的最大值是的最大值是 .14181.若若 0 x0，y0，xy=24，求，求4x+6y的最小值，的最小值，并说明此时并说明此时x，y的值的值3 已知已知x0，y0，且，且x+2y=1求求的最小值的最小值.yxu11当x=6，y=4时，最小值为4832 2针对练习
