1、2022年11月2日星期三1人教A版（2019）必修第一册学习目标：学习目标：1、理解函数单调性的概念2、会利用函数图象理解和研究函数的单调性3、掌握函数单调性的证明方法自学指导：自学指导：阅读课本阅读课本P P76-7976-79思考下列问题思考下列问题1、单调性的概念2、判断及证明函数的单调性T()引入：气温T是关于时间t的函数曲线图4812162024to-2248610思考:气温发生了怎样的变化？在哪段时间气温升高，在哪段气温降低？xyo-1-1xOy1 11 12 24 4-1-1-2-2(1)()1f xx 1 12(2)()f xx 1.从左至右图象从左至右图象 2.在区间在区间
2、(-,+)上，随上，随着着x的增大，的增大，f(x)的值随的值随着着 2.(0,+)上上从左至右图象从左至右图象上升上升，当当x x增大增大时时f(x)f(x)随着随着增大增大 1 1上升上升增大增大下降下降 1.(-,0上上从左至右图象从左至右图象 当当x x增大增大时时f(x)f(x)随着随着 减小减小思考：画出下列函数的图象，根据图象思考当思考：画出下列函数的图象，根据图象思考当自变量自变量x的值增大时的值增大时,函数值函数值 是如何变化的？是如何变化的？()f x新课探究新课探究,xx21在给定区间上任取21xx)f(x)f(x21 函数函数f(x)在给定区间在给定区间上为增函数。上为
3、增函数。Oxyf(x)y如何用x与 f(x)来描述上升的图像？)f(x11x如何用x与 f(x)来描述下降的图像？,xx21在给定区间上任取21xx 函数函数f(x)在给定区间在给定区间上为减函数。上为减函数。)f(x)f(x21)f(x1)f(x2f(x)yOxy1x2x)f(x22x一、函数单调性定义 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数增函数 1增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当
4、x1f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数减函数 2减函数 如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.二、函数单调区间定义（1 1）函数单调性是针对某个）函数单调性是针对某个区间区间而言的，是一个而言的，是一个局部性质局部性质;判断判断1 1：函数函数 f(x)=x2 在在 是单调增函数；是单调增函数；,xyo2yx（2 2）x x 1 1,x,x 2 2 取值的取值的任意任意性性判断判断2 2：定义在：定义在R上的函数上的函数 f(x)满足满足 f(2)(2)f(1)(1)，则，则函
5、数函数 f(x)在在R上是增函数；上是增函数；yxO12f(1)f(2)解解:函数函数y=f(x)的单调区间有的单调区间有5,2）,2,1)，1，3),3，5.例例1 1.如图是定义在闭区间如图是定义在闭区间 5 5,55上的函数上的函数 y=f(x)的图象的图象,根据图象说出函数的单调区间根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上以及在每一单调区间上,函数是增函数还是减函数是增函数还是减函数？函数？其中其中y=f(x)在区间在区间2，1)，3，5上是增函数；上是增函数；说明说明:1.1.区间端点处若有定义写开写闭均可区间端点处若有定义写开写闭均可.2.2.图象法判断函数的单调性：从左向
6、右看图象的升降情况图象法判断函数的单调性：从左向右看图象的升降情况 在区间在区间5，2），），1，3)上是减函数上是减函数.()yf x-432154312-1-2-1-5-3-2xyO 练一练练一练 根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数区间上，函数是增函数还是减函数.()yf x2544xyO-1321解解:函数函数y=f(x)的单调区间有的单调区间有1,0）,0,2)，2，4),4，5.其中其中y=f(x)在区间在区间0，2)，4，5上是增函数上是增函数；在区间在区间1，0），），2，4)上是减函数上是减函数.2
7、2)(xxf例2：证明：函数 在R上是单调减函数证：在R上任意取两个值 ，且 ，21,xx21xx 21xx,021 xx0)(221xx,0)()(21xfxf).()(21xfxf 即 22)(xxf在R上是单调减函数取值作差变形定号判断)22()22()()(2121xxxfxf)(221xx 则用定义证明函数单调性的四步骤用定义证明函数单调性的四步骤：（1）设量）设量:在所给区间上任意设两个实在所给区间上任意设两个实 数数 1212,.x xxx且（2）作差）作差（3）变形）变形 作差作差 ：常通过：常通过“因式分解因式分解”、“通分通分”、“配方配方”等等 手段将差式变形为因式乘积或
8、平方和形式手段将差式变形为因式乘积或平方和形式 )()(21xfxf 判断判断 的符号的符号12()()f xf x（4）结论）结论:并作出单调性的结论并作出单调性的结论 ）上是增函数。，在（变式训练：证明：函数11xxy证明：在区间证明：在区间 上任取两个值上任取两个值 且且 1,12,x x12xx则则12121211()()()()f xf xxxxx121211()()xxxx211212()()xxxxxx1212121()()xxxxxx12,1,x x，且，且12xx12120,10 xxx x 1212()()0,()()f xf xf xf x所以函数所以函数 在区间上在区间
9、上 是增函数是增函数.1yxx1,回回设量设量判断差符号判断差符号作差变形作差变形下结论下结论课堂小结课堂小结1 1.两个定义：增函数、减函数的定义两个定义：增函数、减函数的定义；(定义法定义法)证明函数单调性，步骤证明函数单调性，步骤:图象法判断函数的单调性图象法判断函数的单调性：增增函数的图象从左到右函数的图象从左到右减减函数的图象函数的图象从左到右从左到右上升上升下降下降3.一个数学思想：数形结合一个数学思想：数形结合2：两种方法：两种方法如何确定函数如何确定函数的单调区间？的单调区间？4(),f xxx 1,5x选做题：选做题：作业作业:（必做）（必做）课本课本8585、8686页页复习复习巩固巩固第第1 1、3 3题题 布置作业布置作业
