1、学习目标学习目标素素 养养 目目 标标学学 科科 素素 养养1、结合具体函数，了解函数奇偶性的含义(难点).2、掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系(重点).3、会利用函数的奇偶性解决简单问题(重点).1、数学抽象2、数学运算3、直观想象 问题问题1：剪纸是中国的传统民间艺术，图案漂亮却很复剪纸是中国的传统民间艺术，图案漂亮却很复杂，怎样剪省时省力？杂，怎样剪省时省力？轴对称和中心对称轴对称和中心对称 情景引入情景引入 问题问题2：哪些函数图像也具有类似的对称性？哪些函数图像也具有类似的对称性？f(x)=x2，f(x)=x 情景引入情景引入 f(x)=x3+x 的图像
2、具有对称性吗？的图像具有对称性吗？问题问题3：如何研究函数的对称性如何研究函数的对称性?上一节我们用符号语言精确地描述了函数图象上一节我们用符号语言精确地描述了函数图象在定义域的某个区间上在定义域的某个区间上“上升上升”(或或“下降下降”)的性质，的性质，即即单调性单调性.图形特征图形特征上升（或下降）上升（或下降）数量特征数量特征函数值随自变量的增大而增大（或减小）函数值随自变量的增大而增大（或减小）符号语言符号语言 类类 比比 探究：探究：观察函数观察函数f(x)=x2和和g(x)=2-|x|的图象，你能发现的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？这两个函数图象有什么共同特征吗？问
3、题：问题：能否用数量特征（自变量和函数值的关系）更准能否用数量特征（自变量和函数值的关系）更准确地刻画函数图象的这个特征呢？确地刻画函数图象的这个特征呢？x-3-2-10123f(x)=xg(x)=2-|x|x-3-2-10123f(x)=x9410149g(x)=2-|x|-101210-1问题：问题：不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况，发现有何数量特征？的情况，发现有何数量特征？可以发现，可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等两个函数值相等.对于函数对于函数f(x)=x，有，有对于函数对于函数
4、g(x)=2-|x|，有，有x-3-2-10123f(x)=x9410149g(x)=2-|x|-101210-1问题：问题：表格中列出的点具有上述性质，那么未列出的表格中列出的点具有上述性质，那么未列出的点是否也具有相同的性质呢？如点是否也具有相同的性质呢？如f(-1.7)=f(1.7)吗？该吗？该性质是否具有一般性？性质是否具有一般性？几何证明（图象）：几何证明（图象）：f(-x)=f(x).动画演示动画演示代数证明（解析式）：代数证明（解析式）：f(-x)=f(x).你能用符号语言来概括偶函数的定义吗？你能用符号语言来概括偶函数的定义吗？例如，函数例如，函数 ，都，都是偶函数，它们的图象
5、分别如图所示：是偶函数，它们的图象分别如图所示：+222111，f xxg xx偶函数的定义偶函数的定义图象特征：偶函数的图象关于图象特征：偶函数的图象关于y轴轴对称对称.自主探究：自主探究：观察函数观察函数f(x)=x和函数和函数 的图象，你能的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？你能用符号语发现这两个函数图象有什么共同特征吗？你能用符号语言精确地描述这一特征吗？言精确地描述这一特征吗？g x1x 可以发现，可以发现，两个函数的图象都关于原点成中心对称图形两个函数的图象都关于原点成中心对称图形.不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的
6、情况.可以发现，可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值也互为相反数两个函数值也互为相反数.几何证明（图象）：几何证明（图象）：f(-x)=-f(x).代数证明（解析式）：代数证明（解析式）：你能用符号语言来概括奇函数的定义吗？你能用符号语言来概括奇函数的定义吗？奇函数如果在奇函数如果在x=0处有定义处有定义,则图象必过原点则图象必过原点,即即f(0)=0.奇函数的定义奇函数的定义根据定义根据定义，x=0I，-x=0I，且，且 f(0)=-f(0)，即即f(0)=0.1.奇函数必过原点奇函数必过原点.2.偶函数如果在偶函数如果在x=0处有定义处有定义,则
7、图象必过原点则图象必过原点.（）（）图象特征：奇函数的图象关于图象特征：奇函数的图象关于原点原点对称对称.练练 习习1.思辨解析，判断下列说法是否正确.(1)对于函数yf(x)，若存在x，使f(x)f(x)，则函数yf(x)一定是奇函数.(2)函数f(x)x2，x0，)是偶函数.（）（）理解定义理解定义问题问题1 1：奇函数、偶函数的定义中有奇函数、偶函数的定义中有“定义域内任意定义域内任意”几个字，说明函数的奇偶性是怎样的一个性质？能几个字，说明函数的奇偶性是怎样的一个性质？能不能改为不能改为“存在存在”?说明函数的奇偶性是定义域上的一个说明函数的奇偶性是定义域上的一个整体性质整体性质，而函
8、数的单调性而函数的单调性是定义域内某个区间上的是定义域内某个区间上的局部性质局部性质.任意任意不能改为存在不能改为存在.理解定义理解定义问题问题2：x与与x在几何上有何关系？具有奇偶性的函在几何上有何关系？具有奇偶性的函数的定义域有何特征？数的定义域有何特征？奇函数与偶函数的定义域奇函数与偶函数的定义域关于原点对称关于原点对称.练练 习习1.思辨解析，判断下列说法是否正确.(3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数，就是偶函数.（）偶（奇）函数的定义偶（奇）函数的定义 练练 习习练习练习1(p85)1(p85)：已知：已知f(x)f(x)是偶函数，是偶函数，g(x)g(x)是奇函数
9、，试将是奇函数，试将下图补充完整下图补充完整.练练 习习 练练 习习解：解：(1)函数函数f(x)=x4的定义域为的定义域为R.44fxxxf x-所以，函数所以，函数f(x)=x4为偶函数为偶函数.练练 习习例例1：判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性.4(1)f xx 1(2)f xx+x(2)函数函数 的定义域为的定义域为x|x0.1f xx+x 11fxx+x+f xxx-所以，函数所以，函数 为奇函数为奇函数.1f xx+x(3)f(x)=0,xR(4)练练 习习例例1：判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性.4(1)f xx 1(2)f xx+x(3)f(x)=0,xR(4)
10、(3)函数的定义域为函数的定义域为R.f(-x)=f(x),且且f(-x)=-f(x),所以，该函数所以，该函数既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数.既是奇函数又是偶函数的函数既是奇函数又是偶函数的函数:（1）定义域关于原点对称；）定义域关于原点对称；（2）表达式为）表达式为 f(x)=0.练练 习习例例1：判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性.4(1)f xx 1(2)f xx+x(3)f(x)=0,xR(4)（4）因为定义域不关于原点对称）因为定义域不关于原点对称，所以，该函数所以，该函数是非奇非偶函数是非奇非偶函数.(1)f(x)=0,xR 练练 习习 例例2：判断下列函数的奇偶
11、性：判断下列函数的奇偶性：22(2)()11f xxx既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数 f(x)=0,x-1,1 既是奇函数又是偶函数的函数既是奇函数又是偶函数的函数:（1）定义域关于原点对称；）定义域关于原点对称；（2）表达式为）表达式为 f(x)=0.解析：xI，都有-xI，且f(-x)=f(x)=-f(x)，所以f(x)=0 规律总结规律总结1.用定义判断函数奇偶性的步骤：用定义判断函数奇偶性的步骤：(1)先求定义域，看是否关于原点对称先求定义域，看是否关于原点对称(前提条件前提条件)；(2)再判断再判断f(-x)=-f(x)或或f(-x)
12、=f(x)是否恒成立是否恒成立.2.从函数的奇偶性，函数可以分为四类：从函数的奇偶性，函数可以分为四类：是奇函数但不是偶函数；是奇函数但不是偶函数；是偶函数但不是奇函数；是偶函数但不是奇函数；既是奇函数又是偶函数；既是奇函数又是偶函数；既不是奇函数也不是偶函数既不是奇函数也不是偶函数.3.既是奇函数又是偶函数的函数解析式为：既是奇函数又是偶函数的函数解析式为：f(x)=0 (前提是定义域关于原点对称前提是定义域关于原点对称).练练 习习2.判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性.(2)22+0(3)()-0，xxxf xx xx 练练 习习2.判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性.(2)
13、(2)22+0(3)()-0，xxxf xx xx 课堂小结课堂小结1.奇函数和偶函数的定义及几何特征奇函数和偶函数的定义及几何特征.2.判断函数奇偶性方法：判断函数奇偶性方法：课堂小结课堂小结3.函数性质的一般研究路径函数性质的一般研究路径:具体函数具体函数图形特征图形特征数量特征数量特征符号语言符号语言抽象抽象 定义定义4.重要数学思想重要数学思想 数形结合，类比，从特殊到一般等数形结合，类比，从特殊到一般等.课后作业课后作业思考：思考：已知奇函数已知奇函数f(x)在在a,b上是减函数，试判断上是减函数，试判断f(x)在在-b,-a上是增函数还是减函数上是增函数还是减函数?证明你的结论证明你的结论.1.课后习题第课后习题第5题题;
