1、3.1.1 函数的概念（1）在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具.例如，正方形的周长l与边长x的对应关系是l=4x，而且对于每一个确定的x都有唯一的l与之对应，所以l是x的函数.这个函数与正比例函数y=4x相同吗？又如，你能用已有的函数知识判断 是否相同吗？要解决这些问题，就需要进一步学习函数概念.xxyxy2 与问题1 某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时.这段时间内，列车行进的路程 S（单位：km）与运行时间 t（单位：h）的关系可以表示为S=350t.这里，t 和 S 是两个变量是两个变量，而且对于 t 的每一个确定的值，
2、S都有唯一确定的值与之对应，所以 S 是 t 的函数.思考 有人说：“根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进了350km”，你认为这个说法正确吗？根据问题1的条件，我们不能判断列车以350km/h运行半小时后的情况，所以，上述说法不正确，显然其原因是没有关注到t的变化范围.下面用更精确的语言表示问题1中 S 与 t 的对应关系.列车行进的路程 S 与运行时间 t 的对应关系是S=350t.其中，t的变化范围是数集 S的变化范围是数集 对于数集 中的任一时刻t，按照对应关系，在数集 中都有唯一确定的路程S和它对应.，5.00|1ttA，1750|1SSB1A1B
3、问题2 某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w(单位：元)是他工作天数d的函数吗？显然，工资w是一周工作天数d的函数，其对应关系是w=350 d.其中，d的变化范围是数集 w的变化范围是数集 ，6543212A.21001750140010507003502，B对于数集 中的任一个工作天数d，按照对应关系，在数集 中都有唯一确定的工资w与它对应.2A2B问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？问题3 图3.1-1是北京市201
4、6年11月23日的空气质量指数（简称AQI）变化图，如何根据该图确定这一天内任一时刻 t h 的空气质量指数（AQI）的指数 I？的你认为这里的 I是 t的函数吗？从图3.1-1中的曲线可知，t 的变化范围是数集 AQI 的值 I 都在数集 中.对于数集 中的任一时刻t，按照图3.1-1中曲线所给定的对应关系，在数集 中唯一确定的 AQI 的值 I 与之对应，因此，这里的 I 是 t 的函数.，240|3ttA1500|3IIB3A3B你能根据图3.1-1找到中午12时的 AQI 的值吗？问题4 国际上常用恩格尔系数 反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.表3.1-1是
5、我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高.你认为按表3.1-1给出的对应关系，恩格尔系数 r 是年份 y 的函数吗？如果是，你会用怎样的语言来刻画这个函数？%)100(总支出金额食物支出金额rr 这里，y的取值范围是数集 根据恩格尔系数的定义可知，r的取值范围是数集 对于数集 中的任意一个年份y，根据表3.1-1所给定的对应关系，在数集 中都有唯一确定的恩格尔系数r与之对应.所以r是y的函数.;2015,2014,2013,2012,2011,2010,2009,2008,2007,20064A.10|4rrB4A4B归纳 上述问题1问题4中的函数有哪些
6、共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？上述问题的共同特征有：（1）都包含两个非空数集，用A，B来表示；（2）都有一个对应关系；（3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应.事实上，除解析式、图像、表格外，还有其他表示对应关系的方法，为了表示方便，我们引进符号f统一表示对应关系函数的概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数 x，按照某种确定的对应关系 f 在集合 b 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 为从集合A到集合B的一个函数，记作其中，x 叫自变量，x 的取值范
7、围A叫做函数的定义域，与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域.BAf:.),(Axxfy|)(Axxf显然，值域是集合B的子集.18世纪，德国数学家莱布尼茨第一次将“function”一词作为专门的数学术语；19世纪，李善兰首次将function翻译成函数.函数概念的三要素：定义域、对应关系、值域注意方向性，如果改变这个对应方向，那么新的对应关系，就不一定是函数关系了即集合B中的元素可能不属于值域，集合A与集合B对应时可以一对一，多对一，但是不能一对多，即A中元素无剩余，B中元素允许有剩余.1B2B3B在问题1与问题2中，值域就是 和 ；在问题3中，值域是数集 的
8、真子集；在问题4中，值域 是数集 的真子集.，2857.02935.02989.03387.03353.03515.03569.03817.03681.03669.04C10|4rrB思考：f(x)和f(a)的区别与联系f(a)表示当x=a时，函数f(x)的值，是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，表示的是变量.注：函数的值域由函数的定义域和对应关系决定.从函数定义来说，值域是所有函数值的集合；从图形上来说，值域是函数图象上所有点的纵坐标的集合，也就是函数图象在纵轴上的投影，求函数值域的基本方法是根据定义域和对应关系进行推理，求出函数值的取值范围.常见函数的值域如下：我们所熟悉的一次函数 的
9、定义域是R，值域也是R，对应关系 f 把R中的任意一个数 x，对应到R中唯一确定的数二次函数 的定义域是R，值域是B.对应关系 f 把R中的任意一个数 x，对应到B中唯一确定的数)0(abaxy).0(abax)0(2acbxaxy当a0时，B=.44|2abacyy当a0时，B=.44|2abacyy).0(2acbxax思考反比例函数 的定义域、对应关系和值域各是什么？请用函数定义描述这个函数.）（0kxky 反比例函数 的定义域为 对应关系f为“自变量的倒数的k倍”，值域为 ）（0kxky,0|xx.0|yy 反比例函数用函数定义叙述为：对于非空数集 中的任意一个数 x,按照对应关系f，
10、即“x的倒数的 ”，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，此时 就是集合A到集合B的一个函数，记作0|xxA倍)0(kk0|yyBxkBAf:.,0)(Axkxkxf）（例1 函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律.例如，正比例函数 可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等.)0(kkxy试构建一个问题情景，使其中的变量关系可以用解析式 来描述.)10(xxy 解：把 看成二次函数，那么它的定义域是R，值域是B，对应关系f把R中的任意一个数 x，对应到B中
11、唯一确定的数)10(xxy).10(xx 如果对x的取值范围作出限制，例如 那么可以构建如下情景：,100|xxx长方形的周长为20，设一边长为x，面积为y，那么)10(xxy 其中，x的取值范围是 y的取值范围是 对应关系 f把每一个长方形的边长 x 对应到唯一确定的面积,100|xxA,250|yyB).10(xx构建其他可用解析式 描述其中变量关系的问题情景.)10(xxy探究解：以10m/s的速度匀速行驶的汽车，刹车后做匀减速直线运动，其加速度大小为 ，若汽车刹车后 x s内的位移为y m，则2/2sm).10(xxy 其中，x 的取值范围是 y 的取值范围是 对应关系 f 把刹车后用
12、的时间 x，对应到唯一确定的刹车后汽车的位移,50|xxA,2510|yyB).10(xx练习1.一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击落目标.炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度 h（单位：m）与时间 t（单位：s）的关系为 求所表示的函数的定义域与值域，并用函数的定义描述这个函数.51302tth解：.260051302tttt或，可得由根据实际问题的意义知，定义域为 值域为 ，260|tt，8450|hh问题中，对 中每一个确定的值，都有唯一确定的h的值与之对应.260|ttt练习2.2016年11月2日8时至次日8时（次日的时间前加0表示）北京的温度走势如图所示.（1）求对应关系为图
13、中曲线的函数的定义域与值域；（2）根据图象，求这一天12时所对应的温度.解：（1），时日时日定义域：088|8382|ttttt.122|CTCTToo值域：（2）12时对应的温度应为.328Co练习3.集合A，B与对应关系f如右图所示：是否为从集合A到集合B的函数？如果是，那么定义域，值域与对应关系各是什么？BAf:BAf:解：是集合A到集合B的函数.定义域是A=1，2，3，4，5，值域对应关系 f 列表如下:x12345f(x)22354练习4.构建一个问题情景，使其中的变量关系能用解析式 来描述.解：一个正方形的面积不超过100，设其面积为x，边长为y，那么y是x的函数，则其中，x的取值范围是 y的取值范围是对应关系 f 把每一个正方形的面积x对应到唯一确定的边长,1000|xxA,100|yyBxy xy.x小结作业预习课本64页、65页、66页内容.
