1、5.4三角函数的图象 与性质第五章三角函数目录二、知识讲解 三、小结四、练习一、上节回溯 一、上节回溯公式二圆的对称性关于原点的对称性关于 x 轴的对称性关于 y 轴的对称性公式三公式四公式五公式六关于直线 yx 的对称性二、知识讲解5.4.1正弦函数、余弦函数的图象 在 0，2 上任取一个值 x0，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值 sin x0，并画出点 T（x0，sin x0）？思考A2xx0T（x0，sin x0）yBMx0y011O二、知识讲解A2xyO11二、知识讲解利用信息技术，可使 x0 在区间 0，2 上取到足够多的值而画出足够多的点 T（x0，sin x0）将这些点用光
2、滑的曲线连接起来，可得到比较精确的函数 ysin x，x 0，2 的图象二、知识讲解 根据函数 ysin x，x0，2 的图象，你能想象函数 ysin x，xR 的图象吗？思考由诱导公式一可知，函数 ysin x，x2k，2(k1)，kZ 且 k 0 的图象与 ysin x，x0，2 的图象形状完全一致因此将函数 ysin x，x0，2 的图象不断向左、向右平移（每次移动 2 个单位长度），就可以得到正弦函数 ysin x，xR 的图象二、知识讲解正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线2xyO1134-2-3-4ysin x，xR 二、知识讲解在确定正弦函数的图象形状时，
3、应抓住哪些关键点？思考二、知识讲解你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数图象？思考二、知识讲解余弦函数 ycos x，xR 的图象叫做余弦曲线，它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线2xyO1134-2-3-4ysin x，xR ycos x，xR 二、知识讲解类似于用“五点法”画正弦函数图象，找出余弦函数在区间，上相应的五个关键点，将它们的坐标填入下表中，然后画出 ycos x，x，的简图探究xcos x二、知识讲解例1画出下列函数的简图：（1）y1sin x，x0，2；（2）ycos x，x0，2解：（1）按五个关
4、键点列表：描点并将它们用光滑的曲线链接起来：x02sin x010101sin x121012xyO11ysin x，x 0，2 2y1sin x，x 0，2 二、知识讲解解：（2）按五个关键点列表：描点并将它们用光滑的曲线链接起来：x02cos x10101cos x10101y2ycos x，x 0，2 1O12xycos x，x 0，2 二、知识讲解你能利用函数 ysin x，x 0，2 的图象，通过图象变换得到 y1sin x，x 0，2 的图象吗？同样地，利用函数 ycos x，x 0，2 的图象，通过怎样的图象变换得到函数 ycos x，x 0，2 的图象？思考二、知识讲解5.4.
5、2正弦函数、余弦函数的性质周期性类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质？探究观察正弦函数图象，可以发现，在图象上，横坐标每隔 2 个单位长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律二、知识讲解一般地，设函数 f(x)的定义域为 D，如果存在一个非零常数 T，使得对每一个 xTD，且f(xT)f(x)那么函数 f(x)就叫做周期函数非零常数 T 叫做这个函数的周期周期函数的周期不止一个例如，2，4，6，以及2，4，6，都是正弦函数的周期
6、事实上，kZ 且 k 0，常数 2k 都是它的周期如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期二、知识讲解正弦函数是周期函数，2k（kZ 且 k 0）都是它的周期，最小正周期是 2类似地，余弦函数也是周期函数，2k（kZ 且 k 0）都是它的周期，最小正周期是 2二、知识讲解你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？思考二、知识讲解5.4.2正弦函数、余弦函数的性质奇偶性观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点 O 对称，余弦曲线关于 y 轴对称，这个事实，也可由诱导公式sin(x)sin x，cos(x)cos x得到所以正
7、弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象与性质有什么帮助？思考二、知识讲解5.4.2正弦函数、余弦函数的性质单调性y1O12x二、知识讲解sin x 的值的变化情况如表：x0sin x10101二、知识讲解类似地，观察余弦函数在一个周期区间（如，）上函数值的变化规律，将看到的函数值的变化情况填入下表：x0cos x函数 ycos x，x，在区间，0 上单调递增，在区间 0，上单调递减余弦函数在每一个闭区间 2k，2k（kZ）上都单调递增，其值从1 增大到 1；在每一个闭区间 2k，2k（kZ）上都单调递减，其值从 1 减小到 1 二、知识讲解5.4.2正弦
8、函数、余弦函数的性质最大值与最小值二、知识讲解例3下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量 x 的集合，并求出最大值、最小值（1）ycos x1，xR；（2）y3sin 2x，xR解：这两个函数都有最大值、最小值（1）使函数 ycos x1，xR 取得最大值的 x 的集合，就是使函数 ycos x，xR 取得最大值的 x 的集合xx2k，kZ；使函数 ycos x1，xR 取得最小值的 x 的集合，就是使函数 ycos x，xR 取得最小值的 x 的集合 xx2k，kZ函数 ycos x1，xR 的最大值是 2，最小值是 0 二、知识讲解二、知识讲解二、知识讲解5.4
9、.3正切函数的性质与图象周期性（1）根据研究正弦函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究正切函数的图象与性质？（2）你能用不同的方法研究正切函数吗？思考二、知识讲解5.4.3正切函数的性质与图象奇偶性你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？思考二、知识讲解xyO二、知识讲解二、知识讲解2xyO11-2二、知识讲解5.4.3正切函数的性质与图象单调性和值域二、知识讲解三、小结图象三角函数的图象与性质性质正弦曲线余弦曲线正切曲线定义域、值域周期性、奇偶性、单调性、最大值与最小值1方程 10sin xx 的根的个数是（）A5B6C7D8答案：C四、练习四、练习四、练习四、练习
